丰富经历：让算理和算法自然融通

江苏省无锡市云林实验小学 包晓燕

计算教学贯穿于小学数学阶段。经常会听到周围的老师抱怨：“现在的孩子计算太差了，连简单的运算都不行，甚至连一些数学基础比较好的学生也经常在计算上出差错。”伟大的教育家陶行知先生提倡教学做合一，计算教学不只是学生做的问题，计算教学也应在教学做上下功夫，提高学生的计算能力。

一、找准知识的生长点，激趣中唤醒“理”与“法”的学习经验

数学教学的一个显著特点就是要关注学生已有知识经验，要对学生的已有知识和能力进行全面了解，把握学生的学习起点，把握教学的生长点，从简单到复杂，从已知到未知，巧设新旧知识的矛盾冲突，引导学生走进教学中的问题情境，让学生找出新知生长点，从中感悟算理，探究新的算法。

如：二年级下册《笔算减法（隔位退位减）》：

师：同学们请看这一题：要求一年级同学画了多少幅儿童画？该怎么想呢？

生：应该用二年级同学画的204幅减去一年级同学比二年级同学少画的98 幅。可以列式204-98=？

师：十位上0 减9 不够减怎么办呢？

生：向百位借一作十，用10 个十减9 个十。

师：谁来说说笔算减法怎么算呢？要注意什么呢？

师：如果把条件中的“少画98幅”改成“少画108 幅”，你会计算吗？请你试一试

师：在计算204-108=？时，你遇到了什么困难？

生：个位上不够减，要向十位借1，但是十位上一个也没有。

师：那怎么办呢？我们可以找哪个小帮手来帮帮忙？

生：小棒，计数器。

在教学过程中，教师创设了“一二年级学生画儿童画”的教学情境，在情境中出示问题，求“一年级同学画了多少幅儿童画”。在这里，一方面，情境引入，激发了学生的学习兴趣，另一方面，又复习了学生的已有知识，不但激活了学生头脑中的知识储备和学习经验，还为学习新知提供了认知基础。

二、找准知识的质疑点，交流中经历“理”与“法”操作体验

学生学习的过程应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。在教学中，教师要通过操作探究、小组交流等方式，借助已有的“旧知”的铺垫，借助已有学习方法、数学经验等，引导学生对“算理”进行充分理解。

如：五年级上册《小数加法和减法》：

师：数学是讲道理的，请你想一个方法来验证，可以借助学具材料写一写、画一画或者摆一摆。然后，跟同桌交流：第二个加数中的3 跟谁对齐? 4 呢？为什么？

（学生思考并验证）

师：老师请三位同学来说说他们的想法。

生1：4.75 元是4 元7 角5 分，3.4元是3 元4 角。所以我觉得角要和角对齐，元要和元对齐，结果是8.15 元。

师：“元角分知识”说明了“相同单位的数要对齐着列竖式”。

生2：计算数上表示的数是4.75，加3.4，个位拨3 颗珠子，十分位拨4颗珠子，这时候十分位上满10 颗珠子了，要向个位进1，百分位上不拨珠。所以，最后的结果是8.15。

师：是的，在计数器上我们可以很明显看出，在计算时相同的数位相加。

生3：4.75 是4 个一，7 个0.1，5 个0.01，加3.4 就是加3 个一，4个0.1，所以3 和4 相加，7 个0.1和4 个0.1 相加得11 个0.1，也就是1.1，和前面的合起来是8.1，还有5个0.01，一共是8.15。

师：同学们很会动脑筋，有的结合元角分思考，有的借助计数器思考，有的结合图形思考，都告诉我们在4.75+3.4 用竖式计算这样算：个位上的4要和3对齐，表示4元加3元，十分位上的7 和4 对齐，表示7 角加4 角，百分位上就是5。（电脑演示元角分的思考过程、计数器计算的过程、图形表示数的思考过程）

教学中，教师让学生先试着竖式计算，把学生的直觉化为具体的计算表征，然后通过老师的提问引发学生主动思辨，让学生借助生活情境“元角分”、计数器、数形结合从“相同单位的数相加”到“相同数位上的数相加”到“相同计数单位的数相加”来理解，从而让学生体会到数学知识可以从不同的角度分析，从不同的层次理解。

三、找准知识的关联点，比较中经历“理”与“法”的融会贯通

小学数学教材重视对算理的理解，通常借助生活情境、动手操作等来帮助理解算理。算法是对算理的具体表现，逐步概括、抽象出计算的基本程序和方法。教学中，我们既要重视对算理的探究、理解，也要在算法表述时注意算理与算法之间的联结。

如：三年级上册《两位数除以一位数》有“首位能整除”和“首位不能整除”两课：

【1】《两位数除以一位数》（首位能整除）

师：46÷2=？怎么分呢？可以借助小棒来分一分。(小棒演示把4 捆平均分成2 份，每份2 捆；再把6 根也平均分成2 份，每份3 根，再把2捆和3 根合起来是23 根)

师：也可以用竖式计算。请你试一试。

师：这里两位同学都用竖式计算了，哪种写法更清楚呢？

师：分小棒的时候，分了两次，那么，写竖式的时候，也要分两步来写。(第一步把4 捆平均分成2 份，每份是2捆，竖式中对应4除以2商2。这样正好把4 捆分完，对应竖式中被除数4 下面的一个4。第二步把6 根小棒平均分成2 份，每份是3 根，竖式中对应着6 除以2 商3。这样正好把6 根分完。)

【2】《两位数除以一位数》（首位不能整除）

师：16 个羽毛球平均分给2 个班，每班分得多少个？

生：把一捆小棒拆开来，和6 根合起来是16 根，平均分成2 份，每份8 根。(课件展示分的过程)

师：46 个羽毛球平均分给2 个班，每班分得多少个？

生：先分4 捆，再分6 根，最后把他们合起来。

教师板书竖式，强调分两次。(先分4 个十，再分6 个一，竖式写的时候用横线隔开写)

师：46÷2=？你准备分几次？怎样分？

生：我这样分：先分整捆的，5捆平均分成2 份，每份2 捆，还多下来的1 捆，拆开来后再和单根的一起分，就是16 除以2。

师：56÷2=？分两次除，竖式分两段写。那么请你和前面一课学习的46÷2=？的竖式比较一下，看看为什么分“两段”写比较好？

在【1】“首位能整除”中，46÷2=？学生虽然能明白算理，但是在写法上，为什么分“两段”写，学生其实还是不明白的，更多的只是教师的一种给予，是数学家的规定，这时候老师可以暂时放一放，再教学【2】“首位不能整除”时，就可以把前后知识关联起来理解，从16÷2=？的表内除法，到46÷2=？的首位能整除，再到56÷2=？的首位不能整除，三次相除，引发学生的比较与思考，让学生感受到知识之间是层层递进的，是关联相通的，以问促思，为以后的多位数的除法计算埋下伏笔。这样的比较与思考，有助于学生从整体上建构表内除法、首位能整除、首位不能整除的除法之间的“通”算理与算法。

四、找准知识的延伸点，发展中经历“理”与“法”的知识建构

数学教学，要注重知识的延伸点，把每堂课教学的知识适当地进行拓展，并置于整体知识的体系中，引导学生把新旧知识进行关联，引导学生感受数学的整体性，为形成系统化的知识结构做准备。

如：教学完五年级上册《小数的加法和减法》后：

师：通过今天的学习，我们发现，小数的加减法计算和整数的加减法计算道理是一样的，都是“相同数位的数直接相加”，这个道理还能解决什么问题呢？（出示：41+32=0.41+0.32= + = ）

师：小数的加减法、分数加减法和整数加减法一样，都是相同的计数单位的数相加减。

小数加法和减法的学习需要我们站位于整体，引导学生去“通”算理，“通”本质，实现课堂知识的自我建构与整体建构。总之，我们必须清楚地认识到，“算理”是通向“算法”的桥梁，是学习“算法”的知识基础，而“算法”是学生学习的中心任务。片面强调“算理”，虽然能理解所学的新问题，但不能在计算方法上实现质的飞跃；片面强调“算法”，又像空中楼阁，很难稳定，所以我们“知其然，必须知其所以然”。这就需要我们在教学中，引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，不仅要构造算法，还需关注算理本身，从而达到循“理”入“法”，以“理”驭“法”。