基于FEMM的工业机器人关节用磁通反向电机的设计与优化*

钟一鸣 赵世伟 杨向宇

（华南理工大学电力学院 广州 510640）

1 引言

近年来，我国以“智能制造”为目标不断对制造业进行产业转型升级，有力地推动了高端制造装备产业的发展。作为高端装备制造业的核心技术之一，工业机器人既能节省人工成本、缩短生产周期，也可以提升产品的工艺和质量，在工业生产中发挥了重要作用［1］。关节电机是工业机器人的动力来源，是实现各机械结构复杂动作的保证，其性能对系统运行的精度和平稳性有较大影响［2］。

磁通反向电机（Flux Reversal Machine，FRM）是一种新型永磁电机，其结构与开关磁阻电机相仿，定转子结构均为凸极。所不同的是，FRM的定子齿部内嵌或表面贴附有交替充磁的永磁体，转子由硅钢片叠压而成，无绕组缠绕。FRM能够在低速工作时输出较大的转矩，适用于工业机器人关节电机对于低速大转矩的要求。此外，相比于传统的永磁伺服电机，FRM的永磁体位于定子部分，温度易于检测和控制，更适合工业机器人高负荷持续运行的工况。

目前，FRM的本体设计主要采用有限元分析法［3］。在解析分析方面，文献［4］提出了变网络法，文献［5］提出了子域法，分别为FRM的初始设计提供了理论依据；文献［6～8］通过对电磁特性的解析推导，详细介绍了FRM的通用设计流程。针对FRM转矩波动大的缺点；文献［9～12］指出转子齿结构优化、转子开斜槽对降低齿槽转矩有良好的效果；文献［13～14］分析了永磁体的排列和设置对转矩的影响。在优化算法方面，文献［15］将田口法应用于6/8极FRM的局部优化设计中，在提升平均转矩的同时将转矩波动降低了41%；文献［16］采用遗传算法对12/64极FRM进行了全局优化，以电机质量-转矩比为优化目标，在降低电机体积、永磁体用量的同时，提升了转矩密度。

本文根据工业机器人用关节电机的需求，提出了一种12/29极FRM，首先对电机的主要尺寸进行了初步设计，并在Matlab软件中搭建了电机建模平台，联合FEMM（Finite Element Method Magnetics）电磁场有限元计算工具［17］，对样机的电磁性能进行了仿真验证。在此基础上，将随机探索法应用于该电机的优化设计中，以输出转矩波动降低到指标要求为目标，对多个电机尺寸参数进行了全局优化。

2 电磁设计

2.1 样机主要技术指标

样机的主要设计指标如表1所示。

表1 样机主要技术指标

2.2 样机主要尺寸的确定

样机选用12/29极方案，定子有Ns=12个平行齿，每齿下方有nPM=2对永磁体，相邻定子齿下永磁体的排列方式相反。转子由硅钢片叠压而成，具有Nr=29个凸极。根据经验初选切向电磁力密度ft=2.4 N/cm2，则额定转矩Te可以表示为

其中Dr是转子外径，lstack为电机轴向长度。定义电机长径比λ为

初选λ=0.8，可计算出转子外径Dr：

取转子外径Dr=0.160 m，则电机轴向长度可确定为lstack=0.128 m。定子齿下每个永磁体的弧长τPM为

选用高性能钕铁硼N38UH永磁体，当工作温度在70°时，永磁体剩磁Br=1.25 T，矫顽磁力Hc=860×103A/m。初选永磁体厚度hPM=2.5 mm，气隙长度g=0.5m。理想空载气隙磁密BPMi为

前期大量有限元仿真结果表明，电机空载时每齿磁通ΦPM(θr)随转子位置θr近似呈正弦变化，其关系可以表示为ΦPM(θr)=ΦPMsin(Nr·θr)，其中幅值ΦPM为

式中Kfringe为漏磁系数，由于磁通反向电机的漏磁现象一般较为显著，在初步设计时保守估计Kfringe=0.40［18］。每相空载感应电动势幅值Em为

取相绕组匝数nc=180，此时相空载感应电动势幅值Em约为258V。定子绕组通入正弦激励电流，当与某相绕组交链的永磁体激励的磁通为零时，控制通入该相绕组的正弦电流达到最大值。激励电流I和电机转矩的关系可以表示为

结合式（1）、（7）、（8），消元计算可以得到产生额定转矩所需的相绕组安匝数：

选择电流密度Js=2.5 A/mm2，槽满率Kfill=0.60，可以计算出定子槽面积Aslot：

基于上述部分对电机主要尺寸的初步设计，经反复计算校验和调整得到的样机详细参数如表2所示。

表2 FRM样机设计参数

3 初选样机有限元分析

3.1 样机空载电磁性能分析

为将FEMM工具应用于电机的稳态运行分析，本文使用有限元时步法［19］来模拟电机转子运动的情况，利用Matlab平台对FEMM中每一离散状态的仿真进行控制，通过改变转子外表面和定子内表面的周期性条件［20］，实现了运动区域中的节点编号和网格信息跟随转子“运动”。令转子旋转一个转子槽距，仿真得到A相绕组的空载磁链如图1所示。

图1 A相绕组空载磁链波形

由图1可知，转子转过一个转子槽距，与定子相绕组交链的磁链变化一个电周期。空载时电机磁场全部由永磁体激励产生，由于永磁体被固定在定子齿下方，从定子参考系上来看，永磁体磁动势在时空上均为静止。然而，FRM转子的凸极结构对气隙中的永磁体磁动势具有磁场调制作用，当转子旋转时，定子绕组中的磁链能够呈双极性变化，并进一步在绕组中感应出双极性的反电动势。在一个电周期中，电机的工作状态具有图1中标示的A、B、C、D四个典型位置，各位置的磁力线分布如图2所示。

图2 FRM典型工作位置及磁力线分布

图2 （a）中样机的工作位置与图1中的A点相对应，此时和A相绕组交链的永磁磁通的路径可以分为两条，它们分别形成闭合回路，并都在A相绕组中产生正磁链，使得A相绕组总磁链达到周期内的正向最大值。比较图2（c）和图2（a）可以发现，由于磁通反向电机在结构上的对称性，位置C时永磁磁通的路径与位置A时的路径也具有对称性，并且每条路径的方向均为反向。因此，两个位置的相绕组磁链大小相同、极性相反。当转子转到B、D位置时，与A相绕组交链的永磁磁通依然有两条主要路径，这两条路径中的磁通大小相等、极性相反，使得A相绕组总磁链为0。在样机工作的四个典型位置都可以看到较为显著的漏磁现象，每个时刻都有一半的定子永磁体提供漏磁，这同样是磁通反向电机的结构导致的。漏磁通的存在减少了与绕组匝链的磁链，可在后期通过优化转子极弧、增加隔磁桥等方法降低。

对样机转子部分的受力进行分析，得到电机齿槽转矩随转子位置变化的曲线如图3所示。

图3 空载定位转矩波形

FRM的凸极转子结构决定了其齿槽转矩通常较大，且波形与转子齿宽、永磁体厚度和斜槽角度有密切关系［9～10］。在本样机中，初选转子齿角度约为5.8°，仿真得到的齿槽转矩波形呈正弦分布，其含量约为额定转矩的1.26%。

3.2 样机负载电磁性能分析

向三相绕组中通入额定电流，令样机工作一个电周期，仿真得到负载转矩波形如图4所示。

图4 负载转矩波形

经计算，负载转矩平均值为127.03 N·m，与设计要求的127 N·m相符合，转矩波动幅度约占平均值的4.61%。从图5中可知，1个电周期内样机负载转矩波动6个周期，每周期占60电角度。后续针对负载转矩进行分析和优化时，考虑转子运行1/6个电周期内的情况即可。FRM的损耗由定子铜耗、定转子铁耗、机械损耗和附加损耗组成。仿真得到样机的铜耗为90.1W，定转子铁耗之和为80.5W。根据经验取机械损耗和附加损耗的总值为总损耗的5%，可计算出样机效率约为90.3%。

对初选样机电磁性能的有限元验证表明，其电磁性能基本达到了设计指标，初步设计尺寸是合理的。然而，在没有任何优化措施的情况下，样机的转矩波动仍有进一步降低的空间。为更好地满足工业机器人关节电机对于工作精度和平稳性的要求，需要对样机的转矩性能进行针对性的优化。

4 基于随机探索法的FRM优化设计

4.1 随机探索法

FRM的优化设计具有多变量、多极值、有约束和非线性的特点，其优化变量和代价函数之间的关系无法简单地用解析式来描述。在优化过程中，电机性能并不会平滑地改变，对于这种具有不连续代价函数的问题，为避免过早陷入局部最优解，可以采用随机探索法［21～22］。

随机探索法由Luus在1973年首次提出，是一种经典的直接搜索算法，具有普遍适用、可靠性高、简便有效的特点［23］。将随机探索法应用于有约束的最小化问题，具体计算步骤如下。

1）选择代价函数f:Rn∈R，选择优化变量x∈Rn。

2）规定约束可行域，在可行域内选择x的初始位置，设定初始搜索比例r。

3）从x出发，在搜索比例r所确定的搜索范围内随机地前进到新位置y。

4）若新位置不满足约束条件，转向步骤3），否则计算代价函数在y点处的数值。

5）若f(y)>f(x)，则转向步骤3），回到全局最优位置。如果f(y)

6）若在规定的单步迭代次数上限内没有移动到更好的点，按规定比例(1-ε)缩小r，并转向下一步。

7）若r已缩小到设定精度却依然得不到一个更好的位置，则取x的当前位置为全局最优，并结束优化。否则转向步骤3）。

使用随机探索法对n个参数进行多参数同时优化，取得第j次进展时，若搜索比例共收缩k次，则搜索范围会缩小成以第j次进展所获得的最优位置为中心，边长为2r(1-ε)k·x*(j)的n维超矩形。那么，在第j+1次进展中，最优位置最远可以移动至：显然，第j+1次取得的实际进展应小于等于，实际进展可表示为

当搜索范围收缩得足够小时，优化所得最优位置应离全局最优位置很近。若第j次进展的搜索范围[-r(1-ε)k·x*(j)，r(1-ε)k·x*(j)]足够小，全局最优位置的第i个参数的精度可以由式（14）确定：

在此算法的应用中，搜索初始半径r的选择对寻优收敛的速度和寻优结果有较大的影响。r选择过大时，算法的迭代进展较小，甚至会出现没有进展的情况。在优化过程中，算法并不会根据每次进展取得的进展分率来适当地放宽或缩小搜索范围，而是等比例地对搜索比例进行收缩，因此过小的r容易使算法落入局部最优解。在实验中，可以通过每个优化参数取得进展分率ξi的情况，分别对各参数选取合适的初始搜索比例。

4.2 样机电磁优化设计

为衡量样机总体转矩波动的程度，定义转矩波动率Kmb为

式中，Tmax和Tmin为电机稳态工作状态下瞬时转矩的最大和最小值，Tavg为转矩平均值。

在电流激励和电机外部尺寸（定子外径、转子内径和轴向长度）保持不变的前提下，以转矩波动率降低至平均输出转矩的1%以下为优化目标，选取转矩波动率Kmb为代价函数。为保证优化所得电机的合理性，规定优化后样机的平均转矩Tavg≥127 N·m、相感应电动势低于205V、槽满率不高于70%且效率不低于90%。经过前期对电机尺寸各参数的调整和验算，基于各尺寸参数对电机转矩性能的影响大小，最终选择转子外径Dr、永磁体厚度hPM、定子槽深hss、定子齿靴高度h1、定子齿宽Wst、转子齿宽αr作为优化参数，标注如图5所示。

图5 电机优化参数示意图

算法的约束可行域通过对各优化参数设定约束条件方程来给定。各优化参数的约束条件如式（16）所示：

一系列前期实验表明，对于此初选样机的优化问题，各参数初始搜索比例设为10%左右，ε取0.3～0.5，单步迭代次数上限设为50次时，可以有效达到优化目标，并将算法迭代次数控制在500次以内。

4.3 优化结果分析

应用随机搜索法对初选样机进行优化，优化过程中每次取得进展的情况如表3所示。

表3 优化算法迭代情况

从优化的过程来看，优化初期进展迅速，前30次迭代将转矩波动率由4.61%降低至2.52%，降幅达到45.3%。迭代进行到第97次时，算法共将代价函数降低约74.2%，此时样机转矩波动率降至1.19%，接近优化目标。此后，算法对搜索范围进行收缩，先后在第162次、第243次迭代中取得进展，将转矩波动率降至1%以下，达到电机设计指标的要求。在第305次迭代取得更优解后，搜索范围进一步收缩至设定精度，程序满足优化停止条件并输出各参数最优值。

算法共计迭代355次。值得注意的是，在每次迭代中，程序都调用FEMM对候选样机进行1次瞬态仿真，每次瞬态仿真都包含40个离散状态，整个优化过程共进行了14200次有限元计算。对于这样大的计算量，应在前期充分利用FRM结构和性能上的对称性来简化问题，同时在编程上灵活利用FEMM的周期性边界条件以节约重新剖分消耗的算力。

对优化前后样机的负载转矩进行比较，二者波形如图6所示。

图6 优化前后负载转矩波形对比

从结果上看，对转矩波动率的优化起到了良好的效果。在电流激励不变的情况下，样机转矩波动的幅值约由5.9 N·m降至1.3 N·m，降幅约为78%。转矩波动率由4.61%降至0.99%，下降约78.5%。此外，样机的负载转矩平均值由设计之初的127.03 N·m提升到了131.55 N·m，转矩密度有所提升。经检验，优化后的样机槽满率为63.2%，空载反电动势为199V，效率约为90.2%，电磁性能达到设计指标，能够较好地满足工业机器人对关节电机的性能要求。

5 结语

本文针对工业机器人用关节电机的需求，提出了一款12/29极FRM电机。通过经验公式和初步计算确定了电机的初始尺寸。采用FEMM电磁场有限元计算工具，实现了样机电磁性能的有限元仿真。仿真结果表明样机初步设计基本合理，也显现了负载转矩波动大的问题。文章利用随机探索法，以负载转矩波动率为优化目标，对初选样机的六个结构参数进行了多参数优化设计，取得了显著的优化效果，将输出额定转矩时的转矩波动率由4.61%降至0.99%。经过合理的电磁设计和参数优化，最终得到的FRM样机具有输出转矩平稳、结构简单的优点，能够满足工业机器人关节电机系统对高精度、平稳运行的要求。