踏“学”有痕，润“数”无声——以“数图形的学问”为例探讨数学思想方法的应用

朱 先

（浙江省义乌市香小教育集团杨村校区）

“数图形的学问”是四年级数学教材“数学好玩”中的内容。本课重在把故事情境抽象成数线段问题，并借助图形直观描述和分析问题，再从图形上升到算式符号，有序思考，做到不重不漏。大部分学生具备有序数的意识，对线段图也并不陌生，但对于生活情境抽象成图形描述存在困难，找不到它的数学模型。本文以“数图形的学问”为例，从数学的数形结合、归纳推理、择优、联想类比等方面讲述数学思想在“数学好玩”课中的应用。

一、对比筛选，化繁为简

我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”“数”与“形”代表事物两个方面的属性，数形结合就是把抽象的数学具体化、直观化，从而达到“以形助数”或“以数解形”的目的，优化解题途径。在小学数学中，通常是将生活中的现实问题和数学中的数量关系转化成线段图来解决问题。

片段1：

出示鼹鼠钻洞情境图。

1.读题：读一读钻洞的规则，你有什么想说的？

明确规则：向前走，也就是不能从第二个洞进去从第一个洞出来。可以从任何一个洞口进入和出来。

2.想题：有多少条不同的路线？你是怎么想的？

3.画题：一共有多少条路线？（写写、画画、数数）

依次展示学生的作品并说说自己的想法。

从繁到简依次展示“图” 解释画图想法images/BZ_58_294_708_725_1031.png生1：我先把山洞画出来，再从一个洞口钻进去，从另一个洞口钻出来，用线来表示一种钻洞的方法，最后数了数，一共有6条。images/BZ_58_294_1092_725_1416.png生 2：我是用 1、2、3、4表示4个洞的名字，用带箭头的线来表示路线：从1洞口进去，再从2、3、4洞口分别出来；从2洞口进去，从3、4洞口出来；最后从3洞口进，4洞口出，一共6条路线。images/BZ_58_294_1472_725_1795.png生3：我和龚妙言想法很像，但我是用A、B、C、D表示洞口的，而且我还写了算式：3+2+1=6（条）images/BZ_58_294_1831_725_2154.png生4：我是用线段图来画的，这两个点之间的线就表示路线，3表示从第一点出发的3条路，2表示从第二点出发的2条路，1表示从第三点出发的1条路，所以也是6条。images/BZ_58_294_2201_729_2527.png生5：我的图比罗天多了字母，这样说起来比较方便，AB、AC、AD、BC、BD、CD。

4.择优：对比这些画图方法，你认为哪种更好？为什么？

生1：第一种图画起来太麻烦了，线段图更简单些。

生2：用箭头来表示进去和出来的不同，这个我很喜欢。

生3：我更喜欢用字母来表示洞口，因为如果用数字表示洞口，那么1、2又是12，容易混淆。

生4：我觉得用线段图很好，这样我们就可以把“钻洞问题”变成“数线段问题”，数线段我们很熟悉，之前都学过的。

学生在数学学习中最多接触的是“数”，头脑中对图形往往缺乏准确性或者过于广泛化。课堂中学生画图的情况不一，代表了学生原来的画图经验，因此从繁到简依次展示不同思维层次学生的想法，逐步从情境图中抽象出线段图，将数学抽象对接学生原有经验。然后组织学生讨论与交流哪一种画图方法更好，放手让学生自己去对比、筛选、发现哪一种图更好，实现方法的择优。经历从低思维水平向高思维水平发展的过程，可以培养学生画图的活动经验。这样的“画图”的基本活动经验，既可以让学生学会抽象，又可以有序思考。通过“画”与“数”来解决鼹鼠钻洞问题，学生“画”得越简单越抽象也就越能表达自己有序思考的过程。数学知识化繁为简，直观形象，有助于“数形结合”思想的内化。

二、激发思考，方法多元

数学教育的目的不仅仅是要让学生掌握知识，更重要的是让学生学会数学的思维。数学课堂学习强调数学方法多样化，不同的方法渗透着不同的思维，使得学生对知识的掌握更全面、更系统、更牢固。课堂中要让学生经历算法多样的过程，用多样化的数学思想方法来分析、解决问题，培养学生的数学思维。

片段2：

师：刚才我们从鼹鼠钻洞问题中找到了“数线段”的方法，现在老师把它画在黑板上（图1），你还有其他有序数线段的方法吗？

图1

生：一段一段地数AB、BC、CD，两段两段地数AC、BD，三段三段地数AD，算式也是3+2+1=6（条）。

师：你听明白了吗？谁愿意再来说一说他的方法？

生：他是这样数的，单独一段的线段有3条，两段合在一起组成的线段有2条，三段合在一起的线段只有1条。

师根据学生描述板书。（图2）

图2

师：这两种方法之间有什么相同点？（小组交流讨论并汇报）

生1：都是有序地数，不会重复也不会遗漏。

生2：都是解决同一个问题。

生3：都是一样的算式。

师：这两种方法之间有什么不同点？

生1：思考方法不一样，第一种是固定一个点来数，第二种是根据线段的数量来数。

生2：我觉得虽然算式一样，但是算式表示的意思是不一样的，第一种的3表示AB、AC、AD，而第二种的3表示AB、BC、CD。

通过引导学生思考“你还有不同的有序数线段的方法吗”，抓住数线段方法的本质，即有序地数；同时发散学生的思维，激发创新意识，渗透数学方法多样化的思想。这个年龄的孩子注意力不够稳定，思维专注力较弱，缺乏挑战困难的勇气。单一的解决问题的方法不仅会限制学生的思维，形成思维定式，还会抑制学生学习数学的兴趣。课堂中提供给学生充分的时间和空间，让其感受解决问题策略的多样性。“数线段”的两种方法没有优劣之分，只是思考角度有所不同。学生对两种方法的相同点和不同点的交流与讨论，沟通了不同方法之间的内在联系，可以更好地利用直观的图形模型解释符号模型，培养学生有序思考的习惯。学生根据自己的实际情况，选择自己擅长的方法，不同层次的学生获得不同的发展。

三、举例联想，丰富模型

在数学课程中，应帮助学生建立数感、符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思想。构建模型的过程包括：从具体情境中抽象出数学问题，用数学符号表示数量关系和变化规律，求解并讨论其意义。数学建模是一种数学的思想方法，是解决实际问题的一种有效手段。

片段3：

师：数线段帮我们解决了有多少条路线的问题，像这样的方法还能解决哪些问题呢？4人小组内说一说。

小组汇报：

images/BZ_59_1346_1261_1729_1437.png图形联想 解决问题联想数角 比赛问题香山小学四年级要进行足球友谊赛，每两个班都要比一场，4个班一共要比多少场？ 数三角形images/BZ_59_1384_1555_1689_1761.png握手问题4人小组内，每2人握一次手，一共需要握多少次手？ images/BZ_59_1335_1869_1729_2051.png数长方形 打电话问题新年到了，4个小朋友要打电话互相送祝福，请问一共需要打多少次？ 数正方形（有序） 购票问题义乌到杭州共有4个车站，有多少种不同的车票？

学生从“鼹鼠钻洞”问题中初步抽象出图形模型（线段图）和符号模型（算式），本环节中重在思考“用这样的方法还能解决生活中的哪些问题”，引导学生进行举例联想，利用迁移，围绕同一个模型去发散思维。让学生感受到生活中类似的问题，丰富学生刚建立的模型，更好地感悟数学模型的思想，辨别正例与反例，促进思维模型的完善和灵活运用。久而久之，学生会在诸如分析、理解数量关系时用到“画线段图”，形成几何直观的意识。

四、观察思考，归纳推理

归纳推理是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳推理一般需要经历观察、求联、猜测、验证4个步骤。

片段4：

出示菜地旅行情境图。

1.读完题目你有什么想问的？

“单程”是什么意思？

2.现在你会根据情境画出图，有序地数一数了吗？

学生独立思考解决，根据学生作业板书。（图3）

图3

你来说一说你是怎么数的？（汇报两种数线段方法）

3.如果再增加1个车站，请问会多出几种不同的票？

追问：为什么多了1个车站，不是多1张票而是多出5张呢？

连一连，FA、FB、FC、FD、FE，一共是5条。（图4）

图4

4.如果是8个、9个车站呢？

5.你有什么发现？（同桌交流）

6.延伸：如果有50个车站，你知道有多少种不同的车票吗？课后有兴趣可以去探究。

“车票问题”由易到难，逐层深化，引导学生独立思考和探索，在数的过程中注重算式与图形一一对应，有序思考。引导学生观察发现：新增加的这个车站，需要与前面的所有车站连线，线段增加的条数等于原来的点数。通过观察求5个、6个、8个、9个车站的车票数中线段图与算式的变化，发现蕴藏的规律并解释这个规律的合理性，感受数学的规律美，渗透归纳推理思想方法，提高对数学问题探索的兴趣。

数学思想方法是数学学习的灵魂，有利于学生的终身发展。踏“学”有痕，相信凡是经历过的思考过程必会留下思维的痕迹；润“数”无声，让学生在潜移默化中形成数学思维能力，提升其逻辑思考能力。数学思想方法的渗透是一个漫长反复的过程，只有日积月累方能让课堂迸发出新的活力。