基于跟踪微分器的高超声速飞行器Backstepping控制

路遥

1. 宇航智能控制技术国家级重点实验室,北京 100854

2. 北京航天自动控制研究所,北京 100854

高超声速飞行器(Hypersonic Flight Vehicle, HFV)是指飞行马赫数大于5的一类飞行器。其具有机动灵活、突防能力强、拦截难度大等特点,自其出现以来便受到各航空航天大国的高度重视[1-2]。目前,采用乘波体构型的吸气式高超声速飞行器受到更多的关注。然而,这类高超声速飞行器模型具有高度非线性、强耦合、参数不确定等特点,且外部飞行环境恶劣,因此为其设计飞行控制系统非常具有挑战性。

为简化问题,很多学者针对HFV的纵向通道模型进行控制器设计方法研究。通过对HFV的气动特性进行分析,基于一些合理的假设,HFV的纵向通道数学模型可被描述为一类仿射型严反馈非线性系统。而Backstepping方法[3]作为一种常用的非线性控制系统设计工具,非常适合处理这种类型系统的控制器设计问题。因此,很多学者基于Backstepping方法为HFV设计飞行器控制器,并取得了很好的效果。文献[4]提出了一种基于条件扰动否定的自抗扰控制方法；该方法设计了一个先驱条件扰动否定模块用以选择性地补偿模型中的干扰项,以达到去除有害干扰、保留有益干扰的目的。文献[5]提出了一种基于固定时间干扰观测器的预定性能滤波反步控制策略；该方法采用了可以解决时变约束的障碍函数,无需进行误差变换,降低了控制器设计的复杂度。文献[6]针对一类无鸭翼吸气式HFV的姿态跟踪控制问题,提出了一种基于Backstepping的输入饱和抑制控制方法；该方法通过引入非线性增益函数增强了控制量的饱和抑制能力。文献[7]提出了一种基于神经网络的自适应动态面方法；该方法利用神经网络估计未知的非线性项,并引入一个鲁棒项解决模型中的干扰项。文献[8]提出了一种基于辅助误差补偿策略的Backstepping控制方法；该方法采用改进的辅助系统,保证了控制量达到饱和时闭环系统的稳定性和跟踪性能。文献[9]考虑了控制输入非线性,基于动态逆方法设计了一种自适应Backstepping控制器；该方法设计了一个前馈补偿器,已处理控制输入非线性的影响。文献[10]提出了一种基于新型非线性干扰观测器的Terminal滑模反步控制器；该方法采用非奇异快速Terminal滑模控制俯仰角和俯仰角速率子系统,优化了反步法的控制结构,实现了闭环系统的有限时间收敛。文献[11]提出了一种改进的降阶动态逆控制方法；该方法设计了一个自适应阻尼项以提高系统的瞬态特性。

虽然Backstepping方法已广泛应用于HFV控制器设计中,但其自身存在“微分项膨胀”问题,在控制器设计过程中必须予以解决。为此,很多学者采用动态面方法[4,6,7,9,12-14],利用一阶低通滤波器得到实际使用的虚拟控制指令的导数。这种方法结构简单,易于实现,但在应用中也存在着一定的问题：在使用动态面方法时,通常在设计每一步的控制策略过程中,考虑的是滤波后的跟踪误差,即待跟踪状态与滤波后控制指令之间的误差,而不是待跟踪状态与理想控制指令之间的实际误差。控制器设计的理想结果是使后者更小,但由于动态面方法不能保证滤波后得到的控制指令的一阶信号与理想控制指令的一阶信号之间的误差大小,因此难以使用其作为反馈量进行控制,只能使用前者进行替代。但由于滤波后控制指令与理想控制指令之间不可避免地存在一定的误差,因此每一步滤波后控制指令与实际值之间的误差并不能真实反映实际的跟踪误差。此外,低通滤波器时间常数的取值范围限制了系统的控制增益不能取较大值,这在一定程度上也限制了系统的控制能力[15]。如能使用待跟踪状态与理想控制指令之间的实际误差作为反馈量,则有利于分析控制器的实际跟踪效果,同时能够解除系统控制增益大小的限制。

另一方面,HFV控制器设计过程中,还必须考虑模型干扰项的影响。由于HFV模型具有参数不确定的特点,因此必须考虑由此造成的不确定性影响；同时,HFV外部飞行环境复杂,飞行器不可避免地会受到外部干扰的影响。在目前已有的研究中,通常对HFV模型中的不确定项做3种类型的假设：① 不考虑外部干扰的影响,只考虑模型参数不确定带来的影响[12,16]；这种假设有利于控制器设计和稳定性分析,但显然不符合实际。② 系统干扰项的导数是有界的[4,9,11,17]；这种假设考虑了外部干扰因素,但由于组成系统总干扰的因素较多且该假设涉及到信号的一阶导数,因此受到部分学者的质疑。③ 系统干扰项的大小是有界的[18-19]；这种假设是比较合理的,但采用这种假设的学者多利用总干扰的上界进行控制器设计和稳定性分析工作,而不是估计总干扰的实际值,因此其实际控制效果会受到一定的影响。总的来说,以上3种类型的假设均对系统的总干扰进行了一定的约束,如何在不对系统总干扰进行约束的情况下进行控制器设计工作,是一个值得探究的问题。

本文提出一种基于Backstepping和跟踪微分器的HFV跟踪控制方法。引入待跟踪状态与理想控制指令之间的实际误差作为反馈量。利用跟踪微分器求取信号的一阶导数,提高了控制器对控制增益变化的适应性；针对系统中存在的不确定干扰项,基于跟踪微分器设计了估计方法,放宽了对系统干扰项的限制；此外,控制器设计过程中还考虑了控制量饱和的情况。基于Lyapunov理论分析闭环系统的稳定性。最后,通过对比仿真验证了所提方法的有效性。

1 HFV纵向模型描述

本文以文献[20]中提出的吸气式HFV为研究对象,其纵向通道动力学模型可描述为

式中：V、γ、θ、Q分别表示速度、航迹倾角、俯仰角和俯仰角速度；α、m、g、Iyy分别表示攻角、飞行器质量、重力加速度和俯仰通道转动惯量；dV、dγ、dQ表示由于气动参数不确定、模型简化以及外部干扰引起的扰动项；T、D、L、M分别表示推力、阻力、升力和俯仰力矩,其表达式为

(2)

(3)

式(3)中的计算系数参见文献[20]中的附表。考虑到执行机构的实际物理特性,以及文献[20]中给出的式(3)中各项计算系数有效的飞行状态范围,控制器设计过程中需考虑控制量的容许范围[20],具体数值如表1所示。

表1 飞行状态和控制量的容许范围

2 非线性控制器设计

控制器的设计目标为：飞行器的速度V和航迹倾角γ分别跟踪期望的连续光滑的参考轨迹Vref和γref。

为实现控制目标,基于Backstepping方法设计飞行控制器,首先将式(1)所示飞行器模型分为由状态V组成的速度子系统和由状态γ、θ、Q组成的航迹倾角子系统。由式(1)～式(3)可知,HFV纵向通道动力学模型存在复杂的强耦合特性。首先是控制量耦合：升降舵偏角δe通过影响气动阻力D进而影响速度子系统动态,而燃料空气混合比φ通过影响推力进而影响航迹倾角子系统动态。对于此特性,文献[20]通过对模型特性进行分析,认为升降舵偏角δe对速度子系统动态的影响可忽略不计。基于此,2个子系统可分别进行非线性控制器设计工作：在进行速度子系统控制器设计时,只考虑控制量φ的影响,设计φ的控制律；然后将φ代入航迹倾角子系统,设计δe的控制律。除控制量耦合外,升降舵偏角除影响俯仰力矩外,还对升力有耦合影响,这使得航迹倾角子系统不能表达为严反馈形式,难以应用Backstepping方法设计控制器；同时,根据文献[20]对小扰动线性化模型特性的分析结果,这一耦合项带来一个右半平面的零点,使得航迹倾角子系统表现为非最小相位系统。对此,文献[20]提出一种增加鸭翼控制舵的方法,根据鸭翼的安装位置,使其与尾部升降舵按一定比例联动,以消除尾部升降舵对升力的影响,本文也采取同样方式解决这一问题。

控制器设计的重点和难点在于：① Backstepping方法设计过程需要求取虚拟控制量导数,而采用传统动态面方法实现较为简单,但对控制增益的变化适应性较差,从而影响控制精度；② 控制器设计过程中需要对模型中的干扰项进行估计,而模型中的干扰项受多方面因素影响,难以通过一定的假设对其进行限制。对于这2个问题,本文拟采用跟踪微分器进行解决；同时,考虑控制量执行机构的物理实际,在控制器设计中应考虑控制量饱和的因素。综合以上分析,本文所设计的控制器结构如图1所示。

图1 控制器结构图

2.1 跟踪微分器设计

目前已有研究中,有很多滑模微分器的方法[21-23]能够得到信号的一阶导数,但其要求该信号的高阶导数需满足一定的约束条件,且微分器参数较难调节。针对这些问题,文献[24-25]提出了一种设计跟踪微分器的思路,能够较好地克服滑模微分器的不足。因此,本文选择基于文献[24-25]的思路设计跟踪微分器。首先给出引理1。

引理 1[25]对于系统：

(4)

(5)

满足

(6)

即x1(t)平均收敛于v(t),x2(t)弱收敛于v(t)的广义导数。

(7)

式中：

(8)

定理1对于系统

(9)

其解满足z1(t)→0,z2(t)→0(t→∞)。

(10)

对式(10)求导可得

ϑ(z2)z2≤0

(11)

基于引理1和定理1,可得如下跟踪微分器

(12)

2.2 速度子系统控制器设计

(13)

式中：

(14)

(15)

(16)

(17)

注 3相比于其他干扰项估计方法[4,9,11,16-19],设计的式(15)、式(16)估计方法未对干扰项dV进行任何限制,从而拓宽了整个算法的应用范围。

(18)

式中：kV>0为常值控制增益。

2.3 航迹倾角子系统控制器设计

航迹倾角子系统由式(1b)～式(1d)组成,控制器设计基于Backstepping方法。

(19)

式中：

易验证在表1所示范围内有gγ≠0,则虚拟控制量θ的控制律θcmd可设计为

(20)

(21)

(22)

此时有

(23)

采用如下跟踪微分器估计θcmd的一阶导数

(24)

(25)

(26)

虚拟控制量Q的控制律Qcmd可初步设计为

(27)

式中：kθ>0为常值控制增益。

(28)

(29)

(30)

式中:

考虑到实际物理系统限制,控制器设计过程中需要考虑可能出现的控制量饱和问题,即δe需满足表1中给出的约束。对此,采用如下辅助系统设计δe饱和时的补偿信号χe

(31)

(32)

(33)

(34)

此时有

(35)

(36)

式中：kQ>0为常值控制增益。

注 5本节控制器设计过程中使用了5个跟踪微分器,分别对V、γ、θcmd、Qcmd、Q进行估计,数量上与传统基于Backstepping方法的HFV控制器相当(需要2个动态面和3个干扰观测器/扩张状态观测器)。

3 稳定性分析

本节分析闭环系统信号的稳定性。其中,跟踪微分器相关信号式(17)、式(23)、式(25)、式(29) 和式(35)以及控制量饱和补偿信号χV、χe的有界性已在前面进行了分析和证明,在本节不再赘述。

(37)

对式(37)求导,由式(13)～式(14)、式(18)～式(20)、式(26)、式(30)～式(32)、式(36)可得

(38)

考虑式(17)、式(23)、式(25)、式(29)和式(35),以及不等式xy≤|x||y|,可得

(39)

(40)

(41)

证毕。

4 仿真分析

本节通过对比仿真验证本文所提控制方案的有效性。仿真模型采用式(1)～式(3)所示非线性模型,总体和气动参数取值参考文献[20]附表中提供的数据。飞行器的初始状态设置为

仿真过程中控制输入需要满足表1中规定的饱和约束。

对比文献[9]中提出的控制方法,本文所提方法主要有2个方面的区别： ① 对干扰项的估计方法不同,对比方法要求干扰项可导且干扰估计误差与干扰项导数的上界有关,本文所提方法无以上要求； ② 求取虚拟控制量一阶导数的方法不同且控制偏差反馈量不同,对比方法以待跟踪状态与滤波后控制指令之差作为控制偏差,采用动态面方法求取虚拟控制量的一阶导数,本文方法以待跟踪状态与理想控制指令之间的实际误差作为控制偏差,基于跟踪微分器求取虚拟控制量的一阶导数。针对以上2点,设计2组对比仿真实例分别进行验证。实例1的参考轨迹设置为

模型气动参数偏差取-20%。控制器参数设置如表2所示。

表2 实例1控制器参数设置

实例1中重点考察速度子系统控制效果,因为速度子系统2种方法的控制律不涉及虚拟控制量的求导运算,只存在前述的区别 ①,这样可以排除因区别 ② 带来的控制效果影响。实例1的仿真结果如图2所示。

图2 实例1仿真结果

实例1验证了所提方法在干扰项估计方面的优越性。接下来,设计实例2验证前述区别 ② 带来的控制效果影响,同时验证控制量饱和情况下所提方法的有效性。为消除干扰观测器估计误差对控制效果的影响,在实例2中,2种控制方法都使用本文设计的干扰估计策略。此外,在模型中增加以下外部干扰：

上述外部干扰分别作为组成dV、dγ和dQ的一部分加入至式(1)所示模型中。其余仿真条件和控制器参数同实例1中的设置,仿真结果如图3～图4所示。

图3 实例2仿真结果

图4 实例2本文方法其他飞行参数结果

综合图2～图5的结果可知本文所提方法较对比方法具有更好的控制效果且对控制参数变化的适应性更好；所提干扰估计策略能够较好地实现对系统干扰项的估计；当控制量出现有限时间饱和情况时,所提控制方案仍能保证飞行状态的稳定性。

图5 实例2本文方法补偿信号χV、χe曲线

5 结 论

1) 基于跟踪微分器设计了对系统干扰项的估计方法,相较传统方法放宽了对系统干扰项的约束；仿真结果证明所提方法相较对比方法取得了更好的估计效果,进而提高了控制器的控制效果。

2) 以待跟踪状态与理想控制指令之间的实际误差作为控制偏差,基于跟踪微分器求取虚拟控制量的一阶导数,相较动态面方法取得了更好的控制效果,且对控制增益变化的适应性更好。

3) 所设计的控制方法能够在控制量出现有限时间饱和情况时保证飞行稳定性。