浅析如何理清分数学习的知识脉络

摘 要：文章从一道小学高段分数常见题引发思考，对分数的意义进行了解读。文章通过对题目错误根源的找寻，运用合并教学、对比教学，理清分数学习的知识脉络，搞清分数意义本质，并从课堂教学的角度提出一些有效的教学建议。

关键词：分数意义;知识脉络;意义理解

一、 缘起

练习题呈现：把一根2米长的木条锯成同样长的4段，每段是这根木条的（  ）（  ），每段长（  ）（  ）米。

此题是五年级检测试卷中的一道常考题，学生错误率非常高，甚至有部分学生一直到小学毕业，还没有搞明白究竟怎么回事。笔者对五年级两个班的76位学生就本题进行了测试。为了更清楚地了解学生的思考过程，以便更准确地把握学生的错误原因，要求学生用文字结合示意图的形式加以说明，10分钟内独立完成，整个过程真实、可信。仅看结果，正确的有39人（两个班分别为20人和19人），正确率为51.3%，结果与过程均正确的仅有30人（两个班分别为16人和14人），仅占39.5%，真是让人大跌眼镜。

课后在与同事的交流中发现，很多同事对这个习题也是头疼不已，从一开始的耐心讲解分析，到最后让学生死记硬背，效果总不是那么的理想。笔者试图通过回顾分数学习的历程，理清分数学习的知识脉络，找寻错误的根源，从课堂教学的角度提出一些教学建议，促进学生对分数意义的理解。

二、 分析

这道习题考查的知识点是什么？分数的意义吗？分数的意义究竟有哪些？现在主流观点认为分数具有“率”和“量”两种不同的意义。笔者试图通过回顾两种分数意义学习的历程，理清分数学习的知识脉络，找寻错误的根源，从课堂教学的角度提出一些教学建议，促进学生对分数意义的理解。

（一）表示一种关系

学生三年级时从“部分与整体关系”的意义认识了分数，强调在“平均分”的基础上，加入整体的概念，让学生认识到，与整体相比较，部分也可以是一个数。

但从三年级一直到五年级，学生头脑中对分数的意义理解仅有一种：“部分与整体的关系。”到了五年级下第一课时“分数的意义”仍旧突出了这种关系，明确提出整体可以是一个或者多个物体，但不管是一个还是多个物体，表示的意义仍旧为“一种关系”。如将4个饼作为一个整体，那么它的14实际上表示1个饼，而有不少的学生认为是14个饼。

（二）表示具体数量

对于分数与除法的关系，很多学生只停留在表面的各部分的联系，进行了比较与迁移，往往忽视了它们之间内在的本质沟通。在教学“用分数表示除法的结果”时，学生会很熟练地把被除数看成分子，除数看成分母（图1）。但如果是这样的题目“1÷7=（  ）”，结果往往不是用分数表示的（图2）。学生为什么不用分数表示除法的商呢？课后访谈得知，虽然已经学习过分数与除法的关系，但很多学生还是认为只有整数和小数才能表示计算的结果，而分数只表示“几份中占了几份”，也就是只表示“一种关系”。也说明学生只是从外在的形式上认识了分数与除法的关系，对分数表示“商”的意义是远远不够的。

在学习分数意义的过程中，我们要注重学习素材与生活经验的合理衔接，让学习的素养更具有现实意义，这样才能让数学的知识更贴近于生活实际，这就要求我们从数学的外部恰当地引入分数。教材又从学生喜闻乐见的“分蛋糕、分月饼”等经常经历的事例进行引入，抽象出分数与除法的关系，这实际上从纯数学的角度，赋予了分数“商”的意义。从现实生活的问题中引入分数“部分与整体关系”的意义，利用现实情境与实物操作的方法，有利于学生对“份数”和“商”的意义理解。

从学生对两种不同意义的学习历程中不难发现，学生对分数表示“部分与整体关系”的意义是根深蒂固的，不利于对分数其他意义的理解。这道习题实际上就是考查了分数表示“关系”与“商”两种不同意义的理解，然而当学习了“分数与除法”之后，原来分数也可以表示“商”。正是学生对分数表示“部分与整体关系”的根深蒂固，而对“分数与除法”没能从本质上理解，才使得学生的学习，仅停留在“被除数与分子，除数与分母”的表层理解上。因此区分分数表示两种不同的意义还是有一定难度的，错误率高也就不难理解了。

三、 思考

怎样更好地帮助学生认识分数的两种不同意义，并理解内在的联系和区别呢？笔者认为可以进行以下教学尝试：

（一）合并教学

以人教版为例，分数两种意义的教学是分成两课时的，第一课时学习“部分与整体关系”的意义，第二课时学习“商”的意义。笔者认为这样的编排，仍旧突出了“份数”的意义，可能不利于学生对“商”的意义理解，以至于不能很好地区分两种不同的意义。能否把分数的两种意义合并教学？在同一课时中让学生理解、辨析、区分两种不同的意义，会不会更好地掌握分数的两种意义呢？笔者在四年级下学生中作了尝试，在课后练习测验和访谈中，教学效果比原来分开教学要好一些。

（二）對比教学

文章开头的题目，是让学生直接区分分数的两种不同意义，因为对两种意义的理解不透彻，所以对很多学生来说有一定难度。如果单独考查学生对分数两种意义的理解，是否会更好一些？故在此后又重新让两个班的学生分别作了测试，而且两个班的测试内容还作了适当的区分，具体如下：

第一次：单独考查学生对分数表示“部分与总体关系”的理解。特意在两个班设置相同类型，但题数不同的题目，仍旧要求学生用文字结合示意图的方式加以说明思考过程。目的是了解学生对“份数”意义的理解情况，以及学生单个题目与多个相同类型题目的理解是否会有区别，以便更好地指导课堂教学。

大部分学生对“份数”意义已经理解。此前单元练习题测试结果两个班并无明显差异，多个练习的正确率要高于单个练习的正确率。

第二次：单独考查学生对分数表示“商”的理解。和第一次考查一样，也在两个平行班中设置了单个题目与多个相同类型的题目，但对单个题目和多个题目的考查进行了班级交换。仍旧要求学生用文字结合示意图的方式加以说明思考过程，调查在正确率上是否会有差异以及差异是否明显。

从结果来看，还是有相当一部分的学生对“商”的意义是不理解的，有对比练习的多个题目的正确率要好于单个题目。

通过两次对比测试可以看出：学生对单独考查分数的两种意义要略好于两种意义混合考查，说明学生对两种意义的理解是有一定的认知基础的，只是概念还不够清晰，容易混淆。从分数表示两种不同意义的角度看，学生对分数表示“部分与整体关系”的理解要优于分数表示“商”的理解，从学生的学习历程也印证了这一点。

四、 实践

基于学生对分数两种意义掌握的现状，笔者认为在分数意义的教学中，可以从分数表示“份数”的定义引入，但重点应放在分数“商”的意义及两种意义的辨析上。笔者在四年级下重新进行了两次教学实践，教学效果要优于原先分成两课时教学。

【环节一】：异中求同：学习分数“份数”的意义

1. 认识一个整体

（1）出示例題：请你画出示意图分一分，思考：每份是全部的几分之几？

（2）思考：分别是谁在平均分成4份？请把它圈出来。

（由于在三年级上《分数的简单应用》中已经对多个物体表示一个整体有过接触，对多个物体表示一个整体，学生已经有了初步的认识与感知。通过画一画、分一分中认识到，不管是1个、4个还是2个蛋糕，都是平均分成了4份，每份就是全部的14，在讨论与交流中加深对“份数”意义的理解。）

2. 揭示“份数”的定义

（1）提问：不同的蛋糕个数在平均分，为什么都是14呢？

（2）小结：都是总数4份里的1份，只是整体不一样了。分数在这里都表示部分和整体的一种关系。（板书：一种关系）

（在两次执教过程中，有学生提出：可以把4个蛋糕看成1个大蛋糕，把这个大蛋糕平均分成4份，也就和第1小题一样了。把2个蛋糕平均分成4份，每份是这些蛋糕的几分之几？在教学中学生出现了争议，有些学生认为是28，有些学生认为是24，因为有了之前的经验，大部分学生的理解是正确的，认为是14。同样有学生认为可以把2个蛋糕看成1个大蛋糕，也就和前两题道理一样了。）

【环节二】：同中求异：学习分数“除法”的意义

1. 体会“除法”的意义

（1）把4个蛋糕平均分成4份，每份是几个蛋糕？

提问：可以怎样列式？4÷4，等于多少？

（2）把1个蛋糕平均分成4份，每份是几个蛋糕？

提问：算式怎么列？1÷4，追问：等于多少呢？学生根据刚才的示意图可以看出是14个蛋糕。（事实上，在这里很多学生对14和14个是混淆的）

（3）把2个蛋糕平均分成4份，每份是几个蛋糕？

提问：算式怎么列？2÷4，追问：等于多少呢？学生根据刚才的示意图可以看出是24个和12个，为什么不是14个呢？根据学生回答补充板书。

（从整数除法引入，学生更容易从平均分的角度把分数与除法联系起来。因为有了4个的经验，1个和2个平均分成4份，列式就比较容易了。至于结果是多少，学生可以根据示意图中看出来，但在这里学生对两种意义的区分仍旧是模糊的。）

2. 区分两种不同的意义

（1）为什么不一样多的蛋糕平均分成4份，每份都是全部的14？（因为不管几个蛋糕都看成了一个整体，都表示4份中的1份）这里的14表示其中一部分与整体之间的一种关系。

（2）为什么都是14却不一样多呢？（因为整体不同），看来具体多少个蛋糕和什么有关？（总数的多少）因为总数的多少不同，所以平均分成4份后其中的1份也会不同。这里的14个、1个和24个表示一个具体的数量，可以用除法进行计算，用分数表示结果。

3. 建立符号模型，搞清分数与除法的关系

（1）观察三个除法算式，思考：怎样写出除法算式的商？（被除数与分子，除数与分母）

（2）为什么可以这样表示？（分数和除法都可以表示平均分，比较联系观察后即可得出）

【环节三】：分数的产生

提问：什么时候我们会用到分数？（多数学生会提到分物体）

在日常生活中，除了分物体和测量物体长度时，也可以出现在计算中，比如在计算除法时，分数也可以表示除法的商，如1÷7=？（这时候很多学生还是习惯用小数来表示，会有很少一部分学生能用17表示结果）7÷9=？（79，体会分数表示除法结果的优势）

（从数学的外部需要与数学内部发展需要两个角度，解释了分数产生的不同背景，帮助学生理解两种不同的意义，并从中体会分数表示结果的优势。）

分数教学中，由于学生在刚接触分数时，都采用“份数”的定义引入，通过分一分、画一画等多种形式的强化，学生对分数表示“部分与整体的关系”是非常深刻的。这样对理解分数表示“商”是有负迁移作用的。因此，在教学设计中，通过“异中求同”“同中求异”来帮助学生区分两种不同的意义，应该说更侧重于分数表示“商”的教学，是有利于更好地理解分数两种不同的意义的。

参考文献：

[1]吴志健.例谈分数意义习题习得性教学误区[J].教学与管理，2019（26）：34-35.

作者简介：

郭益东，浙江省杭州市，浙江省杭州市萧山区瓜沥镇光明小学。