西方音乐中的数理思维溯源

王雪岩

公元前6 到4 世纪是古希腊的音乐发展最活跃的一段时期，歌唱曲、抒情诗、器乐演奏以及音乐戏剧等形式都发展到了很高的程度，还开展了众多围绕这些形式的公众比赛和竞技活动。除此之外，古希腊在这一时期还产生了有关音律、音阶、调式和记谱等理论，以及古希腊独特的音乐哲学。公元前5 世纪虽然还是古希腊文明的黄金期，但还是显示出了走向衰败的状态。在音乐上的表现为：简单朴素、庄严肃穆、注重心智与教育的音乐被加以炫技且复杂，还强调注重娱乐的享乐音乐所冲击。这一时期，围绕着音乐的社会功能，还有音乐的守旧与革新等音乐美学问题展开了激烈的论争。

一、毕达哥拉斯理论

和声的1:1 比例关系起源于古希腊人古老的教义，他们用砝码与和弦的长度来证明1：1 的比例产生和声的音程。1：2 为八度，2：3 为五度，3：4 为四度，①音高的比例关系同时被认为是上帝创造秩序的根本。在所有造物的宏观和微观世界中，都可以看到所谓的“普遍和谐”的存在，表现之一就是球体的音乐。毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前550）学派认为，每个行星在旋转时都会产生不同的音符，行星之间的距离是和谐的。1599 年，开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）为每颗行星指定了一个速度，土星的速度为3，木星4，火星8，地球10，金星12，水星16。木星和火星产生了4:8，即1:2 的八度关系，火星和金星呈现出8:12，即2:3 的五度关系。

亚里士多德、托勒密和新柏拉图传统之间的概念性矛盾使希腊思想在欧洲的传播和接受变得复杂化，引起了一场无法解决的争论，即永恒的数学定律是否支配着自然界。或者是反过来说，人类是否逐渐发现了这些定律。古希腊伟大的哲学家和数学家毕达哥拉斯提出的和谐论是当时音程和音阶的代表性理论。毕达哥拉斯学派将宇宙和谐的基础认为是完美数字构成的比例关系，音乐类似宇宙天体。因此，音乐可以更好地说明宇宙现象。为了证明这个理论，研究者将弦的两端固定到一个共鸣体上，通过不断改变琴马的位置来确定不同弦长下的比例关系。结果呈现出以弦长为基础产生音阶中不同的音程关系，具体表现为：当弦长比例为1：2 时，发出的两个音正是相隔八度的音高关系组成的，弦长比例为3：4或者是2：3 时，发出的两个音的音程关系分别对应为四度和五度。由于毕达哥拉斯学派认定“4”以内的数字为简单数字，并且四度、五度和八度音程关系的弦长比又都是“4”以内最简单的数量比例关系。因此，他们认为只有四度、五度和八度是完美和谐的音程，其余音程关系都是不和谐的。六个音阶的数字，也被认为是完美的，因为通过1:1；1:2；2:3；3:4；4:5 以及5:6 的比例，依次组成了单音、八度、五度、四度、大三度和小三度。这也是为什么圭多的六声音阶“Ut、Re、Mi、Fa、Sol、La”代表六弦的六度也被认为是完美的原因之一。②毕达哥拉斯是第一位以数理的方式解释音乐现象的人，和谐论的提出既是四音音列的基础，同时也对西方音乐后来的发展产生了深刻的影响。

二、数字象征意义

毕达哥拉斯学派提出的有关合理与数理的自然观，摒弃了原始阶段人们视自然及其作用力为一种神秘的且不能明确解释的玄学思想，将原本混乱的现象归结为一种井然有序且可以理喻的事实。直至今日，处在当代的人们虽已具备高度发达的智慧与思维，也仍不怀疑从抽象的自然得来的数学是可以对自然界的某些现象进行合理的抽象阐释的，也不会对具备显而易见序性的事物才能被数学所抽象的事实产生怀疑，并且会将和谐的、有序的作为主要特征的音乐视作人类情感和理性的产物。尽管现如今仍不乏有人将它看作是与数学或是科学分属人类文化不可相交的两个方向，但最终的多数人还是信服于音乐是可以借数学来抽象反映的。反过来，一个事物如果可以把音乐包括在内，能够做到直接并且全面地受控于数理逻辑思维之下，那这个事物就必定是可以排除可能产生混乱的所有可能性，从而具备了高度的有序性。

一般而言，音乐也是作为世界万物之一的物质的，因而也是可以被数学所抽象的。具体到一部音乐作品中，可能出现的数字表现而言，是不能被直接随意的数学方法来抽象解释的。这缘于音乐作品一定是也只能是有方向、有顺序、有目的、且有时间限制的一个运动过程的这一前提。多数的和声标记法中，也是借以数字才得以实现清晰说明和弦性质以及和弦的根音或低音所在的依据。相对音乐这类艺术门类在生理和心理上能够被创作者和听众甚至全部人所接受并把握的音乐作品而言，其中所需要的正是匀称协调、有序和谐等诸多特性的数。比如，毕达哥拉斯学派称数字“1，2，3，4”是“四象数”（tetractys）。这个学派有一句宣言为：“谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，长流不息的自然根源包含在其中”。③这个学派将自然界的“四元”视作是由点、线、面、体，以及土、气、水、火这八个方面分别组成的。无独有偶，古希腊的音阶同样是以“a、g、f、e”的四音组为核心的。在此基础上，再进行四次的连续转位才构成一条完整的音阶，这个四象数正好是有理数集中自然数子集的前四项。毕达哥拉斯还将1—10 中的每一个数字都赋予了特别的意义。数字“1”是全部数字的第一位原则，也是万物之母，是智慧的表现；数字“2”有对立和否定的原则意义，是意见的表达；数字“3”是世间万物的形式组成；数字“4”意为正义，象征着宇宙的创造者；数字“5”包含奇数和偶数，是雄性与雌性的结合体，代表着婚姻；数字“6”意为神的生命，是灵魂归属；数字“7”代表着机会；数字“8”象征着和谐的爱情与友谊；数字“9”有理性与强大的意义；数字“10”包含着一切基础的数字，象征着完满与美好。

在偶数集中，尤其那些能够被以“2”或“4”为单位等分或是偶除的偶数，例如“2、4、6、8、16……”，由这些数字进一步构成了首项为“2”，公比也为“2”的等比或几何数列。缘于这类偶数的特殊性质，使他们能够让人直接地感受到对称和平衡的美感，因而在音乐创作中被广泛采用，正如传统曲式学中常见的方整性结构。这类结构中的小节数量直接体现出了数字的方整特征，正如上文所述，自然数集中除偶数之外的一类数是奇数，因为奇数不具备被“2”或除“2”外其他一切偶数整除或是完全等分的特征。因而，音乐创作中对奇数的使用相比偶数的应用范围就要狭窄很多。例如，方整性的曲式结构往往有着偶数的性质，在任何创作的时代、任何作品的类型，甚至是不论体裁及表达内容，几乎在全部作品中的任何一个位置都可以见到这类曲式的结构模式。而具有奇数性质的非方整性的曲式结构，就更多见于用以破坏原作平衡感，加强作品动力，或者是应用在满足某些特殊需要的地方。但是，除了“1”之外的任意奇数，还又都具备以“1”为对称中心且可分的性质，也就是：（2n-1）=（n-1）+1+（n-1）的结构模式，例如，3：1、1、1，5：2、1、2，7：3、1、3，9：4、1、4……，（2n-1）：（n-1）、1、（n-1）……等等诸如此类。如果将奇数特性这样加以理解，那么其在既往的音乐创作中也是多见的，例如，以“快—慢—快”或是“慢—快—慢”的结构模式来布局的三个乐章的作品；以“A—B—A—B—A”的结构来布局对称的五部性结构；还有以“A—B—A—C—A—B—A”为结构来布局的奏鸣回旋曲式等都符合上述的奇数对称特性。

质数也被称为素数，指的是大于“1”的自然数中，除了“1”和本身外不再有其他因数的自然数，否则称为合数。由于质数特有的性质，使其在自然数中显得神秘且特殊的，音乐的独特性决定了它具备数性的可能性，质数集合中的前几个数字“2、3、5、7、11、13、17、19、23……”，在音乐作品中有较为普遍的反映。值得提的是，在已有的大量音乐实例中可以证实，质数的数字性还不仅体现在音乐作品的形式与特性中。甚至可以被作为一种象征，用来关联或影响音乐作品要表达的内容，这一点尤其在表达悲剧性的内容时较为突出。如贝多芬《第七交响曲》的第二乐章，这部分表达的是沉重哀婉的情绪，赋予悲愤壮烈风格的进行曲，乐曲这部分开始的主题在呈示部内完整变奏了三次，到了再现部又完整出现了两次，这样一来，两部分出现的总和数即为“5”，再将呈示部与尾声放在一起，可发现这个主题在乐章中共出现了“7”次。肖邦《序曲》中的作品28 号，可谓是其众多经典作品的其中之一，其中的第20 首c小调是一首沉重严肃的“葬礼进行曲”，由三个乐句组成，全曲共有十三小节。贝尔格（Alban Maria Johannes Berg，1885—1935）是一位对数论很感兴趣的作曲家，他赞成柏林著名学者W.威利斯（W.Willis）的观念，也认为“23”这个数字是一个极有意义且有关宿命论的数字，在他的音乐创作中也如痴如醉地加以对数字“23”的运用，并借以“23”这个数字使音乐作品中暗含着作曲家的独具匠心之处。④

结 语

歌德说：在限制中才显出大师的本领，只有规律才能给我们自由。席勒说：如果我们开始进入经验的领域，那么你就会得到完全不同的说明，那时你才会正确理解感性的自律。但是，接下去：我们在一定概念的前提下才能获得的形式在现象中表现为他律。因为对于对象来说，每一概念都是某种外在的东西。这种形式具有严密的合规律性（其中首先是数学形式），因为这种形式把构成它的概念强加给我们；这种形式具有严格的合目的性（特别是实用的合目的性。因为它总是和其他一些东西相关），因为他使我们想起对象的规定和应用，由此必然破坏了现象中的自律。⑤毕达哥拉斯学派早在公元前585—400 年，就已经提出了“万物皆数”这一信条。在他们看来，自然界下隐藏的且不断变化着的世间万象，其真实性都可以借用数学来予以说明，并且还把“数”视作他们解释自然的第一位原则。音乐属于世间万物的一类，也就必定与万物具备一定的同一性，也可以借数与数之间的关系来解释音乐现象。■

注释：

① 大三度和小三度分别对应4：5 和5：6 的比例，这样的音程比例关系在复调音乐中极其重要。

② 作为中世纪音高系统规范化形式之一的六声音阶，将古希腊人确立的四声音阶大范围地取代了，还在当时及之后的音乐理论和创作实践中，都占据着极其重要的地位，广泛地运用在作曲创作和理论研究中。例如，对音乐的音域采用六声音阶为单位来进行分组，还有作为当时主要写作模式的定旋律，也通常采用的是六个音符并进行六次的结构构成等的应用现象。

③ 彭志敏.音乐有限运动过程矢量在无限数集系统中的闭合区间——《音乐数控理论》导言[J].中国音乐学,1986,(04):22.

④ A.伯格、W.威利斯及小提琴协奏曲的秘密题性内容[J].世界音乐,1985,(03).

⑤ [徳]席勒.美育书简[M].徐恒醇译,北京:中国文联出版社,1984:154.