分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性

李 帅, 张志信, 蒋 威

(安徽大学数学科学学院，合肥 230601)

1 引言

分数阶微分方程源于对空气动力学、流体流动、复杂介质电动力学、控制理论、信号和图像处理等模型的研究[1-6].分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前，对于分数阶微分方程的边值问题已经取得了丰富的理论成果[7-14].文献[7]利用迭代法给出了分数阶边值问题解的唯一性的充分条件，文献[8-10]则研究了分数阶边值问题的正解问题，文献[11,12]利用Krasnoselskii 不动点定理证明出边值问题解的存在性，文献[13,14]中分析了分数阶周期边值问题以及反周期边值问题的解.对于带有时滞的分数阶微分方程的边值问题相关成果不多[15-19].文献[15]中研究了一类分数阶时滞三点边值问题解的存在性和唯一性，而文献[16-19]讨论了分数阶微分方程边值问题解的存在性问题.文献[20]中，研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题解的唯一性

其中2＜α ≤3, Dp表示p阶Riemann-Liouville 分数阶导数，f:[0,1]×R→R 是连续函数.

受到以上文献的启发，本文研究了一类分数阶时滞微分方程的边值问题

其中2＜α ≤3, τ ＞0, f: [0,1]×R→R 是连续函数，φ(t)是初值函数，cDα表示α阶Caputo 分数阶导数.本文分别利用Banach 压缩映像原理、Schauder 不动点定理给出了保证方程(1)解的唯一性与存在性充分性条件.作为应用，给出具体实例来说明主要定理条件的有效性.

2 准备知识

在本节中，我们将介绍贯穿全文的定义、定理和引理.对任意的x ∈C[-τ,1]，范数定义为

其中格林函数G(t,s)为

当0≤t ≤s ≤1 时，有

引理4(Banach 压缩映像原理)[21]假设K是Banach 空间E的非空闭子集，T:K →K是压缩算子，即对任意的x,y ∈K，有

则存在唯一的x*∈K，使得Tx*=x*.

引理5(Schauder 不动点定理)[21]假设K是Banach 空间E的有界凸闭集，且T:K →K是全连续的，则存在x*∈K，使得Tx*=x*.

3 主要结果

在下文中，我们总是认为以下假设成立：

(H1):f ∈C[[0,1]×R,R]，且φ ∈C[-τ,0]；

(H2): 存在p ∈C[[0,1],(0,+∞)]，使得

定理1 如果(H1)和(H2)均成立，且满足N ＜1，那么边值问题(1)存在唯一解.

证明 显然，算子T的不动点是边值问题(1)的解，首先证明算子T是压缩算子.

容易说明K是C[-τ,1]的子空间，并且满足T(K)⊆K，K中范数定义如下

因此，我们在空间K中考虑算子T的不动点.

对于任意的x,y ∈K，当t ∈[0,1]时，有

由于N ＜1，所以算子T是压缩算子.由Banach 压缩映像原理知算子T存在唯一的不动点，即边值问题(1)存在唯一解.

定理2 如果(H1)成立，且满足：

(H3): 存在常数M ＞0，使得

那么边值问题(1)至少存在一个解.

证明 易知K是Banach 空间C[-τ,1]的有界凸闭集，且T(K)⊆K.要证算子T:K →K是全连续的，只需证空间K的任意一个有界集H, T(H)为列紧集.

1) 先证T(H)是一致有界的，对于任意的x ∈H，有

因此，T(H)是一致有界的.

2) 再证T(H)是等度连续的，对于任意的x ∈H, t1,t2∈[-τ,1]且t1＜t2，有：

以上情况中，对于任意ε ＞0，存在δ ＞0，对于任意的t1,t2∈[-τ,1]，当|t2-t1|＜δ时，总有|Tx(t2)-Tx(t1)|＜ε，因此T(H)是等度连续的.由Ascoli-Arzel`a 定理知，T:K →K是全连续的.所以算子T至少存在一个不动点，即边值问题(1)至少存在一个解.

4 具体例子

在本节中，我们通过具体例子来说明本文的主要结果.

例1 考虑如下分数阶时滞微分方程

对于任意的x,y ∈C[-1,1]，当t ∈[0,1]时，有

因此，条件(H2)中p(t)=e(t2+1)，则

显然，函数f是连续的，条件(H1)满足.令M=3，则|3 sin(πt+x(t-τ))|≤3 成立，条件(H3)满足.由定理2 知，边值问题(8)至少存在一个解.