一道函数最值问题的分析与探究

摘要：函数最值问题是高中数学中的重点内容，因其解法灵活多样，且综合性强，对于学生而言是一大难点.解决函数最值问题的关键是方法的选择，而在求解函数最值的诸多方法中，数形结合法处于一个十分重要的地位.函数最值问题往往与其他知识内容综合起来进行考查，这需要解题者善于对问题进行分析、处理，将其转化为熟悉的问题情境.

关键词：函数最值问题;解题方法;数形结合

函数最值问题作为高中数学的重点内容，因其解法灵活多样，且综合性强，对于学生而言是一大难点，需要解题者能够综合运用数学各方面内容，选择正确易解的方法进行求解。在求解函数最值问题的方法中，数形结合法处于一个十分重要、不可或缺的地位.當题目涉及到函数的图像和几何意义，此时借助条件中隐含着的几何信息，以形助数，不仅可以帮助我们开阔解题思路使问题变得清晰直观、简捷易解，帮助我们开阔解题思路，还可以避免错解，提升问题解决的能力 [1].

本文从一道数学高考题出发，揭示解题过程中的思维演进和问题转化，从而加深对函数最值问题的认识与理解，促进数学思维能力的发展.

一、问题呈现

分析：变式与原题的呈现方式不同，此题给出一个初等函数，解题者需要观察函数的形式，通过巧妙地换元进行求解，这部分的处理略有难度，对解题者的解题经验有一定的要求.顺利完成对问题的初步表征后，此时的问题情境与原题本质上是相同的，都是通过数形结合的方法，求解直线与曲线相交时的最值问题.但需要注意的是，此题中的曲线存在限制条件，并非原题中的整圆情形，而是位于 轴上方的半圆，因此解答时需要注意范围的限制，以防错解.

四、回顾反思

回顾本题的解题过程，有以下两点感悟：

一是灵活选择解题方法.函数最值问题的解法多样，解题时需要根据问题的情境以及给出的条件灵活选择解题方法.其中，数形结合法往往会使问题变得简洁、直观，通过将数量关系与空间形式巧妙结合，解题者会更容易发现解题信息之间的关联，从而迅速找到问题的突破口.因此，解题者需要充分挖掘“数”背后隐含着的“形”方面的信息，当问题涉及函数图像以及相关几何意义时，优先考虑数形结合的方法，提高解题的效率.

二是善于转化问题情境.求解本题的一个难点在于如何处理题目中给出的 ，利用平面向量的相关知识，将求 的最大值转化为求 的最大值，对于部分解题经验欠缺的解题者来说无疑是十分棘手的.然而解题目标（求 的最大值）一经转化，此时问题就变为我们熟悉的题型，即直线与曲线相交时的最值问题，问题到此往往可以得到顺利解答.因此，在解题过程中，我们需要善于“拨云见日”，去除覆盖在问题表面的复杂形式，发掘问题考察的实质内容，将问题回归于我们熟悉的问题情境，将解题思维由朦胧的问题表征引向光明的通途[2].

参考文献

[1] 戴海军.巧用数形结合思想求解最值问题[J].中学数学教学参考，2018（27）：17-18.

[2] 段志贵.数学解题研究——数学方法论的视角[M].北京：清华大学出版社，2018：17-19.

作者简介：

杨洁涛（1997-）男，汉族，安徽省滁州市，硕士研究生，研究方向：中学数学教学