怎样确定含参导数问题中分类讨论的“分界点”

范帅江

分类讨论思想是高巾数学中的重要思想之一，主要应用于解答出现的情况种类较多的问题.在运用分类讨论思想解答含参导数问题时，常常需对不同的情况进行分类讨论，然而很多同学却无法找到含参导数问题中分类讨论的“分界点”，导致解题出错.事实上，解题的关键在于如何确定含参导数问题中分类讨论的“分界点”.笔者认为可以从以下两个方面进行考虑.

一、讨论方程的判别式

很多导数问题要求讨论函数的单调性、单调区间、最值、极值、零点的个数等.解答这些问题的关键在于运用分类讨论思想，讨论求导后方程f'（x）=0的判别式与0之间的关系，进而确定f'（x）=0的实数解.一般地，若△>0，方程有2个解;若△=0，方程有1个解;若△<0，方程无解.

例1.已知函数f（x）=lnx+

（ ∈R）.若当x>l时，不等式f（x）<0恒成立，求

最小值.

解：由当A≥

时，方程

的判别式△：l-4 2≤0，所以当x>l时，f'（x）<0，导数f （x）在区间（1，+∞）上单调递减，且厂（1）=0，故f（x）<0在区间（l，+∞）上恒成立，

①当o< < 时，方程

+x- =0有两个不等的实数根，且0<所以当x∈1=

f（x）>o，导数f（x）单调递增，且f（1）=0，f（x）>0恒成立，与题意不符;

②当A≤0时，f（x）=lnx+

≥In x，因为y= Inx在区间（1，+∞）上恒为正数，所以f（x）>o在区间（1，+∞）上恒成立，与题意不符;

综上所述，当x>l时，不等式f（x）<0恒成立，的最小值为

。

解答本题的关键在于确定分类讨论的分界点.在求出导函数后，根据方程-

x2+x -

=0的判别式与0之间的关系来确定参数

的取值范围，然后再对应的区间上讨论导函数与0之间的关系，确定函数的单调性，以便构造出满足不等式f（x）<0恒成立的条件，求得A的最小值.

二、讨论零点的个数

与零点有关的问题在含参导数问题中并不少见.在进行分类讨论时，要重点讨论导函数f（x）=0的零点个数以及分布情况，在每种情况下讨论参数的取值、函数的单调性、极值的大小等，最后综合所有分类讨论的结果，得到符合题意的答案.

例2.已知函数f（x）=a

∈R，若方程2f（x） -lnx+x+2 =0有三个解，求实数a的取值范围.

解：令g（x）=2f（x）-Inx+x+2= （2a - l）lnx+

+x+2，g'（x）=

（x>0），

①若a≥0，则当X∈（o，1）时，g'（x）0，g（x）单调递增，g（x）最多有2个零点;②若a=

，则x∈（0，+∞），g'（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）最多有1个零点;③若—

解得

与

，则当x∈（o，1）或x∈（-2a，+∞）时，g'（x）>0，g（x）在（0，1）和（-2a，+∞）上单调递增;当X∈（I，-2a）时，g'（x）<0，g（x）单调递减，

要使导数g（x）有3个零点，则有解得

，而g（e-2）= 4+e-2+2a（e2 -2）<0，g（e2）= e2+ 2a（e-2+2）>o，

综上所述，若方程2f （.x） - Inx +x +2=0有三个解，则a的取值为

.

我们将方程有解的问题转化为函数有零点的问题，通过讨论函数零点的个数情况，进而求得参数a的取值范围.

总之，在解答含参导数问题时，同学们在对函数求导后要明确分类的对象是方程f'（x）=0的判别式或者y=f'（x）的零点，然后确定分类讨论的“分界点”，讨论判别式与0之间的关系、零点的个数，從而快速找到解题的思路.

（作者单位：江苏省启东市第一中学）