受扰布尔控制网络全局可重构分析与状态估计

杨俊起,龙 昊,钱 伟,卜旭辉

(河南理工大学电气工程与自动化学院,河南焦作 454000)

1 引言

在系统工程和生物系统中,布尔网络是描述系统实体之间相互作用的重要模型,在生物学、博弈论和信息学等许多领域得到了广泛关注和应用.布尔网络最早被Kauffman用来描述基因的动态行为[1].之后,更多的学者加入到布尔网络的研究中.引入外部控制变量的布尔网络称为布尔控制网络.此外,实际系统往往还要考虑干扰信号对系统的影响,这进一步形成了受扰布尔控制网络.近年来,由Cheng等人引入的矩阵半张量积(semi-tensor product,STP)理论,将逻辑系统转换为离散时间模型[2–3].利用STP理论,布尔网络等逻辑动态系统在诸如能控性和最优控制[4–9]、稳定性和镇定控制[10–14],以及能观性和可重构性[15–24]等方面得到了迅速发展.

布尔控制网络的可重构性对状态观测器设计至关重要.布尔网络和布尔控制网络的可重构性首先在文献[17]中被提出,并给出了移位寄存观测器和多状态观测器的设计方法.之后,在文献[17]的基础上,文献[23]提出了一种改进的多状态观测器,解决了观测器增益矩阵难以求解的问题.文献[18]分析了布尔控制网络可观测性与可重构性之间的关系,给出了一种Luenberger-like观测器设计方案.文献[24]回顾了布尔控制网络的能观性与可重构性,将4种能观性和3种能检性之间的关系用网络图呈现出来.对于切换布尔控制网络,文献[19]通过定义并分析观测数据矩阵,得到了切换布尔控制网络的4类可观测性的充要条件.文献[26]研究了具有随机扰动的有限区域网络最优状态估计问题.文献[22]使用节点聚合方法,降低了验证大型网络网络可重构性的计算复杂度.文献[15]将现代控制理论中的输入可观测性推广到一般布尔型控制网络中.然而,基于实际系统建立的模型常常需要考虑干扰项的影响,此时布尔控制网络模型不足以满足实际系统状况.因此,受扰布尔控制网络模型也就更具有研究价值.相较于布尔控制网络与切换布尔控制网络,受扰布尔控制网络的能观性与可重构性研究更为复杂.若干扰项可测,能观性与可重构性均可作为状态观测器设计的重要依据.然而,当干扰项未知时,状态演化具有不确定性,使得状态观测器设计具有一定的挑战性.目前,对受扰布尔控制网络可重构性分析和观测器设计的研究并不多见.

本文对受扰布尔控制网络的可重构性和状态估计问题展开研究,其主要贡献总结如下:1)利用状态可达集,根据受扰布尔控制网络的结构性质将系统状态分为4类;2)提出受扰布尔控制网络的有限时间可重构和全局可重构的概念,并继而分别给出了它们的判别方法;3)总结给出了一种全局可重构受扰布尔控制网络的状态观测器设计方法.

2 预备知识

首先列出了一些必要的符号,这些符号将在后文中使用.

2.1 半张量积及受扰布尔控制网络的代数表示

定义1[2]给定矩阵A ∈Rm×n,B ∈Rp×q,若用l=1 cm(n,p)表示n与p的最小公倍数,则矩阵A和B的半张量积定义为

基于半张量积得到如下一些性质:

引理1[18]两个向量的元素乘法可以借助幂减矩阵表示为

考虑受扰布尔控制网络,其包含有n个状态、m个控制输入、e个干扰信号和p个输出,系统描述如下:

注1值得指出的是:布尔控制网络可由控制量和当前状态确定下一时刻的状态,但对于受扰布尔控制网络,干扰信号使得状态演化具有不确定性,其可重构性分析和状态估计的研究更具挑战性.

2.2 状态集估计理论

证根据布尔控制网络(4)的输出方程,容易得到式(9).对于式(10),由式(7)可知,

式(10)得证.之后,基于式(9)和式(10)容易得到结论(11). 证毕.

3 主要结果

3.1 状态分析

其中Rf为Of中所有状态可达集的并集;

4) 状态集Z4:不属于以上3种状态的状态.

例1考虑具有3个状态、1个控制输入、1个干扰信号的受扰布尔控制网络(4),逻辑转换矩阵为

图1 状态集Z1,Z2,Z3,Z4划分Fig.1 The classification of state sets Z1,Z2,Z3,Z4

3.2 状态估计

根据推论1,公式化状态集(6)–(8)可得式(9)–(11).因此,状态估计转化为矩阵运算.

定理1给定受扰布尔控制网络(4),已知输入序列{u(0),u(1),···,u(t-1)}与输出序列{y(0),y(1),···,y(t)},可得状态估计向量为

3.3 受扰布尔控制网络全局可重构性分析

在给出受扰布尔控制网络状态估计问题之后,下面讨论全局可重构性问题.首先引入受扰布尔控制网络有限时间可重构的概念.

令S表示受扰布尔控制网络(4)可能的输入–输出序列集,且对任意的S ∈S,

S0:t={y(0),u(0),···,y(t-1),u(t-1),y(t)}是S上的输入–输出子序列,那么给出如下定义:

定义6给定受扰布尔控制网络(4),设S={S1,S2,···,Sk},则对于∀Si ∈S,若存在正整数Ti,使得依赖输入–输出子序列,可以唯一估计系统状态x(Ti),则称受扰布尔控制网络是有限时间可重构的.

根据定理1,定义6等价于如下定义:

定义7给定一个受扰布尔控制网络(4),若存在整数T ∈Z+,使得对于任意i ∈[1,2T(m+p)+p],存在整数k ∈{0,1,··· ,T},使得非零元个数为1或者为0,则称受扰布尔控制网络是有限时间可重构的.

若t →∞时,存在一个Coli(Ωt)非零元个数大于1,且对于任意r≤t,非零元个数大于1,那么根据定义7可知,该受扰布尔控制网络是有限时间不可重构的.

注2给定一个受扰布尔控制网络(4),若存在

结合定义7与注2,设计如下算法判别受扰布尔控制网络的有限时间可重构性.

算法1受扰布尔控制网络有限时间可重构性判定.

步骤1令t=0,Ω0=HT,若Coli(Ω0)非零元个数大于1,则将其存入集合Ξ0,这里i ∈[1,2p];若Ξ0为空集跳转步骤4.否则,进入下一步.

步骤2计算t=t+1,根据式(15)计算所有

其中Coli(Ωt-1)∈Ξt-1.若Colj(Ωt)非零元个数大于1,则将其存入集合Ξt;若Ξt为空集跳转步骤4.否则,进入下一步.

步骤3查找是否存在j ∈[1,T],使得

其中:Coli(Ωt)∈Ξt.若存在,由注2可判定受扰布尔控制网络是有限时间不可重构的,结束算法.否则,返回步骤2.

步骤4受扰布尔控制网络是有限时间可重构的,结束算法.

有限时间可重构是全局可重构的前提条件.首先给出受扰布尔控制网络全局可重构的定义,并在此基础上给出全局可重构性的充要条件.

定义8给定一个受扰布尔控制网络(4),如果存在正整数K,对所有的r≥K,使得依赖任意输入–输出S的子序列S0:r,可以唯一重构系统状态,则受扰布尔控制网络是全局可重构的.

扰动引起状态演化的不确定性,这给状态估计带来了困难.为解决这一问题,定义下一时刻状态能够确定的状态集为A,则,在∀u ∈Δ2m以及不同扰动下,需满足以下2个条件之一.

i) 状态演化可由输出观测,即对于ξ/=ξ′ ∈Δ2e,

ii) 状态演化到同一状态点,即对于ξ/=ξ′ ∈Δ2e,

为便于理解,下面通过状态演化图进行说明.考虑n=2,m=1,e=1的受扰布尔控制网络(4),其状态转移矩阵和输出逻辑矩阵为

定理2给定一个有限时间可重构的受扰布尔控制网络(4),当状态集Z1∪Z2∪Z3⊆A时,则该受扰布尔控制网络是全局可重构的.

证(充分性) 根据系统状态演化的性质,对于任意初始状态x(0)∈Δ2n,一定存在一个有限时间使得系统状态x(r)/∈Z4.由于该受扰布尔控制网络是有限时间可重构的,则可以找到一个整数T,对于任意可能的输入–输出子序列Sr:T+r,至少存在一个正整数k(r≤k≤T+r),使得依赖输入–输出子序列Sr:k,可以获得唯一估计状态ˆx(k).故,当状态集Z1∪Z2∪Z3⊆A时,依赖任意输入–输出S的子序列S0:K,获得的估计状态向量z(K)非零元个数一定为1,这里正整数K≥T+r.根据定义8可知该受扰布尔控制网络是全局可重构的.

图2 状态集合A解析图Fig.2 Analytical diagram of state set A

(必要性) 给定一个全局可重构受扰布尔控制网络(4),假设状态集Z1∪Z2∪Z3中存在一个状态,由状态演化性质知,若初始状态状态x(0)=2,,则存在干扰序列

使得状态x(lk+q+k)=.由于以及受扰布尔控制网络状态演化特性,必然存在一个输入–输出子序列S0:(lk+q+k+1),在干扰信号未知的情况下,无法唯一估计状态这显然与受扰布尔控制网络全局可重构性定义矛盾. 证毕.

值得指出的是:定义8意味着,对于全局可重构的受扰布尔控制网络,可通过设计状态观测器准确估计系统状态,结合式(12)与式(15)以及ˆx(t)=z(t),状态观测器可表示为

这里初始估计状态ˆx(0)=HTy(0).

4 实例仿真

考虑如下大肠杆菌中乳糖操纵子简化模型[25]

其中:状态变量x1,x2和x3分别代表乳糖的mRNA,高浓度乳糖和中等浓度的乳糖;输入变量u1,u2和u3分别代表细胞外的葡萄糖,细胞外高浓度乳糖和细胞外中等浓度乳糖;干扰信号ξ(t)=1与ξ(t)=2时,分别得到如下两个不同的子系统:

系统(18)–(19)转化为x(t+1)=Lσ(t)x(t)u(t),其中σ(t)=1,2,且

假设输出为y1(t)=x1(t),y2(t)=x2(t),则

由算法1得,该受扰布尔控制网络是有限时间可重构的.由状态分析得

由 式(16)–(17)可 得A==1,2,3,4,5,6,7,8}.显然Z1∪Z2∪Z3⊆A,该受扰布尔控制网络是全局可重构的.

假设输入序列为

对于初始状态x(0)=,系统遭受的扰动假设由模拟系统随机产生,考虑如下两种扰动情形:

那么观测器状态估计效果如图3和图4所示.由图可见,状态观测器可以在不同扰动下,准确估计系统状态.

图3 扰动Λ1时状态观测Fig.3 State observation under Λ1

图4 扰动Λ2时状态观测Fig.4 State observation under under Λ2

5 结论

本文研究了受扰布尔控制网络的可重构性和状态估计问题.首先,基于状态集估计理论,提出了受扰布尔控制网络有限时间可重构和全局可重构的概念,并给出了受扰布尔控制网络全局可重构的充要条件.之后,通过设计受扰布尔控制网络状态观测器,实现了全局可重构受扰布尔控制网络的状态估计问题.然而,当受扰布尔控制网络不满足全局可重构性时,如何实现状态观测器设计仍有待解决,这是下一步的研究课题.