运用导数法证明不等式恒成立的思路

刘洪志

不等式恒成立问题的综合性较强，常与函数、不等式、方程、导数等知识相结合，侧重于考查同学们的综合分析能力和运算能力.而导数法是解答含有对数式、指数式的不等式恒成立问题的重要“手段”.运用导数法证明不等式恒成立问题，需灵活运用导数的性质、导数与函数单调性的关系来解题.其基本思路是：

1.将所要证明的不等式进行合理的变形，如作差、换元、移项等，构造出适当的函数模型，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题或者比较函数式大小的问题;

2.对新函数求导，并求出导函数的零点.一般可通过因式分解或二次求导得到导函数的零点;

3.用零点将函数的定义域划分为几个区间段，在每个区间段上讨论函数的单调性;

4.根据函数的单调性确定函数的大致图象和最值，建立使证明不等式恒成立的新关系式，证明结论.

下面举例说明.

例1.证明：当 x >1时，恒成立.

解：

例2.

解：

f（x）与 g（x）是两个不同的函数模型，很难根据函数的单调性比较出它们的大小，于是将两式作差，構造出新函数 F（x），再求其导函数，讨论导函数与0之间的关系，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，确定出函数的最值，证明即可证明不等成立.

例3.

解：

该不等式较为复杂，我们通过换元将不等式简化，构造出新的函数模型 h（x），然后对其求导，分析导函数与0之间的关系，即可判断出函数的单调性，证明不等式成立.

虽然不等式恒成立问题较为复杂，但是运用导数法解题的思路较为简单，同学们在解题的过程只要将不等式进行合理的变形，构造出新函数模型，然后分析其导函数的性质，确定函数的单调性和最值，便可顺利解题.

（作者单位：江苏省句容高级中学）