《正态分布》教学设计

黄娅丽

中图分类号：A  文献标识码：A  文章编号：（2021）-41-311

一、学情分析

正态分布是学生已经学习和研究了离散型随机变量的分布列，必修3第一章《统计》中学习了频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线的基础上学习的，学生已经具备了一些一定的逻辑思维能力、观察提炼能力、数学抽象能力等，这些为学生学习正态分布打下了基础。

存在的困难是高一学习的必修三的知识学生遗忘的比较多，怎样将这些知识之间产生联系？

二、教学目标

1.了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数及分布密度曲线;

2.了解正态分布的密度函数的性质，了解正态分布曲线的特点;

3. 在实际中的广泛应用，进一步认识数学知识在解决实际问题中的作用。

4. 学生通过经历正态分布的发现，观察正态分布曲线的特征，自己总结归纳正态分布函数的性质和正态曲线的特点，提升“直观想象”、“数学抽象”、“逻辑推理”等数学素养。

三、教学重点、难点及处理策略

重点：认识正态分布曲线的特点及正态分布在实际生活中的广泛应用。

难点：引导学生自然发现生成、认识正态分布密度曲线的过程。

处理策略：通过生活中实例引入，学生总结发现随机变量与离散型随机变量的不同之处，进而引入连续型随机变量，用分布列可以刻画离散型随机变量的概率分布，如何刻画连续型随机变量的概率分布，引发学生思考，再过实例一步一步启发学生思考，最后自然地引出正态分布密度曲线，从而突破难点。

四、教学创新点及教学方法

1.学生在课前3分钟讲正态分布的前生今世，学生既可以了解正态分布的发展历史，也能吸引学生的学习兴趣。

2.通过实例和问题串，启发引导学生经历正态分布密度曲线的发现过程，提升学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养。

3.学生通过观察正态分布密度曲线，总结提炼正态分布的性质和曲线的特征。

4.通过正态分布与人生曲线渗透德育，激励学生积极向上，努力拼搏做到自己的最好！

5.教学方法：启发引导、讨论交流、自主探究相结合的教学方法。

五、教学过程

（一）情境导入

学生活动1：课前三分钟学生分享正态分布的数学史。

问题1你能发现下列随机变量与离散型随机变量有什么不同之处吗？

（1）公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间X是个随机变量;

（2）实际测量的误差作为一个随机变量X ;

（3）某电子元件的使用寿命X是一个随机变量.

学生活动2：学生思考并回答问题，抽象概括出连续型随机变量的概念。

连续型随机变量的概念：如果一个随机变量可以取某个区间内的任意一个实数，即变量的取值可以是连续的，那么这个随机变量就称为连续型随机变量。

设计意图：了解正态分布的发展历史，激发学生的学习兴趣。通过实例和问题串，启发引导学生经历正态分布密度曲线的发现过程，提升学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养。

问题2：你能再举一些生活中的连续型随机变量的例子吗？

問题3：连续型随机变量不能一一列举出来，那么如何刻画它的取值的概率情况？ 如：某种产品的寿命（使用时间）是一个随机变量X，它可以取大于等于0的所有数值.怎样描述这样的随机变量的分布情况呢？

学生活动3：学生同桌思考、讨论、交流，教师提问。

研讨结果：可以研究它落在某个区间的概率，画出它的 频率分布直方图。样本容量增大时频率分布折线图就近似地变成了一条光滑的曲线——总体密度曲线，也称为随机变量的概率分布密度曲线，即为正态分布密度曲线。

问题4：如果知道了随机变量X的分布密度曲线，你能求出X取值于任何范围（例如a<X<b）的概率吗？

学生活动4：讨论交流，回答问题。

讨论结果：可以通过计算该曲线下相应部分的面积而得到，面积又可以通过定积分进行计算。

设计意图：通过实例和问题串，启发引导学生经历正态分布密度曲线的发现过程，提升学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养。

（二）抽象概括，形成概念

正态分布相关概念

1.在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的正态分布密度函数.

2.若随机变量X的分布密度函数为

f（x）=12πσe1（x-μ）22σ2，χ∈（-∞，+∞）

其中μ和σ（σ>0）分别是随机变量X的均值与标准差，则称X服从参数μ和σ的正态分布，

记作X～N（μ，σ2）.

学生活动5：学生同桌讨论并交流 学生回答，教师板书正态分布密度函数的性质和特征。

（三）讨论交流，探究正态分布密度曲线和函数的性质

（1）对称性：函数图像关于直线x=μ对称;对称区域面积相等，概率相等。

（2）单调性：x<μ时，f（x）递增，x>μ时，f（x）递减。

（3）最值：x=μ

（4）形状：σ（σ>0）的大小决定函数图像的胖、瘦;

（5）位置：由μ决定

（6）概率“3σ”原则：

P（μ-σ<X<μ+σ）=68.3%;P（μ-2σ<X<μ+2σ）=95.4%;P（μ-3σ<X<μ+3σ）=99.7%.

（7）小概率事件

设计意图：通过自主探究和讨论交流，提升学生直观想象、逻辑推理等核心素养。

（四）练习巩固，应用提升

学生练习： 在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N（90，100）.

（1）试求考试成绩X位于区间（70，110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）之间的考生大约有多少人.

学生活动：学生先思考，先做，再站起来回答问题。（检测目标3）

（五）思想升华，渗透德育

正态分布与人生哲理：人的生命轨迹犹如一条特殊的正态分布曲线，出生从0开始，死亡到0结束，中间囊括了人生最核心最重要的：亲情、家庭、健康、责任、担当、爱情、学业、事业、理想……等等。虽然人的生命是有限的，但是我们可以追求人生的宽度与深度，在我们生命的每一个阶段，竭尽全力， 努力做最好的自己！谱写我们绚丽多彩的人生曲线！

设计意图：正态分布与人生哲理，渗透德育，激发学生以积极向上的态度面对人生，珍惜生命的每一个阶段，竭尽全力做最好的自己。

（六）课堂小结：用黑板上的思维导图小结

六、作业布置

必做题：1. 在一次测试中，测量结果X服从正态分布N（2，σ2）（σ>0），若X在（0，2）内取值的概率为0.2，求：（1）X在（0，4）内取值的概率;（2）P（X>4）.   （检测目标2）

2.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，4），则P（-3<ξ<5）=（ ） （检测目标2）

选做题：随机变量ξ服从N（2，10），若ξ落在区间（-∞，k）和（k，+∞）的概率相等，则k等于（ ）   A.1   B.10 C.2D·10（检测目录2）