小学《数学广角》“烙饼问题”的直观教学研究

潘建标

摘要：基于小学生的认知基础和认知特点，为落实课程标准中“重视直观”的教学理念，遵循直观性教学的原则，本文对直观教学的图示工具进行细化分层，由三维图示过渡到二维图示，进而抽象上升到一维图示工具，并以人教版小学数学《数学广角》“优化”主题单元课题——“烙饼问题”为载体进行教学实验，展开研究。

关键词：小学;数学广角;烙饼问题;直观教学

前言：“直观只是教学的手段，而不是目的，不能把直观当做目的，不能为了直观教学而直观，不是直观越多教学效果会越好。应用直观，特别是现代化的多媒体教学，有道不完的好处，但也有其局限性与不足”。由此可以说明，直观性教学原则是指运用形象、可见的工具辅助学生进行知识表征，已经被我国教育学界广泛认同，也将此运用于实际的课堂教学中，它传统的经典意义已经深入人心。

一、化抽象为具体

小学生所处的认知发展水平有限，他们尚处于抽象具体发展阶段，对数学中的抽象问题认识不清晰，借助于数学图示，可以使抽象静态的数学文字形象化、直观化，可以构建数学抽象问题与生活具体问题的脚手架.以问题“把一个长方形水池的长增加4米，宽增加2米，这个长方形水池的面积都会增加24平方米，原来这个水池的面积是多少平方米？”为样例，为了方便学生融入问题情境，教师常将题目中的数学语言转化为如下几何图形，如图所示，将增加的长与宽直接反映于新的直观图示，化抽象的图形为具体的表象直观图示，降低难度，从而轻松解决问题。

二、化单一为丰富

小学生在认识数学问题时通常需要采用已有的学习材料作为支撑，即图示支撑，而单一的图示往往难以突出数学问题的本质，也就容易造成诸如“懂而不会”的教学现象，因此，教师需要丰富学生的学习材料，让学生把握数学问题的本质，有效直观的图文结合便是常用的解决策略。在数学五年级上册的“植树问题”中，通过问题“在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵树”，教材采用化归思想，采用小步子原则简化“100米”的难点，先考虑“20米”画“植树”实物图进行教学，引导学生思考“间隔数”与“棵树”的重点，却忽视了其中的作图关系，不妨考虑“线段”与“端点”之间的关系，构建“点”与“线”的有效直观图示，如图所示，突破教学难点。

三、化模糊为清晰

对于比较抽象的数学问题，在小学生已有的认知图式基础上，存在一定的认知难度。通过构建学生熟知的数学图示模型，加深学生对数学问题或知识本身的理解，让学生从生活具体的例子中抽象出数学模型，更加清晰地把握知识本质，并加深对数学问题的理解。比如在“抽屉原理”的原理教学中，“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎样放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，这是一个陈述性的命题，小学教学未必需要严格的证明过程，可如何让小学生在已有的基础上轻松理解，这亦是教学难点。

如上图所示，教学不妨联系“平均”一词，学生可以借助“柱状”直观图示，逐步理解掌握“平均分”达到“至少”二字的理解，并能够学会用“有余数除法”这一数学形式直观地表示出来。

文章将直观性教学原则应用于小学数学教学，数学“图示表征”作为数学知识“几何直观”的表征工具，它用简洁明了的图形来表示复杂的知识结构，形象地呈现各知识点之间的因果联系，区分知识点的优先次序，并显示其它有意义的观点，从而提高学生对知识的理解。本文对直观图示表征的数学教学研究，是基于小学生的认知特点，从已有的图示出发，其中包括实物图、线段图等由基本图形组合而成的模型。

小学数学教材中最常见的直观教学分析方法也是数学“图示表征”，比如人教版教材中“烙饼问题”的情境图引出题目，“烙饼图”解释其最优方案，形象地还原烙饼过程，却没有反映时间，因此人教版教材的图示直观不够有效;北师大教材也恰好弥补了人教版教材的不足，将时间（3分钟）标于每次烙饼图示的下方，看似是完整的烙饼过程，既反映了烙饼方法，又能直接看到每次烙饼时间。可见，“图示表征”在数学教学中发挥了很好的理解作用，它能帮助教师在教学过程中形象生动地展示生硬无趣的数学问题。然而教材只是对图示的简单表征，对实际问题实物化，用大圆表示平底锅，其中以1，2，3号的小圆作为3张饼的示意图，同时运用不同的颜色作为正反两面。在第二次开展烙饼时，应该充分去利用平底锅，逐步交替运用烙饼，来表示时间的多寡。这也使得烙饼的相关问题得以直观的阐释，能够理解其实质过程，在画饼的过程之中去理解其中的规律问题。

教材主要通过解决如何合理安排烙饼操作用时最少的问题，使学生体会优化的思想的实际应用。数学思想的渗透，基于图示表征，是对实际问题的进一步升华，也是对生活问题数学化的过程，那就不仅仅是教材所示“烙饼图”的实物化。

依托教材的“烙饼”，通过画类似“饼”状的“圆”图，构建二维表象直观图示，如何从中抽离出更具有概括性的一维直观图示？在当今国内外关于线段图的研究中，线段主要分为狭义和广义两种定义。在狭义上，“线段图”是几条长短不同的线段組合而成，直观有效地表征情境问题中的复杂数量关系，以此降低解决问题的难度。大部分研究教育学的专家与学者将“线段图”这样定义：“一条或几条线段组合在一起，线段的长短关系可以用来表示应用题中各种量之间数量关系的解题方法”。

四、结语

总之，关于“烙饼问题”直观图示的教学，采用实物表象直观表征图示与线段初级符号直观表征图示进行教学研究。第一，化抽象为具体，将抽象的数学问题具体化，能够具体到某个点;第二，化单一为丰富，从一个数学问题看透其中的本质，学会解决某类数学问题;第三，化模糊为清晰，复杂数学问题的简易化，可以清晰直观的理解数学问题的解决过程。只有“图示”的形象才具有教学普遍性，在教学过程中被吸取的可能性才会更多。

参考文献：

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