Newell方程的行波解研究

刘红霞,韩青秀,廖玲蓝，伍 芸

(贵州师范大学 数学科学学院 贵阳 550025)

0 预备知识

考虑如下的Newell方程

(1)

在非线性数学物理中Newell方程应用十分广泛，Newell方程能够更好的解决流体力学、电磁场中带电粒子的非线性运动、一维非线性晶格的振动等问题。由于实际问题的需求，目前求解非线性发展方程精确解的方法有齐次平衡法[1-3]、首次积分法[4-5]、各种函数展开法和试探函数法[6-7]，包永梅[8]利用函数变换法等等。而本文主要应用微分方程定性理论与动力系统分支方法[4-5]求解方程(1)的行波解的参数解。

为了研究方程(1)的行波解，设c>0是波速，令u(x,t)=φ(ξ)，ξ=x-ct，u=φ(ξ)代入方程可得

c2φ″-c02φ″-αφ′φ″-βφ‴′=0

(2)

对(2)式关于ξ两边积分可得

(3)

其中，g是积分常数，且g≠0。

令φ′=v，得到下面的平面系统

(4)

由于(4)式中的第二个式子不含φ函数，则重新写成等价的动力系统

(5)

很明显，系统(5)是一个有着Hamiltonian函数的Hamiltonian系统

(6)

则有下面的结果:

(Ⅰ)当Δ>0时，f(v)有两个零点v1和v2，它们的表达式为:

(7)

(Ⅱ)当Δ=0时，f(v)有一个零点v0，它的表达式为:

(8)

(Ⅲ)当Δ<0时，f(v)没有零点。

利用微分方程动力系统的定性理论，有下面的结论:

通过前面的分析，当k>0,α>0,β>0时，(ν1，0)为鞍点，(ν2,0)为中心，当k>0,α>0,β<0时，(ν2,0)为鞍点，(ν1,0)为中心，当k<0,α<0,β>0时，(ν1,0)为鞍点，(ν2,0)为中心，当k<0,α<0,β<0时，(ν2,0)为鞍点，(ν1,0)为中心，得到系统(5)的相图,如图1所示。

图1 系统(5)的相图

1 Newell方程的行波解的参数表达式

接下来，根据轨道图，利用椭圆积分公式，求解孤立波解和周期波解。

情形1当k>0.α>0,β>0.方程(1)有两个孤立波解和两个周期波解

c1，c2是积分常数。

证明在(6)式中，令H(v1,0)=h1，则有

(9)

由(5)式得

(10)

由积分(10)式得

(11)

由(11)式得到

(12)

同理，在(6)式中，令H(v2,0)=h2，则有

(14)

由(5)式可得

(15)

由积分(15)式得

(16)

由(16)式得到

(17)

情形2当k>0,α>0,β<0时，方程(1)有两个孤立波解和两个周期波解

c3、c4是积分常数。

证明在(6)式中，令H(v2,0)=h2，则有

(18)

由(5)式得

(19)

由积分(19)式得

(20)

由(20)式得到

(21)

同理,在(6)式中，令H(v1,0)=h1，则有

(22)

由(5)式可得

(23)

由积分(23)式得

(24)

由(24)式可得

(25)

情形3当k<0,α<0,β>0.时方程(1)有两个孤立波解(与有着相同形式)和两个周期波解(与有着相同形式)。

证明在(6)式中，令H(v1,0)=h1，则有

(26)

由(5)式得

(27)

同理，在(6)式中，令H(v2,0)=h2，则有

(28)

由(5)式可得

(29)

情形4当k<0,α<0,β<0.时，方程(1)有两个孤立波解(与有着相同形式)和两个周期波解(与有着相同形式)。

证明在(6)式中，令H(v2,0)=h2，则有

(30)

由(5)式得

(31)

同理，在(6)式中，令H(v1,0)=h1，则有

(32)

由(5)式可得

(33)