问题引领激活课堂

王燕

摘要：数学建模活动是基于数学思维，运用模型解决实际问题的综合实践活动。文章以“体重与脉搏”教学为例，对恒温动物的体重与脉搏进行分析与探究，让学生体会建立数学模型的一般步骤，激发学生应用数学的意识，提高学生发现、分析、解决问题的能力，同时提升学生的数学抽象、数学建模、数据分析等数学素养。

关键词：数学建模;体重;脉搏率

生活中，事物与事物之间是有联系的，揭示这些联系是数学的意义所在，数学建模就是这样的一个数学活动。“体重与脉搏”是课程标准中的一个建模课题，其目的是让学生经历一次完整的数学建模过程，让学生初步体验提出问题、建立模型、求解模型、检验、优化模型等建模活动，并通过活动，展示学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据处理等数学素养。

该问题的分析线索比较长，学生很难自主地建模求解，在过程中容易出现目标不明确、无法操作等问题。因此，笔者采用问题呈现的形式引导学生将核心问题拆分成容易达成的小目标，引导他们按照一定的脉络进行下去。

一、 中学数学建模现状分析

（1）初中学生已学过确定型的函数模型（如：一次函数、反比例函数和二次函数），在高中阶段学习了函数的基本研究内容和方法，但运用函数知识来解决实际问题的能力不足，在实践技能上对图形计算器的操作还不够熟练，在思想观念上对拟合型的函数模型缺乏科学认识，在数学应用上缺乏运用函数模型来阐述自然规律的意识，在函数方法上难以想到运用对数运算特性来转化数据。

（2）本节内容最大的难点是“用跨学科知识分析评判所得函数模型阐释恒温动物体重与脉搏率之间内在联系的合理性”。首先应排除影响脉搏率的其他非主要因素，从而由生物学常识形成模型假设，再运用数学运算和逻辑推理分析所得模型的科学性。此外，由于动物间体重差异太大，在数据处理上也存在难点，运用对数运算转化数据需要教师的启发引导。

（3）由于在自然情景中所得数据并非处于容易处理的“理想状态”，所以需要运用信息技术支持教学。本节课运用图形计算器可以直观展示数据对应的散点图并建立函数模型，快捷地转化数据重构函数模型，因此为教学提供了极大的支持。

二、 中学数学建模策略

（一）情境设疑，启迪思考

（PPT展示人的脉搏率从婴儿时期到长大成人的变化）

师：你发现了什么规律？

生：随着人慢慢长大，脉搏率在变小。

师：大家觉得影响脉搏率的主要因素是什么？

生：是不是会和性别、年龄、身高、体重等因素有关系。

问题1：如果将研究范围扩展到恒温动物，你觉得影响脉搏率的主要因素是什么？

预设：性别、年龄、身高这些因素就不合适了，那么应该是体重会影响脉搏率！

【设计意图】

引导学生在实际情境中发现问题和提出问题，以开放的问题引导学生提出本节课研究的主题，即运用数学方法研究恒温动物体重与脉搏率之间的内在联系。

（二）技术应用，建立模型

师：要研究两个量的关系，就需要有相应的数据支持，请大家阅读教材提供的种恒温动物的体重与脉搏率对应的数据。动物名[体重（单位：g）/脉搏率（单位：次/分）]

鼠（25/670）大鼠（200/420）

豚鼠（300/300）兔（2000/205）

小狗（5000/120）大狗（30000/85）

羊（50000/70）马（450000/35）

问题2：为研究方便，将体重和脉搏率分别用W和f表示，观察这组数据，你能发现什么？

【师生活动】随着体重逐渐增大，脉搏率逐渐减小，这两个量之间有函数关系。利用图形计算器将数据绘制到直角坐标系中，得到散點图如图1，再猜想函数类型。

【预设1】

生1：我觉得是反比例函数。

生2：根据表格数据对应的乘积并不是一个常数，所以肯定不是反比例函数。

【预设2】可能会是一个单调递减的指数函数或幂函数模型。

师生共同探讨分析这些函数的特点，对猜想的模型进行初步的验证。之后利用图形计算器的拟合功能，拟合函数模型f=1790.86·x-0.298257，如图2。

【设计意图】

让学生感悟画散点图能够将表格数据更加直观地呈现，也是研究函数模型的最基本的手段之一。通过图形计算器、Excel等都可以实现。引导学生进行数据分析，落实数据分析核心素养。

（三）模型假设，阐释规律

问题3：为何脉搏率f和体重w之间大致满足f=k·W-13的关系？

根据生物学常识我们可得到以下模型假设：

（1）生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温;

（2）研究表明，消耗的能量E与心脏的血流量Q成正比;

（3）血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数，心脏每次收缩挤压出来的血量为q;

（4）心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小（生物体体重W）成正比;生物体体重W与体积V成正比、体表散热量与体表面积S成正比。

师：你能运用以上4条模型假设来分析f=k·W-13的合理性吗？

【追问1】你能根据以上模型假设，建立脉搏率f与体重W关系的函数关系吗？

【师生活动】学生以6人小组为单位，从生物学知识和假设中提炼信息，给出各个变量的符号标记，分组讨论“这里需要的数学关系是什么”“如何用数学语言去刻画变量间的关系”等问题。鼓励学生以小组为单位，借助西沃电子设备展示自己推导的含有参数的数学关系式，对存在困难的小组和个人，教师予以适当的指导，让其通过模仿达到预期的效果。