精密球铰链运动误差分布研究

杨 龙，夏良琼，张 紧，胡鹏浩

(合肥工业大学仪器科学与光电工程学院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

球铰链是在并联机构和工业机器人上常用的主要运动部件，其间隙的客观存在制约了所在装备的工作精度[1]。球铰链间隙是由零件的制造误差、装配误差、零件弹性与载荷工况共同作用形成的。例如在某款并联机床上，球铰链间隙减弱了机床工作稳定性，甚至造成间隙关节处于混沌运动状态，极大地影响了该机床的加工精度[2]。因此深入研究球铰链的间隙变化规律，实现实时检测与补偿具有重要理论意义和应用价值。

近年来，国内外许多学者针对球铰链间隙问题开展了较丰富的研究。多数研究主要建立基于间隙的动态模型[3-6]。然而，对曲面间微小间隙的直接测量研究较少。梁辉等[7]分析了一种带有球铰间隙的驱动冗余并联机构，通过研究4个驱动轴各自作球面运动构成的运动空间的交集，计算了在正态分布规律下间隙引起的并联机床动平台中心点的误差并进行了补偿。王文等[8-10]采用电容式传感器测量球铰链间隙，提出一种球形电容传感器的新结构，构建了6个微分电容与偏心微位移之间的数学模型，通过测量微分电容从而得到球头间隙，但传感器的制造和安装误差会对测量精度造成影响。本团队[11-13]曾基于电感传感器测量设计和研制了专用的实验测试装置，但该测量方法不能嵌入在球铰链中，无法实现球铰链间隙的实时测量，也无助于球铰链的智能化。为了更好地实现球铰链间隙的实时检测和误差补偿，本文进一步研发间隙的实时测量方法，并探究球铰链间隙的特性和规律。

1 球铰链间隙测量原理

如图1所示，在自研的球铰链球座上对称嵌入3个电涡流传感器，传感器轴线穿过球心，用于检测球头运动中的偏离。在此，球头运动中的球心相对于球窝球心的偏离量定义为球铰链间隙，为一矢量从球窝中心指向球头中心。

图1 小型球铰链装置

以单个电涡流传感器为例，其测量间隙的理论模型如图2所示，嵌入于球铰链球窝的电涡流探头位于N点延长线上，由于采用差值计算，可将其视为位于球窝面上的N点，其探测的传感器到球头的间距值d即为MN连线的长度值。其中R为球窝半径，r为球头半径，θ为电涡流探头测量方向与Z轴正向的夹角，φ为在Z轴正半空间俯视坐标系时X轴正向逆时针旋转至探头方向时旋转角大小，Δx、Δy、Δz分别为球铰链间隙沿X轴、Y轴、Z轴的分量。

图2 球铰链间隙理论模型

取三维矢量描述球铰链间隙，该矢量起点位于球窝中心O，矢量方向指向球心O′。已知在空间直角坐标系中，间隙矢量OO′在单位矢量ON上的投影距离为

则间距d与球铰链空间回转角呈关系如下：

式（2）是以假定间距d远小于球头和球窝半径为条件下的近似等式。传感器所在位置N点与球窝的中心O相连，交于球头表面M点；与球头球心O′相连，交于球头球面的M′点。由相似三角形的原理，MM′/OO′=d/R，则上式的偏移误差量MM′=d·OO′/R，远远小于被测量，可以忽略不计。

本实验通过均匀分布在球窝中的3个电涡流传感器测量同一载荷下球铰链的6个空间位置间距，其中下半球面间距在拉伸状态下可由电涡流传感器直接测得，上半球面间距值由球头压缩状态下电涡流传感器测得，空间位置等效于传感器位置相对于球窝中心的中心对称位置，所测间距d在6个空间位置处的极坐标d:(θ,φ)如下：

将6个空间位置的极坐标值代入公式（2）中，消元得沿三轴间隙分量Δx、Δy、Δz与3个电涡流传感器测得值的关系如下：

通过实验可计算得到球铰链间隙在空间任意位姿下沿X、Y、Z三轴的间隙分量。球铰链各位姿下间隙矢量合成值 ∆总：

2 实验与数据处理

2.1 实验装置

所研制的实验测试装置如图3所示，被测精密球铰链安装在自研的双轴标定台上，球铰链的球杆与固定在内U形框上的气缸杆相连，两只机械式分度头通过内框和外框分别带动球铰链在空间回转，并提供绕X、Y轴的回转角分量α和β。实验测试时，α 和 β 的步距为 4°，转角范围为–20°～20°。

图3 间隙测量装置

实验中双向气缸实现对球头的拉、压，模拟球铰链的实际工作负荷，通过稳压阀调节作用在球铰链上的载荷大小，施加压力时，压强调整范围为：30～50 kPa，考虑到球头自重，施加拉力时，压强调整范围为：42～62 kPa。实验所用3个电涡流传感器型号为CWY-DO-TR-81，其标准灵敏度为20.00 V/mm，灵敏度偏差为0.1%，分辨力为0.05 µm，非线性度为0.4%，量程范围为0～18 mm。

2.2 数据处理

分别根据式（4）、式（5）处理电涡流传感器所测间距值。表1是球头加载30 kPa压缩压强和42 kPa拉伸压强时所获得的实验数据结果，该结果是根据测量模型计算出来的球铰链在不同方位和角度下沿球铰杆轴线方向的总间隙值。

表1 球铰链总间隙值µm

根据表1可得球铰链总间隙在不同位姿下的分布情况，如图4所示。

图4 球铰链总间隙分布

由分布情况可知球铰链总间隙在二维平面内具有单峰的分布图，峰值点位置为 (–8°,4°)，间隙值为59.95 µm，随着距离峰值点转角差越大，间隙值越小，由此可以推断，随着球铰杆偏移竖直方向的角度的增大，球铰链总间隙总体上呈减小趋势，总体上精密球铰链间隙大小和分布与双轴回转角α和β相关。

3 间隙评定

3.1 间隙值分布检验

为了进一步探求球铰链间隙值分布的规律，本文采用Kolmogorov-Smirnov检验法分别从正态分布、伽马分布、泊松分布、瑞利分布和指数分布5种分布方式进行对比拟合度分析。

KS（Kolmogorov-Smirnov）检验法，是一个拟合优度检验，用以检验一个经验分布是否符合某种理论分布或比较两个经验分布是否有显著性差异。KS检验是将样本数据的经验分布与特定的理论分布相比较，若两者之间的差距很小，则可推论该样本取值于特定的分布[13]。

本文运用Matlab中的kstest函数进行球铰链间隙分布检验。kstest函数输出结果指标常量H=0代表服从分布，H=1代表不服从分布。kstest函数输出指标常量P表示待测分布与理想分布函数的相似性指数，介于0～1区间，数值越小代表越难以服从该概率分布，置信水平均设定为0.05，其检验结果如表2所示。

表2 球铰链间隙总误差分布检验

本文另设一组对比实验，在其他条件不变的情况下，改变球头加载的压强大小。在球头加载50 kPa压缩压强和 62 kPa拉伸压强，依据式（3）和式（4）计算出球铰链在不同方位和角度下的总间隙值。利用KS检验法得到总间隙值只服从正态分布，且正态分布相似性指数P=0.178。故两次实验可得出同一结论，即球铰链间隙在0.05的置信水平上服从正态分布。

3.2 系统误差检验

在两组实验数据均服从正态分布的条件下，利用t检验法可判断两组数据间是否存在系统误差。

令检验统计量

nx与ny——两组数据的数据量；

σx与 σy——两组数据的标准差。

取显著度水平α=0.05查t检验临界值分布表，得tα=1.984。计算得检验统计量t≫tα,可确定两组数据间无系统误差。

3.3 二维正态分布检验

为研究球铰链间隙与空间回转角度的关系，考虑到二维正态分布的边缘分布都是一维正态分布，根据KS检验法得知球铰链间隙在单个转角方向上均服从一维正态分布，故假设球铰链间隙与空间回转角度呈二维正态分布，并采用Doornik-Hansen检验法检验球铰链间隙在空间中的分布情况。

在R语言中利用mvn函数编写多变量正态分布检测程序，mvn函数输出结果YES，Doornik-Hansen检验法输出P=0.9975，P值是指在假设为真的前提下，样本结果出现的概率。故说明球铰链间隙在空间中呈二维正态分布。为更直观地显示球铰链间隙在空间中的二维正态分布状态，可以画出其Q-Q图（quantile-quantile plot），由于二维正态分布是马氏平方距离的函数，因此横坐标以马氏平方距离作为样本分位数表示样本与正态分布的相似度，纵坐标以二维正态分布求得累积分布函数表示理论分位数，如图5所示。

图5 球铰链间隙Q-Q图

4 结束语

本文在理论建模的基础上实现了精密球铰链间隙的实时检测，并完成精密球铰链间隙误分布实验研究。基于误差理论和数据检验技术，完成了间隙分布的分析、评估和总结。实验测试数据及分析表明球铰链间隙在0.05置信水平上服从关于回转角α和β的二维正态分布，这对于实现球铰链运动误差补偿和修正，提高装备的运动控制精度是良好的技术支撑。