多线性Marcinkiewicz高阶交换子在变指数Herz-Morrey空间上的有界性

韩 晶,叶晓峰

(华东交通大学 理学院，江西 南昌 330013)

0 引言

各类算子在不同空间上的有界性刻画一直是调和分析的主要问题。当算子的核函数满足不同条件时，算子的性质也就不同。文献[1]研究了带变量核的Marcinkiewicz算子的有界性。文献[2]研究了带奇变量核的Marcinkiewicz算子的有界性。文献[3]研究了带粗糙核的Marcinkiewicz算子的有界性。文献[4]研究了当粗糙核Ω满足零阶齐次函数和Ω∈Lipα(Sn-1)(0<1≤α)时，Marcinkiewicz型积分算子及其交换子在变指数Herz-Morrey空间上的有界性。以上文献仅仅研究了当核函数满足一定条件时，线性算子及其交换子的有界性。文献[5]研究了Marcinkiewicz高阶交换子在变指数Herz-Morrey空间上的有界性。文献[6]证明了多线性奇异积分算子与有界平均振动(bounded mean oscillation, BMO)函数生成的交换子在变指数Herz-Morrey 空间上的有界性。基于以上研究，本文研究并确定了当核函数满足一定条件时，多线性Marcinkiewicz算子与BMO函数生成的高阶交换子在变指数Herz-Morrey空间上的有界性。

1975年，文献[7]开始了对多线性算子的研究，并给出多线性算子的定义:

假设核函数K满足下面的尺寸条件，即对所有的x,y1,…,ym∈Rn，只要存在1≤j≤m，满足x≠yj，有

以及核函数K满足正定性条件，即存在常数δ∈(m,+)，对每个正数M满足2|x-x′|

其中，b为BMO函数，定义如下:

设b∈Lloc(Rn)，若b的平均振动是有界的，即M#b∈L，则称b为BMO函数，其全体记作BMO(Rn)，称为BMO函数空间，简记为BMO。

设B(x,r)={y∈Rn:|x-y|0,C2>0,使C1B≤A≤C2B。

定义1[9]设p(·):E→[1,)是一个可测函数。

(Ⅰ)变指数Lebesgue空间Lp(·)(E)定义为：

Lp(·)(E)={f可测ρp(f/λ)<对某些常数λ成立},其中

定义

p-=ess inf {p(x):x∈E},p+=ess sup {p(x):x∈E}。

集合P(Rn)表示由所有满足1

(Ⅲ)设α∈R,0

其中，范数表示为:

1 引理

引理1[10]当0

(1)

引理2[11]如果p(·)∈P(Rn),存在一个常数C>0,且对于所有球B在Rn中，下面不等式成立：

(2)

引理3[10]如果p(·)∈P(Rn),存在常数0<γ<1和C>0，对任意的球B⊂Rn和任意的可测子集S⊂B,有下面的不等式成立

(3)

A=B(0,r)B(0,r/2)。如果|A|≥2-n，则有

‖χA‖p(·)≈|A|1/p(x),

(4)

这里隐含常数不依赖r且x∈R。

(5)

其中：

设E是Rn中的开集，如果p(·)∈P(Rn)，且满足下面两个条件：

(6)

(7)

则有p(·)∈B(Rn)。

引理7[15]如果b∈BMO(Rn),m∈N,i,j∈Z满足i

(8)

(9)

2 主要结果

定理1设p(·)∈P(E),p(·)满足引理6中的式(6)和式(7)，其中

当m=2时，

根据变指数Herz-Morrey空间的定义

由于E2和E3对称，则只要分析E1，E2，E4即可。根据核函数K满足尺寸条件和Minkowskiw不等式，

B1+B2。

由中值定理可得：

(10)

由E1注意到i≤k-2，j≤k-2,且|x-y1|～|x|～2k，|x-y2|～|x|～2k,其中x∈Ak，y1∈Ai，y2∈Aj。则根据引理5、中值定理和式(10)可得：

则‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)≤C2-2kn‖I1χk‖Lp1(·)(Rn)‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)。先分析‖I1χk‖Lp1(·)(Rn):

则根据引理7，可得：

再分析‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)，同‖I1χk‖Lp1(·)(Rn)分析一样，可得：

(11)

由引理4，可得：

(12)

可得：

当0

当1

当1

由E2可注意到i≤k-2,j≥k-1,且|x-y1|～|x|～2k,|x-y2|～|max{|x|,|y2|}|～max{2j,2k},其中x∈Ak，y1∈Ai，y2∈Aj。当j≥k-1，有两种情况:当k>j时,B1,B2和E1中的B1,B2得到的结果一样;当k

b2(y2)gj(y2)dy2=C2-kn2-jnI1I2。

‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)≤C2-kn2-jn‖I1χk‖Lp1(·)(Rn)‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)。

分析‖I1χk‖Lp1(·)(Rn)，‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)和E1中的‖I1χk‖Lp1(·)(Rn),‖I2χk‖Lp2(·)(Rn)一样，可得：

注意到：‖χi‖Lp(·)(Rn)≤‖χBi‖Lp(·)(Rn),最后可得：

‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)≤C2-kn‖b‖2BMO(Rn)(k-i)‖fi‖Lp1(·)(Rn)‖χBk‖Lp1(·)(Rn)×

(13)

由引理2，可得：

(14)

由引理3，可得：

‖b‖2BMO(Rn)C2(i-k)nγ1(k-i)2(k-j)nγ2×(j-k)‖fi‖Lp1(·)(Rn)‖gj‖Lp2(·)(Rn)。

当1

E223与E221的形式一样，E224与E222的形式一样,则用同样的方法估计不等式可得：

当1

由E4可注意到i>k-1,j>k-1。分下面4种情况：当ik和i>k,jk,j>k时, 其中x∈Ak,y1∈Ai,y2∈Aj。|x-y1|～|y1|～2i,|x-y2|～|y2|～2j。与E1中B1,B2的分析方法相同，可得：B1≤C2-in2-jnI1I2和B2≤C2-in2-jnI1I2。

与E2中‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)的方法相同，可得：

‖[b1,b2,μ](fi,gj)(x)χk‖Lp(·)(Rn)≤

C‖b‖2BMO(Rn)2(i-k)nγ1(i-k)2(k-j)nγ2(j-k)‖fi‖Lp1(·)(Rn)‖gj‖Lp2(·)(Rn)。

可得：

E41和E42的形式与E22的形式一样，可得：

定理1证毕。