冯德成,鲁雅莉,蔺 霞
西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070
定义1设{Sn,n≥1}是L1(Ω,F,P)上的随机变量序列,如果对任意1≤i≤j<∞,有
E[(Sj-Si)f(S1,…,Sn)]≥0
则称随机变量序列{Sn,n≥1}是一个弱鞅(demimartingale),其中f是使上述期望存在且分量不减的函数.若进一步假设f是一个非负函数,则称{Sn,n≥1}是一个弱下鞅(demisubmartingale).
弱鞅的概念最先是由文献[1]提出的,之后很多学者对弱(下)鞅进行了研究,给出了弱(下)鞅的一些概率不等式以及这些不等式的应用[2-12].
对于零均值的平方可积随机变量X和任意函数ε,有
文献[2]进一步推广,对任意函数ε
(1)
在上述条件下,如果令
那么{Sn,n≥1}就是一个鞅.文献[4]在E|Xi|p<∞,i≥1,且p≥2的条件下,将(1)式推广,对于任意ε>0,得到如下形式的Marshall型不等式
其中α是下列函数的最大值
h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1,x∈[0,1]
之后,文献[5]将文献[4]中的若干结论推广到弱鞅的情形下,得到了弱鞅的Marshall型概率不等式.文献[14]将文献[5]中关于非负弱鞅{Sn,n≥1}的Marshall型极小值不等式推广到了形如{g(Sn),n≥1}的弱鞅的情形.
受文献[5]和[14]的启发,本文将文献[5]和[14]中关于非负弱鞅{Sn,n≥1}的Marshall型极小值不等式推广到{cng(Sn),n≥1}的情形下,其中g是R上不减的凸函数,{cn,n≥1}是R上不增的正数序列.
引理1[13]若E|X|p<∞,E|Y|q<∞,则
(2)
(3)
引理2[15]设{Sn,n≥1}是一个非负弱鞅,g(·)是一个不减的凸函数,使得g(0)=0,且对任意的n≥1,有Eg(Sn)<∞.{cn,n≥1}是一个不增的正数序列,那么对任意n≥1,ε>0,有
(4)
引理3设{Sn,n≥1}是一个非负弱鞅,g(·)是一个不减的凸函数,使得g(0)=0.若0
0,有
(5)
证记Y=IA,运用Hölder不等式(3)和引理2,可以得到
(6)
由于
E|Y-EY|q=P(A)(1-P(A))q+P(A)q(1-P(A))
原命题得证.
定理1设{Sn,n≥1}是一个非负弱鞅,{cn,n≥1}是R上不增的正数序列,g(·)是R上不减的凸函数,且g(0)=0.若存在0
0有
(7)
(8)
其中M1,M2是下面方程的正解,且M1≤M2,
xq=(β-1)x+β,x∈(0,+∞)
(9)
其中
当P(A)>0时,通过引理3可以得到:
两边同时除以P(A)q,有
即有
从而有
因此有
即有
(10)
不难发现
若在定理1中,令cn≡1,那么就有以下推论1.
推论1设{Sn,n≥1}是一个非负弱鞅,g(·)是R上不减的凸函数,且g(0)=0.若存在0
0,那么对于任意ε>0有
其中M1,M2是方程(9)的正解,且M1≤M2,其中
若在定理1中,取cn≡1,g(x)=x,则又有以下推论2.
注推论1是文献[14]中的定理3.1,推论2是文献[5]中的定理2.2,因此本文中的定理1是文献[14]中定理3.1和文献[5]中定理2.2的推广.