基于方向图逼近的相控阵天线波束展宽研究∗

李伟 柯涛

（中国船舶重工集团公司第七二三研究所 扬州 225002）

1 引言

相比于机械扫描雷达通过伺服转动控制雷达波束指向的变化，相控阵雷达通过控制多个天线单元的相位变化进行空域合成，实现波束的空域扫描。雷达天线一般要求具有强方向性、窄波束和高增益特点。但在某些特殊应用场合，要求雷达天线具有宽波束进行空间广域目标搜索［1～3］。

在相控阵天线中，可以改变阵元数、阵元空间位置、激励幅度和激励相位四个参数获得期望波束方向图。在天线设计中，阵元空间位置一经选定固定不变。为了通过改变阵元数以达到改变波束主瓣宽度的目的，文献［4］通过设计开关矩阵对不同的发射阵元进行通断，从而改变了阵元数，同时相对的阵元空间位置也发生了改变。然而开关矩阵的使用存在以下四个缺点：1）大型射频开关矩阵体积大，工程实现难度大，可靠性低；2）开关矩阵的使用降低了阵元的利用率，导致天线发射增益下降；3）不能任意倍数展宽波束；4）增加了系统响应时间，也增加了系统插损。通过幅度加权的方式实现波束展宽，需要雷达发射机的功率放大器工作在线性区，导致发射效率低。因此，发射波束通常仅进行相位加权而幅度采用均匀加权（即不进行幅度加权）。传统的仅相位加权波束展宽方法，利用平方、立方相位差展宽波束主瓣，存在主瓣内凹口、副瓣电平恶化严重等缺点。为解决以上问题，可采用智能优化算法如遗传算法［1～2］、粒子群优化算法［5］、差分进化算法［6～7］等，缺点是计算时间长和/或收敛到非最优解。文献［8］基于级数展开的方法减少了优化变量的个数，但是仍然需要遗传算法等智能优化算法求解最优的加权系数。

为解决仅相位加权波束展宽问题，本文提出了一种恒模约束下的方向图逼近算法。由于阵列波束主瓣宽度与阵列孔径成反比，改变阵元间距能够获得任意倍数的展宽波束。本文在相同阵元数条件下构建具有展宽波束宽度的均匀加权理想波束方向图，通过方向图逼近方法获得待优化的波束方向图，通过施加旁瓣约束可获得低旁瓣特性。由于优化问题的非凸性，重构待优化参数，将优化问题转换为恒模约束下的二次规划问题，然后利用半正定松弛法求解，得到了仅相位加权的发射展宽波束，验证了本文所提算法的有效性和正确性。

2 幅相加权波束展宽方法

均匀线性阵列的导向矢量可以写为

其中，θ0表示波束指向与阵列法线方向之间的夹角，d表示阵元间距，λ表示电磁波的波长，N表示阵元数，上标T表示转置。均匀线阵半功率波束宽度近似为［9］

根据优化问题解的等价性，式（3）的无约束优化问题可等价为

等式约束下的优化问题可通过构造拉格朗日函数，采用拉格朗日乘子法进行求解。引进拉格朗日乘子ζ，构造的拉格朗日函数如下所示：

其中，0表示N×1维的全0列向量。通过求解上式可得最优权系数向量为

将wopt代入约束条件可解得ζ为

代入式（7），得波束展宽的最优权为

3 仅相位加权波束展宽方法

为了采用仅相位加权展宽波束，应满足约束条件：

其中，t＞0，t∈R。因此，恒模约束下的最小二乘波束展宽数学描述为

由于式（10）约束条件的非凸性，上述优化问题不能够直接使用凸优化方法进行求解。将目标函数写成矩阵相乘的形式，即

则式（11）等价为

表1 随机化方法

4 数值仿真

为验证算法的有效性和正确性，进行如下仿真实验，实验条件设置为32单元的等间距均匀线性阵列，阵元间距设置为最小波长的一半，波束指向为0°，即阵列法线方向，则理想均匀加权波束主瓣3dB波束宽度为3.175°。假设波束展宽1.5倍，以下分别分析幅相加权和仅相位加权方法波束性能，权重因子α取0.1。

4.1 幅相加权波束展宽

图1（a）给出了红色实线表示的通过幅相加权波束展宽方法获得的展宽波束方向图。作为对比，图中也给出了黑色虚线表示的均匀加权波束方向图、蓝色点虚线表示的理想展宽波束方向图和黑色点线表示的文献［4］方法获得的展宽波束方向图。图1（b）是其细节示意图。由于展宽倍数不能被阵元数整除，文献［4］方法不能够获得严格一致的期望展宽波束主瓣。从图中可以看出，幅相加权展宽波束主瓣和理想展宽波束主瓣近似重合，表明该方法能够获得期望的展宽波束，同时具有较低的旁瓣电平，在-18dB以下。但是，所获得的阵元加权系数幅度变化范围大，如图2所示，在发射机中需要线性功率放大器，导致发射效率低。

图1 幅相加权波束展宽

图2 阵元幅度分布

4.2 仅相位加权波束展宽

图3（a）、（b）、（c）和（d）分别给出了采用本文仅相位加权方法获得的展宽倍数为1.2、1.5、1.8和2的波束方向图，如图中蓝色点虚线所示。作为对比，图中也给出了红色实线表示的理想展宽波束和黑色虚线表示的均匀加权波束。从图中可以看出，仅相位加权方法获得的波束方向图具有良好的主瓣展宽性能，满足实验设计要求。

图3 仅相位加权波束展宽

然而，从图中可以看出，仅相位加权展宽波束方向图最大旁瓣电平较高，分别为-11dB、-7dB、-3dB和-1dB，大大限制了实际应用。为解决以上问题，增大主瓣约束范围，将最大旁瓣电平向端射方向平移，通过阵列天线单元本身的低旁瓣性能进行抑制。波束方向图如图4所示，-25°～25°范围内的旁瓣电平在-10dB以下。

图4 仅相位加权波束展宽（宽主瓣约束）

5 结语

本文提出了一种恒模约束下的方向图逼近算法解决仅相位加权波束展宽问题。在相同阵元数条件下构建具有展宽波束宽度的均匀加权理想波束方向图，通过方向图逼近方法获得待优化的波束方向图，通过施加旁瓣约束可获得低旁瓣特性。通过数值仿真验证，仅相位加权波束方向图具有良好的主瓣展宽性能，但最大旁瓣电平较高。为了满足实际应用要求，通过增大主瓣约束范围，在-25°～25°范围内获得了-10dB以下的旁瓣电平。本文方法适合发射波束仅相位加权的实际应用。