面向精密气磁隔振的磁斥力负刚度装置的优化设计

赵亚敏，崔俊宁，邹丽敏，边星元

(1.哈尔滨工业大学 超精密光电仪器工程研究所，哈尔滨 150080；2.哈尔滨工业大学 超精密仪器技术及智能化工信部重点实验室，哈尔滨 150080)

气浮隔振器因其承载大，固有频率低且基本不随隔振负载变化等特点广泛应用于精密仪器、设备的隔微振技术领域[1-3]。随着高端精密/超精密加工、测量设备精度需求的提高，隔振负载兼具大承载、体积庞大与结构复杂等特点，且对工作环境中的低频微幅振动干扰的隔离提出了越来越严苛的要求[4-5]。并联负刚度装置可在保证隔振器承载的条件下，进一步降低固有频率、提升低频隔振性能[6-9]。为稳定地实现大承载下的低频/超低频隔振效果，不仅要求负刚度装置具有高幅值负刚度特性，以最大程度的抵消气浮隔振器的正刚度，实现近零刚度特性；并且要求负刚度装置具有高线性特性以保证隔振系统的稳定性。实现负刚度装置的高幅值、高线性负刚度特性是目前研究的一个难点。永磁式负刚度装置由磁材料的特殊配置构成，相比于欧压连杆[10]、凸轮滚子弹簧[11-13]、倒立摆[14]等负刚度装置，具有无摩擦、结构紧凑、易于与主动控制系统集成等特点，广泛用于与正刚度结构并联构建低频/超低频隔振器。

Nijsse[15]利用三块立方永磁体间的磁力作用设计了磁引力与磁斥力两种负刚度结构。Carrella等[16]与Wang等[17]分别将三块立方永磁体构成的磁引力负刚度装置与螺旋弹簧、空气弹簧并联实现低频隔振效果。Wu等[18]试验验证了磁斥力负刚度装置的性能。戴鹏辉[19]将两种负刚度装置并联实现宽域高线性负刚度特性。Dong等[20]将磁引力负刚度装置中的立方永磁体替换为环形永磁体，并基于等效磁荷模型建立了负刚度装置的刚度与刚度非线性度解析模型。Shan等[21]利用由吸引布置的四块立方永磁体构成的负刚度装置隔离地面低频振动干扰；Oyelade[22]利用排斥布置的四块立方永磁体设计了负刚度装置，并对其动力学特性进行了研究。立方永磁体负刚度装置的刚度可通过磁铁间距调节、磁阻尼小、高频段隔振性能优越，但是磁引力负刚度装置的磁铁间距与振动位移方向相同，限制了隔振负载的振幅[23]。Zheng等[24-26]利用两个同轴嵌套的磁环构成负刚度装置，并给出了磁环负刚度装置的优化设计流程。Zhou等[27-28]将双磁环负刚度装置用于解决新生儿运输过程中的超低频隔振问题。磁环负刚度装置产生的高磁阻尼无法改善高频段的振动传递率，且磁环结构确定后刚度不可调整，无法适应载荷质量及激励频率的变化[29]。

针对磁环负刚度装置刚度不可调、立方永磁体构成的磁引力负刚度装置限制隔振负载振动幅值的问题，提出了一种由三个沿垂向同向磁化的立方永磁体构成的磁斥力负刚度装置。磁斥力负刚度装置的刚度通过磁铁间距调整，且磁铁间距与振动位移的方向相互垂直，不受隔振负载振幅的影响。建立磁斥力负刚度装置的解析模型，采用遗传算法实现高幅值、高线性负刚度特性的优化设计。论文的后续研究内容如下：首先，基于等效磁荷模型，建立磁斥力负刚度装置的磁力、刚度及刚度非线性解析模型，并仿真验证理论模型的正确性。然后，采用遗传算法优化几何参数，给出优化设计结论。

1 磁斥力负刚度装置及理论建模

1.1 磁斥力负刚度装置

由磁斥力负刚度装置与气浮隔振器并联构成的气磁隔振器的原理如图1所示。气浮隔振器由主气室、附加气室与弹性膜构成，主、附气室间通过节流孔连接。磁斥力负刚度装置由沿垂向同向磁化的左侧永磁体、中间永磁体与右侧永磁体构成，与气浮隔振器并联支撑隔振负载。中间永磁体与隔振负载固定连接，左侧永磁体与右侧永磁体几何尺寸相同、对称固定在中间永磁体两侧。中间永磁体与左、右侧永磁体的Z向、水平Y向中心重合，水平X向间距为h。通过气浮隔振器充气压力的改变保证隔振负载及激励频率变化时，中间永磁体的Z向高度中心始终与左、右永磁体等高。此外，在高集成度的应用场合，也可将磁斥力负刚度装置集成到气浮隔振器的内部。

图1 磁斥力负刚度装置与气浮隔振器并联构成的气磁隔振器Fig.1 Air magnetic vibration isolator composed of negative stiffness device with magnetic repulsion and air floating vibration isolator

由于结构的对称性，在图2所示的静平衡点处(z=0)，左、右侧永磁体施加在中间永磁体上的磁斥力相互抵消。微小扰动作用下，中间永磁体偏离静平衡点运动(z≠0)，左、右侧永磁体产生与运动方向相同的磁斥力使中间永磁体继续偏离静平衡点运动；无外力作用下，中间永磁体将不会回到静平衡点。因此，中间永磁体在Z向呈现负刚度特性，可抵消弹簧的正刚度，实现高静低动刚度特性，提升气浮隔振器的低频隔振性能。

图2 磁斥力负刚度装置的原理图Fig.2 Schematic diagram of the negative stiffness device with magnetic repulsion

本文重点研究磁斥力负刚度装置的设计及优化问题，将气浮隔微振器等效为线性弹簧，且精密仪器设备所处环境中的低频微幅振动干扰通常在±1 mm范围内，在此微振动干扰下，通常不考虑气浮隔微振器的非线性特性。

1.2 磁力理论建模

根据等效磁荷法原理，左侧永磁体施加在中间永磁体上的磁力等于表面3、表面4上的磁荷与表面1、表面2上的磁荷间相互作用力的叠加。由于结构对称，中间永磁体所受Z向磁力等于左侧永磁体与中间永磁体间Z向磁力的2倍。设同极性磁荷间作用力为正，异极性磁荷间作用力为负，中间永磁体所受Z向磁力F为

F=2(F13+F24-F14-F23)

(1)

Fmn(m=1,2；n=3,4)为表面m施加在表面n上的Z向磁力。以F13为例推导中间永磁体所受Z向磁力。中间永磁体的长、宽、高分别为2a1，2b1，2c1，左、右侧永磁体的长、宽、高分别为2a，2b，2c。中间永磁体的中心O与左侧永磁体的中心O1的相对位移为h，0，z。以中间永磁体的中心O建立坐标系，左侧永磁体的中心O1的坐标为(-h,0,0)。在表面1坐标(-h+α,β,c)处取微元Q，微元Q的磁荷为Brdαdβ，Br为表面1的剩余磁感应强度；在表面3坐标(α1,β1,z+c1)处取微元P，微元P的磁荷为Br1dα1dβ1，Br1为表面3的剩余磁感应强度。微元Q施加在微元P上的Z向磁力为

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

联立式(1)与式(3)～式(6)可得Z向磁力F

(7)

其中：

u=z+(-1)qc1-(-1)pc,v=(h+α1-α)2+(β1-β)2+u2。

四重积分后得

(8)

其中：

1.3 有限元仿真验证

采用maxwell电磁软件的3维建模仿真验证所建理论模型的正确性，磁斥力负刚度装置的几何参数如表1所示，Br=Br1=1.34 T为永磁体的剩余磁感应强度，μr=1.023为相对磁导率。磁铁间距h=20 mm时，磁斥力负刚度装置静平衡点的磁感应强度云图如图3所示。不同磁铁间距下，有限元仿真与理论计算得到的磁力-位移曲线如图4所示。中间永磁体偏离平衡位置±10 mm，理论计算与有限元仿真的偏差小于10%，验证了所建理论模型的正确性。

表1 磁斥力负刚度装置的几何参数Tab.1 Geometric parameters of negative stiffness device with magnetic repulsion mm

图3 磁斥力负刚度装置静平衡点的磁感应强度云图Fig.3 Magnetic induction intensity cloud diagram at static equilibrium point of negative stiffness device with magnetic repulsion

图4 磁斥力负刚度装置的磁力-位移曲线Fig.4 Magnetic force-displacement curve of negative stiffness device with magnetic repulsion

由式(8)计算得到磁斥力负刚度装置的Z向磁力随振动位移z与磁铁间距h变化的三维曲线如图5所示。中间永磁体所受的Z向磁力随磁铁间距h的变化呈现较强的非线性特性，而在沿Z向的小区间振动范围内，则具有近似线性的Z向磁力-振动位移关系。

图5 Z向磁力Fig.5 Magnetic force along Z axis of negative stiffness device with magnetic repulsion

1.4 刚度与刚度非线性度

根据刚度的定义，将磁力F对位移z取负导数得

(9)

负号说明回复力的方向与磁力方向相反，其中，φ(U,V,W,r)=2r+Vln(r-V)+Uln(r-U)，U，V，W，r的取值与式(8)相同。

由式(9)可知，磁斥力负刚度装置的刚度表示为中间永磁体振动位移z的非线性函数，随振动位移而变化。刚度非线性度定义为偏离静平衡点负刚度值的程度，即

η=|(K-Kq)/Kq|×100%

(10)

式中：K=K(z)|z≠0为z处的刚度；Kq=K(z)|z=0为静平衡点刚度。

超精密仪器设备的低频/超低频隔振系统要求负刚度装置不仅具有高幅值负刚度，并且具有高刚度线性度，以保证隔振系统的稳定性。选定中间永磁体的长×宽×高(2a1×2b1×2c1)为15 mm×20 mm×30 mm，左、右侧永磁体的长×宽×高(2a×2b×2c)为10 mm×25 mm×40 mm，磁铁间距h在20～30 mm，Br=Br1=1.34 T，由式(9)和式(10)计算刚度与刚度非线性度。由图6所示的特性曲线可知，磁斥力负刚度装置呈现较强的非线性。磁铁间距越小、振动幅值越大，非线性越明显。增大磁铁间距可降低刚度非线性，但会导致负刚度幅值降低。因此，调整磁铁间距无法兼顾磁斥力负刚度装置的负刚度幅值与刚度线性度，实际使用过程中需根据特定需求对两个指标进行取舍。

图6 磁斥力负刚度装置的特性曲线Fig.6 Characteristic curve of negative stiffness device with magnetic repulsion

2 磁斥力负刚度装置的优化设计

由式(9)与式(10)可知，磁斥力负刚度装置的刚度及刚度非线性度均与永磁体的几何尺寸有关。合适的几何参数可实现高幅值、高线性负刚度特性。由图6可知，较小的磁铁间距及永磁体X向尺寸可保证负刚度幅值；此外，沿Y轴阵列布置多个磁斥力负刚度装置、采用并联的方式增大负刚度幅值，要求永磁体具有较小的Y向尺寸；因此，给定中间永磁体的长×宽×高(2a1×2b1×2c1)为15 mm×20 mm×30 mm。考虑结构的紧凑性及装调空间，左、右侧永磁体的尺寸满足6≤2a≤15 mm，2b≥21 mm，2c≥31 mm，磁铁间距h≥20 mm，磁斥力负刚度装置的整体尺寸小于70 mm×40 mm×50 mm，即

(11)

根据上述约束条件得到自变量的取值范围如表2所示。环境微振动引起精密仪器设备中隔振负载的垂向振动位移通常在±1 mm；磁斥力负刚度装置的负刚度幅值随振动位移的增大而减小，刚度非线性度随振动位移的增大而增大。因此，将静平衡点刚度与±1 mm处的刚度非线性度作为目标函数，采用遗传算法优化左、右侧永磁体的几何参数与磁铁间距。

表2 自变量的取值范围Tab.2 The range of independent variables

2.1 以静平衡点刚度为目标函数的优化

将静平衡点刚度作为目标函数对磁斥力负刚度装置的几何参数进行优化，优化负刚度及其几何参数如表3所示。优化后，磁斥力负刚度装置的负刚度幅值增大251.33%，刚度非线性度提高两个数量级。因此，将静平衡点刚度作为目标函数的优化可在牺牲刚度线性度的条件下提高负刚度幅值。

表3 静平衡点刚度作为目标函数的优化结果Tab.3 Optimization result with the objective function of stiffness at static equilibrium

2.2 以±1 mm处的刚度非线性度为目标函数的优化

将±1 mm处的刚度非线性度作为目标函数对磁斥力负刚度装置的几何参数进行优化，优化刚度非线性度及其几何参数如表4所示。优化后，±1 mm处的刚度非线性度降低八个数量级，负刚度幅值降低33.99%。因此，以±1 mm处的刚度非线性度为目标函数的优化同样无法兼顾磁斥力负刚度装置的高幅值与高线性特性。

对比表3与表4可知，采用单目标函数优化磁斥力负刚度装置的几何参数时，优化目标的改变对几何参数的影响较大，静平衡点刚度与±1 mm处的刚度非线性度此消彼长。

表4 ±1 mm处的刚度非线性度作为目标函数的优化结果Tab.4 Optimization result with the objective function of stiffness nonlinearity at ±1 mm

如图7所示，c=20 mm，h=20 mm时，静平衡点刚度与±1 mm处的刚度非线性度两个目标函数的极值点对应的几何参数不同；静平衡点刚度随左、右侧永磁体长度与宽度的增大而增大，而±1 mm处的刚度非线性度随左、右侧永磁体长度的增大先减小后增大；左、右侧永磁体长度较小时，±1 mm处的刚度非线性度随永磁体宽度的增大而增大；永磁体长度超过一定值后，变化规律相反。因此，单目标函数优化无法兼顾高幅值、高线性负刚度特性，需要对两个目标函数进行协调。

图7 左、右侧永磁体的长度和宽度对磁斥力负刚度装置的影响Fig.7 Influences of the length and width of the left or right permanent magnet on the negative stiffness device with magnetic repulsion

2.3 多目标优化

静平衡点刚度和±1 mm处的刚度非线性度具有不同的单位和数量级，采用式(12)与式(13)所示的利差方法分别对其进行归一化处理，以实现多目标函数的协调。

(12)

(13)

将静平衡点刚度作为目标函数优化得到Kqmin=-13.046 6 N/mm，Kqmax=-0.567 985 N/mm；将±1 mm处的刚度非线性度作为目标函数优化得到η±1min=9.841×10-10%，η±1max=3.941 35%。无量纲处理后，根据两个优化目标对最终目标函数的影响程度为其分配权重系数w1，w2，w1，w2>0，且w1+w2=1，采用线性加权的方式将两个优化目标组合成单目标函数g

g=w1K′+w2η′±1

(14)

按照表5中的权重系数分配方式优化磁斥力负刚度装置，由表6所示的优化结果可知，权重系数的改变对左、右侧永磁体长度和宽度的影响较小，而对永磁体高度的影响较大。静平衡点刚度权重系数较小时，左、右侧永磁体的高度2c取38.266 mm，可在保证负刚度线性度的基础上提高负刚度幅值；静平衡点刚度权重系数较大时，永磁体高度取15.5 mm，有利于提高负刚度幅值，但会导致磁斥力负刚度装置呈现强非线性特性。第2组与第3组、第4组与第5组的优化结果相同，说明对应几何参数下的归一化刚度非线性度远大于归一化负刚度。对比各组优化结果可知，第3组权重系数为最佳分配方式，静平衡点刚度大于9 N/mm，±1 mm处的刚度非线性度优于0.000 15%，负刚度幅值与刚度线性度较优化前均有显著提升。考虑实际加工与装配精度，将磁斥力负刚度装置的几何尺寸保留一位小数，即2a=15.0 mm，2b=4.0 mm，2c=38.3 mm，h=20.0 mm，计算得到静平衡点刚度为-9.138 5 N/mm，±1 mm处的刚度非线性度为0.020 2%。优化前后磁斥力负刚度结构的性能对比如图8所示，优化后，静平衡点刚度提升146.09%，±1 mm处的刚度非线性度降低64.73%。

表5 权重系数分配方式Tab.5 Weight coefficient allocation method

表6 不同权重下的多目标优化结果Tab.6 Multi-objective optimization results at different weight coefficients

图8 优化前后磁斥力负刚度装置的刚度与刚度非线性度Fig.8 Negative stiffness and stiffness nonlinearity of negative stiffness device with magnetic repulsion before and after optimization

实际工程应用中，需要根据气浮隔微振器的正刚度值对磁斥力负刚度装置的负刚度值的范围进行约束，以保证并联构成的气磁隔振器的刚度值接近于零、但大于零，处于稳定状态。

3 结 论

本文提出了一种面向精密气磁隔振的磁斥力负刚度装置，以进一步提升气浮隔振器的低频性能、降低环境中的低频微幅振动干扰对高端精密加工、测量设备的影响。磁斥力负刚度装置由三块沿垂向同向磁化的立方永磁体水平布置构成，刚度值可通过磁铁间距调整。基于等效磁荷模型建立磁斥力负刚度装置的磁力、刚度及刚度非线性解析模型，并采用遗传算法对永磁体的几何参数进行优化设计。通过研究得出以下结论：

(1)采用单目标函数优化磁斥力负刚度装置的几何参数无法兼顾高幅值、高线性负刚度特性，且优化目标的改变对几何参数的影响较大。以静平衡点刚度为目标函数的优化，将静平衡点刚度Kq增大251.33%，η±1提高两个数量级；以±1 mm处的刚度非线性度为目标函数的优化，将±1 mm处的刚度非线性度η±1降低八个数量级，静平衡点刚度Kq降低33.99%。

(2)以静平衡点刚度与±1 mm处的刚度非线性度为目标函数的多目标优化将静平衡点刚度Kq提升146.09%，±1 mm处的刚度非线性度η±1降低64.73%。

本文的研究实现了面向精密气磁隔振的磁斥力负刚度装置的高幅值、高线性度的优化设计，不仅可应用于精密仪器及系统的气浮隔振系统中，在超精密制造、尖端科学实验系统等领域也均具有重要的应用价值。