期性分红在有界红利率对偶模型中的应用研究①

陈喜林

(罗定职业技术学院；广东 罗定 527200)

0 引 言

信息更迭加速了全球经济发展，多边多元贸易拓展，全球金融投资领域的竞争愈演愈烈。要保证投资公司的正常运转，发行股票或基金是减少风险、获得资金的重要方式，而资金的注入必然对资产运作产生一定影响[1]。与此同时，股东分红成为了不可忽视的问题，红利分配大小直接决定了股东再注资态度。股东利益最大化和公司稳定健康发展，两者之间的权衡问题成为了诸多学者的研究焦点[2]。对偶风险模型获得正收益的概率随机，且以平均速度消耗运营成本，与实际的企业运营过程较为贴近。在实际生活中，周期性分红问题十分普遍，企业进行季度分红或年度分红更是常见[3]。有鉴于此，研究运用对偶风险模型探讨周期性红利分配，具有较高的实践性意义。

1 基本模型与假设

以u表示企业初始基本资金，c表示企业单位时间的花费，S(t)表示企业至t时刻的随机总收益，则企业在t时刻的盈余如式(1)所示。

U(t)=u-ct+S(t)c∈N+,u,t∈N

(1)

(2)

进而可知，盈余模型为复合二项对偶模型，其模型详细表述见式(3)。

(3)

研究在式(1)所述模型中讨论最优分红问题，假定在t=0时刻考虑分红，dt表示t时刻的分红红利，t∈N；用k表示周期长，它为固定正整数，且满足以下条件[4]。其一，仅在t=nk时刻考虑分红，n∈N，其余时刻不予考虑；其二，在任何时刻，分红均不能导致破产；其三，在任一时刻，红利数量均为整数，且小于等于给定上界c0(c0∈N+)；其四，任一时刻的红利dt关于Ft可料，Ft是σ代数，它包含了t时刻已发生的所有信息。

盈余模型具有马尔科夫性，因此研究仅需讨论一类可行策略，它是关于盈余x的函数[5]。这里用Φ表示该策略，在策略Φ的控制下，盈余过程可用式(4)表述。

UΦ(t)=

(4)

非历史相依的可行策略以集合Λ表示，对于任意Φ(x)∈Λ，对应的值函数以式(5)定义。

(5)

在式(5)中，UΦ(t-)表示贴现因子，且UΦ(t-)=UΦ(t-1)-c+Xtξt,r∈(0,1)；Eu表示初始盈余u下的条件期望；τ=inf{t>0;UΦ(t)<0}表示盈余第一次为负的时刻，即破产时刻。研究的优化目标是找到满足式(6)的最优值函数及其对应的最优策略Φ*。

(6)

在最优策略和最优值函数下，V*(u)=VΦ*(u)。为避免混淆，这里用V(u)表示策略Φ的值函数，即VΦ(u)=V(u)。

2 周期性分红的最优值函数及最优策略

对于任意Φ(x)∈Λ，运用全概率公式建立相应的值函数方程，见式(7)[6]。

V(u)=Φ(u)+qr[V(1)(u-c-Φ(u))]+

∀u∈N

(7)

满足式(8)和(9)所示的递推关系。

V(t)(u)=qr[V(t+1)(u-c)]+

t=1,2,...k-2

(8)

V(k-1)(u)=qr[V(u-c)]+

(9)

当u∈Z-时，规定V(u)=0和V(t)(u)=0,t=1,2,...,k-1。由此可知，V(t)(u)可以看作时刻t开始的新的盈余过程对应的值函数。若Φ为最优分红策略，则式(7)可写作式(10)所示的HJB方程。

{d+qrV(1)(u-c-d)+

(10)

通过贝尔曼递归算法计算方程(10)，可以得到最优值函数V(u)和最优策略[7]。对于任意Φ(x)∈Λ，以式(11)定义新函数W(u)。

W(u)=qrV(1)(u-c)+

(11)

当u∈Z-时，W(u)=0。由此可得式(12)和(13)的关系式。

V(u)=Φ(u)+W(u-Φ(u))

(12)

V(k-1)(u)=

qr[W(u-c-Φ(u-c))+Φ(u-c)]+

Φ(u-c+x)]f(x),u∈N

(13)

在策略集Λ中，若存在一策略，其对应的W(u)对∀u∈N均为最大值，则称函数W(u)在策略集Λ上最优。

定理1：假设Φ(x)∈Λ，其值函数为V(u)，且W(u)满足式(11)。若W(u)在策略集Λ上最优，则有

∀u∈N，有式(14)成立。

(14)

Φ为最优分红策略。

证明：(1)根据式(8)、(11)、(13)，由W(u)的最优性和有界红利率条件可得式(15)。

V(k-1)(u)=

(15)

比较式(15)和式(13)，有：

W(u-Φ(u))+Φ(u)=

(16)

由此易得：

Φ(u)=

(17)

式(14)与式(17)等价，证毕。

(2)根据式(12)，当Φ(u)满足式(17)时，其对应值函数为最优，因此Φ为最优策略，证毕。

证明：根据式(13)有：

(18)

结合式(8)可得式(19)所述关系。

(19)

根据函数W(u)的定义式，式(20)成立。

(20)

定理3：设0

(21)

证明：

根据式(7)有

(22)

根据式(8)有

(23)

根据式(9)有

(24)

由式(22)、(23)、(24)可得以下关系式：

(25)

由式(23)、(24)有：

(26)

用S表示N中所有有界实值函数集合，定义∀X,Y∈S，其距离满足式(27)。

(27)

因此，S=(S,d)为完备度量空间[8]。

由于在任一时刻，红利均小于等于给定上界(c0(c0∈N+))，因此对任意红利策略Φ，其值函数满足式(28)。

(28)

V(k-1)(u)=

qr[W(u-c-BW(u-c))+BW(u-c)]+

BW(u-c+x)]f(x)

(29)

定义集合

T=T0T1…Tk-1，Ti(i=0,1,...,k-1)

是S上的算子，且满足TiV=Vi。则根据式(29)有式(30)所述关系。

W=TW

(30)

定理4：设0

证明：对于∀X,Y∈S，有：

|X(u-c+x-BX(u-c+x))+BX(u-c+x)-(Y(u-c+x-BY(u-c+x))

-BY(u-c+x)|f(x)}

(31)

在式(31)中，∀u∈Z-时，定义X(u)=Y(u)=0，BX(u)=BY(u)=0，不失一般性。设给定的u∈N，有：

X(u-BX(u))+BX(u)≥Y(u-BY(u))+BY(u)

容易得：

d(Tk-1X,Tk-1Y)≤qrd(X,Y)+

类似地，对于∀X,Y∈S，有：

d(TX,TY)=d(T0T1…Tk-1X,T0T1…Tk-1Y)≤

rd(T1T2…Tk-1X,T1T2…Tk-1Y)≤…≤rkd(X,Y)

当0

定理5：设Φ∈Λ，V(u)为值函数，对于∀u∈N，若式(14)成立，则W(u)为最大。

根据定理4，由式(8)、(11)、(15)组成的方程组有唯一解，因此有定理5成立。

3 最优红利值算法

根据定理1可知，当函数W(u)最大时，对应的为最优策略；同时，对于∀u∈N，该策略使得值函数V(u)最大。另外，定理4说明最优策略必定存在。因此在有界红利率条件下，求解最优函数W*(u)=supΦ∈ΛW(u)，可以得到最优值函数和最优策略。

研究以贝尔曼递归算法求解最优函数，给定任一初始函数W0(u)，根据式(32)可计算函数序列{W1(u),W2(u),...}[10]。

Wn=TWn-1,n∈N+

(32)

(33)

在式(33)中，有式(34)、(35)所述递推关系。

t=1,2,...,k-2

(34)

(35)

另外，同时考虑方程式(36)。

(36)

(37)

(38)

根据式(33)、(34)、(35)可得

W*(u)≥G2(u),G1(u)≥G2(u)

根据式(36)、(37)、(38)可得

故定理6得证。

定理7：任取0

(39)

因此可得式(40)。

(40)

推而广之，当t=0,1,2,...,k-2时，易得式(41)。

(41)

根据式(40)和式(41)可得式(42)。

(42)

根据式(42)，式(39)得证。

4 数值实例计算

研究列举了一个应用实例，并利用最优红利值算法求解最优函数、最优策略和最优值函数。设c0=10，p=0.7，k=3，收益额服从均值μ=25的几何分布，概率函数如下：

(43)

当贴现因子r=0.96,0.97,0.98时，可得表1所示的最优红利策略。设多门槛策略集合为{b1,b2,...,bm}，在分红时刻，若盈余u∈[bi,bi+1)且bm+1=∞,i=1,2,...,m，则应支付数量为(u-bi)＾c0的红利；若盈余小于最低门槛b1，则股东不分红。

表1 最优红利策略

由表1的统计结果可知，最优红利策略为多门槛策略。当贴现因子r=0.96时，最优分红策略的门槛值为0,10,20；当贴现因子r=0.97时，最优分红策略的门槛值为22,30；当贴现因子r=0.98时，最优分红策略的门槛值为37,40。因此，在固定分红决策周期下，随着贴现因子r值逐渐增加，最小门槛值b1也在增加。

令分红周期间隔为k=1,2,3,4，当贴现因子r=0.98时，最优分红策略和最优策略对应的值函数图像分别见表2和图1。从表2的统计结果可以看出，在固定贴现因子下，随着分红决策周期k逐渐增加，最优决策的最小门槛值b1逐渐减小。

表2 当r=0.98且k=1,2,3,4时的最优分红策略

与此同时，观察图1所示的值函数图像。从图1可以看出，随着分红决策周期k逐渐增加，值函数V*(u)逐渐减小。由此推测，当时间区间将趋近于0，此时将得到一个连续时间模型，且最优红利策略也可能成为连续支付红利策略。

图1 当r=0.98且k=1,2,3,4时的值函数V*(u)图像

5 结 论

研究在有界红利率条件下，讨论了复合二项对偶模型的周期性分红问题，运用贝尔曼递归算法和压缩映射原理证明了最优分红策略存在且拥有唯一解，并通过逼近最优值函数的上下界，得到了其求解算法。数值实例的结果表明，在固定分红决策周期下，最小门槛值b1与贴现因子r值呈正相关；在固定贴现因子下，随着分红决策周期k逐渐增加，对应的值函数V*(u)和最小门槛值b1逐渐减小。除此之外，当时间区间长趋于0时，复合二项对偶模型将成为连续时间模型，进而最优红利策略可能成为连续支付红利策略。虽然研究得到了较好的结论，但在今后的工作中，还需要进一步继续尝试，讨论无界红利条件、单位时间支付费用随机、分红贴现利率随机变化等情况下的对偶模型周期性分红问题。