以史明智，以史育人

王东薪

摘要：数学是一门有着几千年历史的古老学科。数学史中不仅蕴含着人类智慧的结晶，也闪耀着人类思想的光芒。因此，在小学数学教学中，教师应本着“以史明智、以史育人”的原则，通过在单元教学中融入数学史的教学，对教学目标、教学过程、数学文化、数学思想进行统整和渗透，在单元整体的视角下，进行数学史的融入，既注重对课程标准和教材的精准剖析，又凸显教学过程和教学方法的难点突破，既重视学生知识和技能的培养，又关注学生思维习惯、学习能力、学科德育的同步发展，从而真正提升学生的核心素养。

关键词：单元统整教学;数学史;融入

近年来，关于数学史的研究取得了显著的成果，人们也越来越认识到数学史在提高数学教学效率方面发挥着无可替代的作用。基于此，本文以小学数学单元统整教学为例，尝试通过“教学目标的统整、教学过程的设计、数学文化的融入、数学思想的渗透”的途径，探索数学史在小学数学教学中的教学策略，并希望以此为契机，探索小学数学教学的新思路。

五年级上册第五单元“平面图形的面积”是学生第一次学习空间几何中抽象概念的计算。平面图形是帮助学生形成空间观念的起点，平面图形的面积是今后学习立体图形面积及体积的基础。在平面图形面积的教学中，凸显了许多数学思想方法。例如，通过剪拼、割补等方法，将未知图形转化为已知图形来探究图形面积的计算方法，意在渗透转化、综合、分析思想;用字母式表示图形面积的计算公式，旨在渗透符号化思想等。

一、教学目标的统整——立足单元，详略得当

教学目标是指教学活动实施的方向和预期达成的结果，是一切活动的出发点。数学史融入单元教学要立足单元教学整体布局，凸显目标内容的文化特征，让学生经历数学家在数学探究过程中所运用的数学思想，从而把握数学学科的本质，形成数学的思维方法和解决问题的能力。

（一）单元目标立足全局

进行单元统整教学时，教师要立足全局谋划局部，要站在全面、系统的立场确定单元的教学目标。基于对本单元教材的分析，结合课程标准对面积计算的要求，确定本单元的教学目标如下。

（1）通过割补等方法归纳平行四边形面积计算公式，体验图形运动和“转化”的思想方法，初步了解“出入相补”的计算方法;会用公式或公式变形求关于平行四边形的底、高、周长及面积的相关问题。

（2）知道运用割补等方法探索三角形计算方法，体验“转化”的思想方法;会用公式或公式变形求关于三角形的边、高、周长及面积的相关问题，拓展“出入相补”的方法。

（3）知道运用割补等方法探索梯形的面积计算方法，体验“转化”的思想方法;会用“出入相补”的方法将梯形转化成为长方形、平行四边形、三角形等;会用公式和公式变形求解关于梯形的底、高及面积的相关问题。

（二）课时目标各有侧重

本单元中包含“平行四边形的认识”及“平行四边形的面积”“三角形的面积”“梯形的认识”“梯形的面积”“组合图形的面积”等课时，本实践将单元进行拆分，只将体现数学思想方法的三节求面积的课时集中授课，凸显了数学思想方法的紧密联系。这三种图形面积的推导，都是建立在学生自己动手操作的基础上，通过割补、拼摆等方法将未知的图形面积转化为已知的图形面积，渗透“化归”的思想，融入数学史的教学中。各课时目标的侧重点有所不同，在平行四边形的面积中初步引入“出入相补”的数学思想，在三角形的面积中拓展“出入相补”的数学思想，在梯形的面积中运用“出入相补”的数学思想。同时，注重知识间的联系和递进关系，重视学生数学活动经验的积累，梳理蕴含的数学思想方法，融入数学文化元素，序列性地制定单元课时目标（如表1所示）。

三节课通过“转化”的数学思想方法进行串联，在其中渗透“出入相补”的数学思想方法，序列性地进行单元教学的尝试，从第一节课的“开启”、第二节课的“拓展”到最后“运用”，让学生体会“转化”的数学思想，积累基本的数学活动经验，提升学生学习数学的兴趣。

二、教学过程的设计——把握核心，精准施教

本单元的数学思想主线是运用“转化”的数学思想方法进行求解平面图形的面积，但是在三节课中各有侧重，既要把握单元统整教学的序列性，也要把握数学史融入的契合度，做到重点突出、层次分明。

序列性主要体现在平行四边形的面积是开启“转化”的一节课，并初步介绍“出入相补”的思想方法。三角形的面积是拓展“转化”的一节课，并拓展“出入相补”。而梯形的面积则是“转化”思想的训练场，呈现出转化方法的多样化。

契合度主要体现在数学史融入的契合性上，针对本单元的教学，借助“出入相补”这个载体，以不同的方式将数学史融入课堂教学中，让学生遵循着知识的发展脉络，体验数学知识的探究过程，进而习得方法、掌握知识。

“平行四边形的面积”是开启课，教师直接出示一个平行四边形，给学生充分的材料探究、思考：怎样求出这个图形的面积？学生的探究分为两个层次：有的学生运用方格纸数方格;有的学生直接用尺子量出刻度，然后沿高剪开，并将它转化成为长方形。本节课的核心问题是：为什么要沿着高剪开转化成为长方形？同时，向学生渗透“出入相补”的原理。学生通过“新旧转化—找出关系—推导公式”总结经验。本课的重点在于引导学生经历探究过程，初步构建模型，体会“转化”思想。在拓展练习中，学生体会到长方形变成平行四边形，随着高变小，周长不变，面积变小，体会“变中不变”的思想，并知道同底等高的平行四边形面积相等。

“三角形的面積”是承上启下课，教师出示一个三角形，请同学们进行探究。有的同学通过对上一节课的知识迁移运用，将两个完全相同的三角形转化为平行四边形，并推导出三角形的面积计算公式。有的同学尝试运用一个三角形是否能用剪拼的方法进行转化。在剪拼过程中遇到困难时，教师逐步对学生进行引导，引导他们沿两条腰的中点剪开试一试。学生经过探究可以得出三种情况。学生先后经历了比较容易的合拼和富有挑战的剪拼过程，感受到了数学家的探究过程，并从中感悟数学思想、丰富体验。这样的教学让两节课紧密而自然地衔接起来。

“梯形的面积”是思维展示课，学生有了合拼和剪拼的经验，可以用个性化的方法探究梯形的面积计算公式。在单元统整的教学理念下，学生获得了探究的方法，形成了探究的习惯，从而学会自己探究梯形的面积。然而，还不能止步于此。在本节课中，学生要寻找三个图形面积之间的联系，形成知识网络，完善认知结构，对三个图形面积之间的联系进行梳理和建构。

三、数学文化的融入——出入相补，适度实施

在单元统整的过程中，我对数学史料进行了查找和梳理，并根据序列性和契合度进行了适当的取舍，最后确定了数学文化的渗透素材：《九章算术》中“出入相补”的数学思想和《几何原本》中同底等高、等底等高的平行四边形和三角形的面积之间的关系的命题和证明。根据单元统整的特点，我将数学文化嵌入课时教学中，发挥数学文化育人的作用。

“平行四边形的面积”通过探究深入和练习融入两方面让学生感受数学文化。在探究深入中，我向学生介绍了“出入相补”的原理并使其进一步感知，为学生打开了更多关于割补法的思路。在练习融入中，我运用教材资源，将数学文化与课堂练习有效地结合在一起，让学生经历计算、发现、感悟的过程。

“三角形的面积”通过三次融入让学生感受数学文化。第一次融入是在学生完成了用合拼探索出三角形的面积计算公式以后，直接引导学生采用剪拼法推导三角形的面积公式。第二次融入是学生经历用剪拼的方法推导出三角形的面积公式后，介绍《九章算术》中的记载，让学生感受“出入相补”的方法。第三次融入是在课堂练习中融入《几何原本》的有关命题，对等底等高的三角形面积进行探究。

“梯形的面积”教学是在学生交流个性化转化的基础上，介绍《九章算术》中“邪田”（直角梯形）和“箕田”（等腰梯形）的记载。学生已有用转化法推导梯形的面积计算公式的经验，再结合数学史的融入，使其对“出入相补（以盈补虚）”有了更深刻、更多样的体验。

四、数学思想的渗透——问题引领，抽象提升

单元统整教学不仅让学生获取了系统的知识链，更重要的是让学生在掌握知识与技能的同时，体验数学思想，发展数学思维，最终形成数学学习能力。在“平面图形的面积”单元教学中，我通过问题驱动、学生主动、课堂生动三方面关注学生的学习过程，循序渐进地提升学生的思维品质。

（一）在问题驱动中启动学生的思维

数学的思维特征之一就是问题性，通过从实际生活中提出问题、建立联系、个性表达，到最终的让学生经历知识形成的过程，学生在观察、猜测、验证、推理、概括的过程中，积累数学活动经验。思维因问题而发动，因问题而深入，并以問题解决为最终目的。

在“平行四边形的面积”一课中，我通过三个核心问题逐步推进：如何求出平行四边形的面积？如何将平行四边形转化成已知图形？为什么要沿着高剪开？在“三角形的面积”一课中，问题链体现在：如何求三角形的面积？如何将三角形转化成已知图形？两个完全一样的三角形合拼一个平行四边形，一个三角形可以剪拼转化吗？而在“梯形的面积”中，其核心问题为：如何运用合拼和剪拼求梯形的面积？通过问题链的形式将核心问题进行呈现，凸显了思维的严密性。

（二）在学生主动探究中激发学生的思维

在单元统整的过程中，要让学生主动参与其中，就要对练习设计进行统整，既要关注每一节课的分层，进行有梯度的练习，又要关注课时之间的联系和针对性;既要巩固学生所学，又要培养学生解决问题的能力。比如，教师可结合《几何原本》的相关命题，基于平面图形单元的设计练习，既可巩固知识，又能培养思维。富有层次的、纵横联系的多样化练习，可以促进学生对数学知识和方法的深入理解，切实提高学生分析问题和解决问题的能力，让学生的思维走向深入。

（三）在课堂互动中提升学生的思维

在传统课堂中，教师在学生还不知道研究对象的基本特征时就开始“讲解例题，大量练习”，学生缺少对知识、方法及数学思想感悟、内化的过程，导致浅层次学习，课堂不够生动。在本单元统整的过程中，我将数学史融入教学，用数学思想串联起整个数学教学单元，将数学文化素材嵌入各个课时的教学中，发挥数学文化的教学作用。

将数学史融入小学数学单元统整教学，须立足全局制定教学目标，结合内容确定统整主线，前延后续设计教学过程，一以贯之地融入数学文化，层次分明地设计练习题组，循序渐进地提升思维品质。在单元整体教学的视角下，融入数学史教学，教师应既注重对课程标准和教材的精准剖析，又凸显在教学方法上的扶放结合;既重视学生知识和技能的培养，又关注学生的思维习惯、学习能力、学科德育的同步发展，从而真正地提升学生的核心素养。

参考文献：

[1]张贵平.小学数学课堂融入数学史的实践研究[J].试题与研究，2019（24）.

（责任编辑：奚春皓）