乘积度量空间上Banach - Chaterjia型不动点定理的改进

朴勇杰

( 延边大学 理学院, 吉林 延吉 133002 )

2008年， Bashirov等[1]首次提出了乘积度量空间的概念，并研究了该空间上的一些基本性质.随后， Florack等[2]和Bashirov等[3]对乘积度量空间的性质做了进一步研究.2012年, Özavsar等[4]在乘积度量空间上引进了如下乘积压缩映射的概念，并给出了若干个乘积压缩映射的不动点存在定理.

设(X,d)是乘积度量空间，称映射f：X→X为乘积压缩映射[4]是指存在λ∈[0,1)使得

(1)

文献[4]还给出了如下形式的乘积度量空间上Banach型不动点定理.

定理1完备的乘积度量空间(X,d)上的任何乘积压缩映射f必有唯一不动点.

在文献[4]研究的基础上，文献[5-8]的作者通过引进五元实函数并利用弱交换性、弱相容性等条件给出了乘积度量空间上的4个映射的公共不动点存在性定理，这些结果很好地推广了乘积度量空间上(公共)不动点定理.

显然，定理1是完备实度量空间上Banach不动点定理[9]在乘积度量空间上的表现形式.在乘积度量空间上称具有如下条件

(2)

显然，如下条件

d(fx,fy)≤[d(x,y)]α[d(x,fy)]β[d(y,fx)]γ,∀x,y∈X

(3)

是式(1)和式(2)的推广形式，其中α,β,γ≥0,α+2max{β,γ}<1.

称满足式(3)的映射f为Banach - Chaterjia型压缩映射.文献[10]的作者引进了如下一个函数类：γ∈Γ， 当且仅当γ: [1,+∞)3→[1,+∞)满足： ①γ关于每个变量是连续的且单调递增的； ②存在k∈[0,1)使得当x,y≥1且x≤γ(y,xy,1)或x≤γ(y,1,xy)时成立x≤yk.同时文献[10]的作者还给出了在乘积度量空间上满足γ- 隐式压缩条件映射的唯一不动点存在性定理(定理2和定理3):

定理2设(X,d)是完备的乘积度量空间,且f：X→X为映射.如果存在γ∈Γ使得d(fx,fy)≤γ(d(x,y),d(x,fy),d(y,fx)),∀x,y∈X， 则f在X中存在不动点.进一步,如果γ满足对任何x>1,x>γ(x,x,x), 则f有唯一不动点.

定理3设(X,d)是完备的乘积度量空间，且f:X→X为映射.如果f满足条件式(3)， 则f在X存在唯一不动点.

定义1[1]设X是非空集合，称映射d：X×X→[0,+∞)是X上的乘积度量是指d满足如下条件：

(i)对任何x,y∈X，d(x,y)≥1, 且d(x,y)=1 ⟺x=y；

(ii)对任何x,y∈X，d(x,y)=d(y,x)；

(iii)对任何x,y,z∈X，d(x,z)=d(x,y)d(y,z).

如果X和d满足上述条件，则称(X,d)为乘积度量空间.

例1[6]设X=R并定义d(x,y)=e|x-y|,∀x,y∈X， 则(X,d)是乘积度量空间.

定义2[1]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}是X中的序列且x∈X.若对任何积性开球Bε(x)={y∈X:d(x,y)<ε},ε>1, 存在自然数N， 且当n>N时xn∈Bε(x)成立, 则称序列{xn}乘积收敛于x∈X, 并记为xn→x(n→∞).

引理1[4]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}是X中的序列且x∈X, 则

xn→x(n→∞) ⟺d(xn,x)→1 (n→∞).

定义3[4]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}是X中的序列.若对任何ε>1, 存在自然数N使得n,m>N时成立d(xn,xm)<ε， 则称序列{xn}为乘积柯西序列.

引理2[4]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}是X中的序列,则{xn}是乘积柯西序列当且仅当d(xn,xm)→1 (m,n→∞).

定义4[4]如果乘积度量空间(X,d)中的每个乘积柯西序列都是乘积收敛的，则称(X,d)是完备的.

引理3[4]设(X,d)是乘积度量空间, {xn}和{yn}是X中的两个序列且x,y∈X， 则

xn→x,yn→y(n→∞) ⟹d(xn,yn)→d(x,y) (n→∞).

定理4设(X,d)是完备的乘积度量空间，f:X→X为映射.如果对任何x,y∈X,

(4)

其中α、β、γ是3个实数，使得α+min{β,γ}≥0且α+2max{β,γ}≤1， 则f在X中存在唯一不动点，且称满足式(4)的f为C*- 压缩映射.

证明任取x0∈X, 并根据xn +1=fxn,∀n=0,1,2,…构造一个序列{xn}.由给定的α、β、γ条件可得0≤α+min{β,γ}≤α+β≤1-β和0≤α+min{β,γ}≤α+γ≤1-γ, 因此β≤1和γ≤1.

如果α+β=0, 则根据式(4)知对任何n=0,1,2,…, 有

(5)

整理式(5)并利用定义1中的条件(iii)可得

(6)

(8)

(9)

假设{xn}不是乘积柯西序列,则存在实数ε(ε>1)使得对任意自然数k存在两个自然数m(k)和n(k)(m(k)>n(k))， 且满足

d(xm(k),xn(k))>ε,d(xm(k) -1,xn(k))≤ε.

(10)

由式(10)和定义1中的条件(iii)可得ε

(11)

再根据定义1中的条件(iii)可得：

(12)

(13)

在式(12)和式(13)的两边取k→∞, 则根据u=1和式(11)可得：

(14)

(15)

由式(4)知对任何的k=0,1,2,…, 有

整理上式并取n→∞可得：

注1 在定理3中要求α、 β、 γ满足α,β,γ≥0， α+2max{β,γ}<1， 但在定理4中利用连续函数限制压缩条件后就可将定理3中的α、 β、γ的条件放宽至α+min{β,γ}≥0， α+2max{β,γ}≤1， 且不要求α、 β、 γ一定是非负的.因此定理4较好地推广和改进了定理3， 特别是把“小于1”放宽至“小于等于1”.