混合噪声条件下的目标被动定位算法

陈林秀， 郝明瑞， 赵佳佳

(复杂系统控制与智能协同技术重点实验室， 北京 100074)

0 引言

基于只测角体制的飞行器以其导引头作用距离远、不主动发射电磁波、隐蔽性好等优点，已成为打击雷达等辐射源目标的主战武器。为应对目标雷达突然关机，飞行器制导系统设计的一个关键问题就是如何通过导引头探测到的信息对目标进行被动定位，即基于角度观测信号的被动定位滤波算法设计。

现有的目标定位滤波算法大多采用卡尔曼滤波(KF)算法，基本KF算法是一种线性最小方差估计。但是在被动定位系统中，不论在直角坐标系中还是极坐标系中，目标定位系统都是一个强非线性系统。近年来出现了众多关于非线性滤波的理论和方法，其中Arasaratnam等[1]于2009年提出的容积卡尔曼滤波(CKF)算法在滤波精度、算法稳定性和计算量等方面表现较为突出。研究成果表明该算法在处理高维滤波问题时，可获得比扩展卡尔曼滤波(EKF)、中心差分卡尔曼滤波(CDKF)、无迹卡尔曼滤波(UKF)等非线性估计算法更高的滤波精度、稳定性和相对低的计算复杂度[2-5]。然而，CKF算法和基本线性滤波方法一样，均假定过程噪声及观测噪声为高斯白噪声，实际上在被动定位应用中，过程噪声来源于运动学建模，其建模准确度较高；而观测噪声受电磁波传播空间、目标所处环境、电磁干扰以及天线罩等因素的影响，往往是含有时变有色噪声、跳变噪声等多种特性的混合噪声，在此情况下，若仍将其当作白噪声对待则可能会导致滤波精度下降甚至滤波器发散[6-10]。文献[11]推导了有色噪声条件下的EKF算法，该算法结构简单，但存在复杂的雅克比矩阵计算问题，且滤波精度不高，受参数影响较大。文献[12]利用历元噪声的相关性特征构建多步相关的噪声协方差阵，通过线性变换得到了改进的状态协方差和增益矩阵。该算法能减弱有色噪声对系统的扰动，但是过程噪声与观测噪声之间的协方差计算相当复杂，当考虑相关步数增多时算法计算量急剧增大。目前，被动定位背景下的滤波估计算法大多基于EKF或UKF滤波算法，且对传感器观测噪声的适应性还有待提升。

本文以基本CKF算法为基础，在建立的被动定位滤波模型基础上，探索能够适应混合噪声的CKF算法，以期进一步提升算法对混合观测噪声的适应性和鲁棒性。

1 被动定位问题的滤波模型

1.1 状态方程的建立

选取制导坐标系Oxyz下飞行器- 目标相对位置矢量、相对速度矢量、目标加速度矢量在其3个轴上的投影分量(Δx、Δy、Δz)、(Δvx、Δvy、Δvz)、(atx、aty、atz)作为状态向量，表示为

X=[ΔxΔyΔzΔvxΔvyΔvzatxatyatz]T，

式中：X表示系统的状态向量；下标t表示目标。则系统状态方程表示为

(1)

式中：A为状态的转移矩阵；G为飞行器加速度分配矩阵；U表示飞行器加速度矢量在制导坐标系3个轴上的分量，U=[axayaz]T；Γ为系统过程噪声分配矩阵；W表示过程噪声，W=[wxwywz]T为零均值高斯分布白噪声向量，且各分量间彼此相互独立，wx、wy、wz分别为制导坐标系3个轴上的过程噪声。

考虑舰船目标的弱机动性，本文中目标模型采用Singer加速度模型[13]，用α表示目标机动时间常数的倒数，即目标机动频率。则相关矩阵表示为

(2)

G=[03×3-I3×303×3]T，

(3)

Γ=[03×303×3I3×3]T.

(4)

离散化后的状态方程为

xk=Fk|k-1xk-1+Bk-1uk-1+Γk|k-1Wk-1，

(5)

式中：xk表示系统在离散时间k的状态向量，k表示离散的时间量；Fk|k-1表示离散时间k-1到k的状态转移矩阵，

(6)

T为滤波周期即仿真步长；Bk-1表示离散时间k-1的飞行器加速度分配矩阵，

(7)

uk-1表示离散时间k-1的飞行器加速度矢量在制导坐标系3个轴上的分量；Γk|k-1表示离散时间k-1到k的系统过程噪声分配矩阵，

(8)

1.2 观测方程的建立

被动传感器可获得目标视线高低角qf和视线方位角qh，如图1所示。

图1 被动传感器所测信息Fig.1 Information measured by passive sensor

qf、qh的理论计算公式为

(9)

式中：hf(x)为计算视线高低角理论值的非线性函数；hh(x)为计算视线方位角理论值的非线性函数。

考虑传感器的观测误差，可建立如下观测方程：

(10)

2 非线性滤波被动定位算法

2.1 基本CKF算法

基本CKF算法是依据贝叶斯滤波器的递推过程，通过假设各概率密度函数均服从高斯分布获得高斯域的贝叶斯滤波框架，在高斯滤波框架上应用三度容积规则近似得到的，文献[1]给出了其具体推导过程。此处，结合第1节建立的被动滤波定位模型，给出被动跟踪问题中的基本CKF过程。

考虑如(5)式和(10)式建立的非线性随机系统，写成一般形式如(11)式所示：

(11)

在此条件下，CKF算法的计算流程如下：

2) 时间更新：

k|k-1=Fk|k-1k-1+Bk-1uk-1，

(12)

(13)

3) 观测更新：

①计算Cubature点：

(14)

(15)

②传播Cubature点：

Zi,k|k-1=h(Xi,k|k-1)，

(16)

(17)

互协方差阵Pxz,k|k-1和观测预测协方差阵Pzz,k|k-1为

(18)

(19)

于是，可以得到观测矩阵为

Hk=((Pk|k-1)-1Pxz,k|k-1)T，

(20)

滤波增益为

Kk=Pxz,k|k-1(Pzz,k|k-1)-1，

(21)

以及后验状态估计值及其协方差阵为

k=k|k-1+Kk(zk-k|k-1)，

(22)

由以上滤波过程可知，获得Pxz,k|k-1之后，可结合Pk|k-1计算得到观测矩阵Hk，于是非线性系统中的滤波问题可转化至线性系统中进行分析和处理。

2.2 有色噪声条件下的CKF算法

2.2.1 建立有色噪声模型

传感器观测噪声中，有色随机噪声为主要分布噪声，因此本节假设观测噪声vk为有色随机噪声特征，在基本CKF算法的基础上推导得到有色噪声条件下的容积卡尔曼滤波(CKF-CMN)算法。传感器观测噪声模型中对有色噪声的描述为：正态分布的白噪声通过时间常数为τ的1阶滤波器后的输出(标准差为σ)表示为[σ,τ]。根据欧拉法求解微分方程可以获得有色噪声序列，同时可以将有色噪声写成如下形式：

vk=(1-T/τ)·vk-1+(T/τ)·rk，

(23)

式中：rk表示1阶滤波器输入的正态分布白噪声，rk的方差为Rr.将(23)式写成(24)式所示的1阶马尔可夫形式：

vk=φvk-1+ξk，

(24)

式中：φ=1-T/τ；ξk=(T/τ)·rk，ξk的方差Rk=(T/τ)2·Rr.

2.2.2 有色噪声的白化

考虑与(11)式等价的线性系统：

(25)

式中：wk-1与(11)式中的Γk|k-1Wk-1等价，vk=φvk-1+ξk.为了使CKF算法在有色观测噪声条件下仍然保持优良的滤波性能，首先对有色噪声进行白化，构造新的观测量zk-φzk-1，经等价替换及整理得

zk-φzk-1=(HkFk|k-1-φHk-1)xk-1+
HkBk-1uk-1+Hkwk-1+ξk.

(26)

令

(27)

(28)

(29)

则观测方程可以改写为

(30)

(31)

(32)

(33)

通过以上分析可知，将有色噪声白化后，系统的观测噪声模型便符合基本KF器的观测噪声为白噪声这一假设，然而与基本KF假设不同的是，此时观测噪声和系统噪声之间存在一定的相关性。下面考虑采用待定系数去相关法对上述相关性进行消除。

2.2.3 基于待定系数法的噪声去相关方法

完成有色观测噪声白色化后，由(30)式可将(25)式等效为(34)式所示的一般形式：

(34)

(34)式中的状态方程改写为

(35)

(36)

(37)

选择

(38)

(39)

(40)

综上所述，可得到CKF-CMN算法计算过程如下：

3)根据(23)式～(40)式，构造新的观测方程和状态方程，按以下步骤对滤波过程进行更新：

滤波增益：

(41)

状态估计及其协方差：

(42)

2.3 ACKF算法

针对混合观测噪声中的跳变噪声以及有色噪声可能时变给CKF-CMN算法带来的影响，在CKF-CMN算法基础上设计自适应滤波算法，实时对混合噪声的噪声协方差进行估计，并对观测噪声中的有害信息进行剔除。

2.3.1 对噪声协方差的估计

(43)

(44)

(45)

2.3.2 有害观测信息的剔除

H0：观测信息有效；

H1：观测信息无效，剔除。

采用检验统计量Dk

(46)

3 数学仿真

图2 飞行器与目标运动轨迹Fig.2 Moving trajectories of aircraft and target

本文仿真时间为100 s，仿真步长为0.01 s，蒙特卡洛仿真次数N为50次。假设被动传感器测角噪声为时变有色噪声和跳变噪声的混合噪声。对于有色噪声[σ,τ](参考2.2节，σ、τ分别表示其标准差和时间常数)。某次仿真中其变化特性如图3所示，图中Tc表示噪声方差发生变化的时刻，在Tc=50 s处，有色噪声特性由[0.5°，0.02 s]变为[1.0°，0.02 s]，跳变噪声幅值为1.5°，周期为5 s，某次仿真中其变化特性如图4所示，二者的混合噪声如图5所示。

图3 时变有色噪声Fig.3 Time-varying colored noise

图4 跳变噪声Fig.4 Jumping noise

图5 被动传感器观测噪声随时间变化Fig.5 Passive sensor observation noise vs. time

在观测噪声为混合噪声条件下采用基本CKF、CKF-CMN以及ACKF算法在同一条件下进行对比仿真，结果如图6～图10所示，图中纵轴为目标位置分量的均方根误差(RMSE)，即x轴、y轴和z轴方向目标位置真实值和估计值的均方根误差(RMSEx、RMSEy、RMSEz)，RMSEx、RMSEy、RMSEz根据(47)式计算得到：

图6 x轴方向被动定位估计误差Fig.6 Estimated errors of passive positioning in x direction

图10 z轴方向被动定位估计误差(放大图)Fig.10 Estimated errors of passive positioning in z direction (enlarged view)

(47)

图7 x轴方向被动定位估计误差(放大图)Fig.7 Estimated errors of passive positioning in x direction (enlarged view)

图8 y轴方向被动定位估计误差Fig.8 Estimated errors of passive positioning in y direction

图9 z轴方向被动定位估计误差Fig.9 Estimated errors of passive positioning in z direction

取图中第1～100 s的数据进行计算，得到x轴、y轴、z轴3个方向RMSE的平均值如表1所示。

由图6～图10可知：当被动定位系统的观测数据中存在时变有色噪声及跳变噪声时，基本KF算法的精度和适用性受到明显制约，难以实现高精度的目标位置估计。在观测量包含混合噪声时，3种被动定位算法的精度依次为CKF算法

表1 3种滤波定位算法精度分析

4 结论

本文从混合观测噪声条件下的被动定位精度和滤波稳定性提升需求出发，在分析CKF算法的基础上，通过重新构建观测方程和状态方程提高所建立的滤波器对混合噪声的适应性。得出主要结论如下：

1)针对混合噪声中的有色噪声使得基本CKF算法定位精度下降的问题，设计了CKF-CMN算法。通过观测重构、待定系数去相关的思想，构建新的滤波状态方程和观测方程，将有色噪声转变为白噪声，使得滤波估计精度得到提升。

2)针对有色噪声的时变性以及跳变噪声使得滤波性能受损的问题，在CKF-CMN算法的基础上设计了ACKF算法，采用实时噪声方差估计和有害信息剔除法使得被动定位精度得到进一步提升。

3)50次蒙特卡洛仿真实验结果表明，ACKF算法的被动滤波定位精度得到提升且鲁棒性更好，基本CKF、CKF-CMN、ACKF 3种算法的定位精度依次为CKF算法