基于Kriging 算法的压气机健康参数主从式插值建模

曾 力，陈仁祥，董绍江

（重庆交通大学机电与车辆工程学院，重庆 400074）

研究航空燃气轮机建模理论对于其性能分析与飞控系统的设计改进具有重要意义.压气机是燃气轮机的主要气路部件，通过对空气压缩做功确保其在燃烧室能够与燃油充分燃烧.压气机的流量系数是表征压气机流通能力的重要指标，同时也是进行燃气轮机数字化建模的重要参数.通常情况下，流量系数的获取首先需要进行燃气轮机试车，然后基于试车数据构造插值模型，利用该模型计算出满足燃气轮机建模所需的流量系数.目前，传统的插值模型在进行流量参数扩展时普遍存在插值精度较低的问题[1-3].

为了提高压气机流量系数的计算精度，涂环等[4]提出了基于Kriging 算法的压气机流量特性预测模型，并讨论了模型中相关参数的初值以及模型本身对预测结果的影响.尹大伟等[5]引入元建模的原理，通过定义原模型的输入输出维数，利用Kriging算法建立了流量和效率参数的代理模型，并基于此模型对其他转速下的特性数据进行估计.赵勇等[6]针对Kriging 模型对初始参数取值敏感的特点提出利用量子粒子群优化算法对原始Kriging 模型中相关参数进行寻优，建立了优化后的Kriging 代理模型.Gholamrezaei 等[7]提出基于有限的实验样本，利用前馈神经网络对压气机的特性数据进行重构.网络的权重和偏差由带贝叶斯正则化的Levenberg-Marquardt 算法进行调节.Marek 等[8]提出利用两个变量逼近特性数据曲线，提出了针对特性数据在其变化范围内进行建模的可能性，并给出了精度的估算办法.上述方法在计算压气机流量系数时具有一定的精度，但这些方法并未考虑不同换算转速下流量系数的相似性，因此，流量系数的计算精度具有进一步提高的可能性.

为了提高压气机流量系数的计算精度，本文建立了基于Kriging 算法的主从式插值模型.首先利用试车数据建立增压比、换算转速、流量系数的多维样本向量，通过该向量来表征不同换算转速下流量系数的相似性，其次分别利用Kriging 算法构造面向流量系数的多维向量插值模型及单点插值模型，最后通过实际样本数据进行了仿真验证.

1 Kriging 插值模型

Kriging 算法是通过对样本赋予一定的权重，通过加权线性组合的办法求出待计算目标处的具体值，且满足估计方差最小.其建模过程如下：

步骤1系统的响应值与输入变量可表示为[9]

式中：F(x,β)=fT(x)β，为系统回归模型集合，β为模型系数矩阵，且β=[β1β2β3··· βq]p×q，f(x)为p阶多项式的回归模型，通常阶次可设定为1.且f(x)=[f1(x)f2(x)f3(x) ···fq(x)]Tz(x)；为随机函数，且满足式（2）的条件.

式中：E(z(x))、分别为随机函数的均值与方差；xi、xj为两个任意输入样本；θ 为样本点相关性的衰减程度，θ=〈xi,xj〉/(|xi||xj|)；r为样本点与估值目标点之间的相关性；矩阵R的元素反应了样本点之间的空间关联程度，可用核函数来表征，常用的核函数包括高斯核函数、指数函数、线性函数等，本文采用高斯函数[10-12]，如式（3）.

2 压气机特性数据主从式建模

2.1 样本数据预处理

对于某给定的换算转速ni，压气机的流量系数和增压比存在一一对应的关系，即有{（ωi1,πi1）,（ωi2,πi2）,···,(ωi j,πij),···,(ωik,πik)}.其中：ωi j、πij分别为对应于ni的第j个流量系数和增压比，i为换算转速的编号，j=1，2，···，k，k为给定换算转速下流量系数与增压比的数量.为了后面的计算方便，限定所有换算转速下，效率系数和流量系数的样本数量相同.

利用Kriging 算法建模首先需要定义输入、输出样本及其维度.根据压气机流量系数分布特点，定义输入输出样本向量为

需要注意的是，此处定义的参数为对应于换算转速、流量系数、增压比真实值的归一化数值.

2.2 健康参数主从式插值建模

传统的基于Kriging 算法的压气机流量系数插值是将所有样本点作为输入，构造面向单个样本的插值模型.这种传统的建模方式精度较低，而且计算效率低下.文章提出的主从式建模思想是根据压气机流量系数的空间分布相关性，定义固定转速下的样本维度，建立多维输入输出主模型.利用主模型可估计出目标转速下的包含目标点的估值向量.然后利用估值向量建立针对单个目标点的从模型，最后实现目标点的计算.图1 和图2 描述了传统Kriging算法建模和主从式Kriging 建模法的处理过程.其中：分别为第i个换算转速以及对应于该换算转速的第j个增压比和流量系数.

图1 传统Kriging 插值估计法Fig.1 Traditional Kriging interpolation estimation method

图2 主从式Kriging 插值估计法Fig.2 Master-slave Kriging interpolation estimation method

以上为主模型的计算过程.利用主模型的计算结果作为样本建立从模型，并针对待估计参数进行计算.这里首先定义从模型的输入输出样本，有

与主模型的多维输入输出形式不同，从模型是针对具体目标参数进行插值计算，从模型的输入样本由组成二维向量，即xi，输出样本为ωi.

3 仿真验证

某型燃气轮机压气机流量系数15 组，为了验证论文提出的主从式建模方法的精度，以12 组数据作为样本，剩下3 组作为验证数据，分别利用传统Kriging插值模型和主从式模型进行流量系数计算[13-16].待估计流量系数对应的换算转速及增压比如下：

表1 待估计流量系数Tab.1 Flow coefficients to be estimated

图3 为利用主从式模型估算流量系数向量值的示意，表2 为插值精度比较，且所有数据均以归一化处理.

图3 基于主从式模型的流量系数向量插值Fig.3 Calculation of flow coefficients vector based on the Master-slave model

从图3 可以看出：相比传统模型的估值精度，代表主从式模型估计值的红色点更靠近蓝色曲线.

从表2 可以看出：传统模型在转速为0.3315和0.8478 时精度较好，而在转速为1.1268 时，误差有所增大.导致这种结果是由于传统模型在计算过程中样本矩阵求逆时存在奇异值，利用伪逆矩阵代替逆矩阵时引入的误差.另外，Kriging 模型计算时为了保证高精度，要求样本点具有代表性，采样时应尽量反应数据分布特性，传统模型的建模难以有效提取数据分布特征.而主从式模型将样本数据映射到高维空间，通过高维度样本插值得到对应目标转速下的流量系数向量值，然后以向量估计值作为样本点，构造针对目标点的插值模型.这种处理方式淡化了样本数据分布过于集中带来的影响.

表2 流量系数精度比较Tab.2 Accuracy comparison of flow coefficients

接下来将15 组数据样本中换算转速取值为0.2182、0.9018、1.0620 对应的流量系数作为待估计点，其他样本作为模型输入参数，估值结果如图4 所示，流量系数目标点估值见表3.

由图4 和表3 可以看出：在单点插值的情况，主从模型插值精度高于传统模型.

表3 流量系数目标点估值Tab.3 Estimation of target point of flow coefficients

图4 基于主从式模型的流量系数单点插值Fig.4 Flow coefficient calculation of single-points based on the Master-slave model

4 结 论

为了提高航空燃气轮机数字模型的建模精度，建立一种基于Kriging 算法的面向压气机流量系数的主从式插值模型.首先构造包含换算转速、增压比、流量系数在内的多维样本向量；其次基于Kriging算法建立适用于向量形式的主插值模型；最后利用主插值模型的计算结果作为样本，构造目标点插值模型.通过仿真表明，该建模方式有效可行，且具有以下特点：

1）针对多目标点（向量插值）或单目标点进行插值计算时具有较高的精度，且精度明显高于传统插值模型.

2）可以实现多维向量插值计算，计算效率明显高于传统模型.

3）利用换算转速、增压比、流量系数构造的多维样本向量具有表征参数相似性的优点.