“方法多样，沟通联系，实现统一”

【摘要】五年级开启数论的学习，学生再认识“整数”，是从抽象的概念的学习入手，通过对概念的学习来提升学生的抽象逻辑思维、发展学生的数感。笔者通过对《2、5倍数特征》一课的探索与实践，依托于对游戏人数的探讨为贯穿整节课的线索，结合乘法拆数、直观点子图等多种方法来引领学生走进数的内部特征。并借助对多种方法的沟通和比较，尝试变概念学习的单调被动为主动建构，培养学生的抽象思维能力、渗透推理等逻辑思维方法，“概念学习”、“规律探索”、“方法沟通”，三位一体的统一，从而发展学生的数感。并在探索课堂教学设计改进的同时，提出教学建议。

【关键词】因数;倍数;内部结构

一、问题提出

数学的学习启蒙，大多从识数、计数开始，纵观国内各版本教材设计，均在五年级郑重安排了整数的一系列概念的学习。那么，在小学五年级，学生的抽象思维开始发展的阶段，再次学习整数，学习数与数之间因数倍数关系，学习整数的各种特征以及分类（奇数、偶数、质数、合数等），意义和价值为何呢？对学生的数理逻辑思维发展、数感的提升等的教育意义何在呢？

自古以来，人们研究的对象只是整数的个别特征，至于它的更加内在的本性，则看作是理所当然的事情，不予追究。通过实践与探索，笔者认为，本单元的学习，在探索整数的各种概念、特征的过程中，不但可以给予学生思考和探索整数数学问题的新的思维方法和视角，更可以通过一系列的学习内容，以“走进数的内部结构”为学习支架，实现数学学习的概念、规律、方法三位一体的统一，从而发展学生的数感。

因数、倍数这两个概念的学习，是在学生对数有一定认识和学习的基础之上，进一步对数与数之间的关系展开研究。通过比较不同版本教材，笔者发现，在这一单元内容安排上，不同版本教材的结构相似，但正是因数、倍数的引出视角的不同，直接影响整个单元的学习基调有所不同。

既有从除法角度定义因数、倍数，也有乘法角度来下定义，其中，北师大版教材在设计因数、倍数的内容上，认识的角度、工具更丰富，呈现了乘法算式结构来强调乘法思考方向的重要，并在开篇应用点子图摆方阵的方式来呈现一个抽象的数的具体形象。百数表是各个版本的教材中都通用的工具，且多个版本教材都通过学习2、5倍数的特征来引出因数、倍数的概念。值得一提的是，在进行2、5倍数特的设计上，北师大版教材不仅推出百数表这个研究工具，更强调使用乘法来解构一个数，即拆数的视角，突出强调了对数的内部结构的分析和解构，从而从丰富的视角来体会数与数之间的因数、倍數关系，建立数之间的联系。

二、推进教学、发展学生的数感的策略

基于以上的思考和分析，笔者认为，2、5倍数特征的学习，是拉开整个数论领域学习序幕、并产生观察新视角和思维新方法的关键，可以将2的倍数为主要研究和探索内容设计为一课时，充分从多角度发现2的倍数的特征，并比较不同方法的优势和特点，5的倍数的特征可顺势迁移，融合到复习内容中。由此，笔者认为，可以通过以下几个策略来开展2的倍数特征的教学、发展学生的数感，提升学生的抽象逻辑思维。

1.依托于游戏情境、以感性材料为基础，展开趣味盎然的探索活动。

五年级学生的思维水平处于过渡阶段，概念性知识的学习仍需要丰富可感的素材作支撑，游戏和情境的引入，可以对接生活中的真实经验，以激活学生创造性思维;其实，对于2的倍数，生活中是有各种各样的原型和应用的，渗透于日常生活的点滴之中，理解起来并不困难，例如对单双号的理解、纸巾包装等，但与孩子的生活最为密切、且最有兴趣且符合其天性的，应该是游戏活动，所以“两人三足”这样好玩又具有典型模型特征的游戏，可以支持课堂的主要环节推进，围绕参加游戏的人数问题，来设计活动：

环节（1）思考是否能够全部参加——判断是否为2的倍数，

环节（2）不能参加怎么办？——感受数的奇偶性;学生会发现可以加上一个人、也可以减去一个人，还可以减去或加上一组加一人、多组加一人……总之，就是可以加上或减去奇数，单个的点子（人）就会消失，留下的都是整组——2的倍数、偶数，所以奇数±奇数=偶数，同理，偶数±偶数一定是偶数，点子图可以支撑学生说理，并能够在头脑中直观成像。

环节（3）就让45个人参加，可以怎样调整规则——体会45的全部因数，三人四足、五人六足、15人16足、45人46足……即45也是这些书的因数，因为能拆成：45=3×3×5，所以3、5、9、15、45都是45的因数。

通过对玩“两人三足”游戏的讨论，学生们聚焦于参加游戏的总人数的问题。由生活常识和零散的数学经验能够判断出，全班45人玩游戏是否有剩余。看似日常且简单的问题，该如何解释呢？及时地反思，让学生开始从数学化的角度重新审视2的倍数的特征。借助点子图圈点、百数表圈数，再结合拆数（45=3×3×15）方法，发现倍数个位数字特征的同时，直观感悟若干个2的累加，由此走进了数字内部的结构，实现了数学概念、规律、方法的统一。在后续继续针对45人的讨论中，针对“不能全部参加怎么办”、“修改规则”等活动，鼓励学生进行反思和创造性尝试，而点子图不但成为学生说理的重要工具，还辅助学生进行了奇偶性的推理，体会了自然规律中的必然性，将思维推向深处，并为后续5、3的倍数的学习进行了铺垫。

两人三足游戏的情境引入，以及围绕游戏人数的几个问题的解决，既有趣又能激发学生的创造性思考。五年级学生的心理发展，正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，已经具有初步的抽象概括能力，但仍需要一定的感性材料和已有的经验作支撑，从而对所学知识的本质特征和内在联系进行抽象概括、对概念进行定义。而任何抽象化或形式化皆无助于学生抽象概括能力的培养，需要有这样的富有趣味且典型的材料为依托，激发学生学习积极性的同时，促进反思深度思考、激活创造性思维。

2.多样化的探索工具、多角度的研究方法，可贯穿与整个单元的学习，实现数学概念、规律、方法的统一。

因数与倍数单元概念多、知识抽象，是在前期整数学习的基础之上，从数与数之间的联系、数的特征等角度来进一步认识数的。

应用乘法来定义因数倍数，并将乘法的理解方式贯穿整个单元的研究始终，通过将一个数拆数——拆成若干个数相乘的形式（拆树根、分解质因数）来理解和体会、判断：一个数能拆出的所有因数、以及这些因数的乘积组合的结果，都是这个数的因数，这也是支撑学生学习本单元概念性知识的最本质的方法。

点子图可将抽象的数直观呈现出内部的结构，便于操作中体会倍数的特征，感受是否有余、以及余数特点，并可以在进行奇偶性的推理过程中，使用点子图进行说理，将几何直觉理性化。毕达哥拉斯：唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性。人在学习数学过程中，是对几何直观有直觉依赖的，依托于单元整体架构的背景，将点子图作为本单元的直观支撑工具，在第一课建立数与数之间的联系之后，进一步走进数的内部结构。

百数表是搭建数与数之间联系的关键工具，区别于之前对数的孤立的、片面的认识，经过本单元的学习，将数与数之间、一个数与其他更多数之间建立了联系，百数表将自然数列直观呈现，便于在学习抽象的概念的过程中，发现规律、感悟特征，简单且直接。

课堂实践过程中，在对游戏人数的讨论时，给学生提供了多样的研究工具——百数表和点子图，并沟通了除法、乘法的研究方法，呈现了不同的思考角度。百数表中的位置规律，凸显了2的倍数的外在特征，2的倍数特征的本质，并且时研究倍数的最基本的方法，直观的点子图可以通过序列、形状等多种方法来呈现抽象的数，使数变得直观且可操作，并支撑学生进行奇偶性的推理、猜测等思维活动;乘法拆数直观呈现了数的内部构成，除法的反推作用也可以通过计算和是否有余数来进行判断。这些直观工具和数学方法，可以应用并支撑整个单元的学习，无论是对某个数的倍数研究，抑或是寻找一个数的因数，判断是否为质数或合数，或研究两个数之间的关系等。并且，在学生在探索数的规律的活动中，多种工具和方法沟通，撬动了的思维，培养了学生的抽象思维能力，提升学生数感的同时，使粗糙常识和日常经验，在丰富和明确的基础之上，结构化、系统化、逻辑化，形成逻辑链条，并由学生主动建构为自身的数学知识。

3.经历精细的数学化，沟通内在联系，使知识结构化、系统化、逻辑化，发展抽象思维水平

数的学习和理解，离不开从数量和关系中抽象，五年级的学生，已经逐渐开始了对事物的本质特征或属性以及事物的内部联系和关系进行抽象概括的学习，且学生在日常生活中，积累不少“2的倍数”相关的常识和粗糙的经验，正需要经历精细的数学化的学习过程，澄清误区、明确概念，使使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来，形成完整的知识体系，形成逻辑关系结构，来提升抽象逻辑思维水平，同时发展数感。

从课前的调研能够看出，当问学生，“你知道哪些数是2的倍数？”100%的学生都认为自己知道什么是2的倍数，并且有近三分之一的学生写出：“2的倍数就是双数”、“偶数就是2的倍数”、2、4、6、8等双数……类似这样的结构性的语言。但是，已有的生活经验是不是就代表学生对2的倍数特征的认识很全面呢？有没有浮于表面、不深刻的地方呢？是否能够对一个数的内部结构有意识地进行分析呢？

再次对学生进行调研，“怎么判断一个数是不是2的倍数？”笔者发现，学生对于抽象的概念的认识，是由误区和局限的：学生更多是习惯性从除法（是否能整除）的角度来判断，虽然第一节课因数、倍数的学习中，下定义时呈现的是乘法关系，但反向判断是不是一个数的因数时，学生更习惯利用口算的除法来寻找其成对的另一个因数，自然更倾向于选择除法且没有余数来表达自己对2的倍数的看法，这样的认识是有局限的;并且，在学生的表达中，循环论证的表达方式非常多：偶数是2的倍数、奇数不是2的倍数……，占比44.4%，这当然更多源于生活中的日常经验。生活中虽然应用多但不够数学化，经验要想上升为知识，并能够进行辨析，就特别需要在课堂中通过许多可操作性、有思考空间的活动，来进行比较精细、明确的甄别，实现对概念的抽象概括。

基于此，笔者认为，教师在课堂实践中需要注意以下四个方面：

（1）通过对全班能够全部参加两人三足游戏活动的问题的探讨，依托于点子图、百数表、乘法、除法等多种工具，多方法、多角度的探索和感受2的倍数的特征。

（2）借助乘法的拆数，体会偶数和奇数的内部结构的不同，感受因数、倍数关系建立的最本质的核心——数的内部构成，从而走进数的内部世界，发展学生的数感。

（3）在接连解决游戏中有关人数的真实问题的过程中，进行不同方法之间的沟通，从而体会2的倍数的特征、学会数学概念，发展学生的数感。

（4）在连续不断的解决人数问题的思考中，感受数学学习的趣味性、挑战性，变枯燥的概念学习为好玩有趣的游戏探索，甄别了生活经验的误区和认识上肤浅，并能应用所学进行推理和辨析。

结语：尼寇马克曾说：“自然依据精巧的蓝图所安排的万物，不论是单独的还是整体的，都像是被按照数来创造一切的先知和理性所挑选出来并排列成序的，它们只由心灵来领会，因而是完全无形的;但是是真实的;的确，是真正真实的，永恒的。”[1]

“数”由于其应用的日常，其中的概念而更容易被理解，也更容易有误区。整数的一系列概念的学习和理解，离不开从数量关系中抽象概括的过程，但五年级学生的抽象概括水平还不高，需要依托于直观工具的支撑。

笔者通过同时兼顾趣味性和类似结构性的两人三足游戏的讨论，结合乘法拆数、直观点子图等解构数的内部结构，走进数的内部特征，并將多种方法进行沟通、比较;在接连解决趣味横生又挑战满满的游戏中人数的问题中，变概念学习的单调被动为有激情和主动建构，从而澄清误区、丰富学习视角，在探索数的规律的活动中，培养学生的抽象思维能力、渗透推理等逻辑思维方法;并由本课的学习奠定了整个单元的丰富方法、多角度思考的学习基调，激发了学生对其他整数的特征产生探索的兴趣，从而实现了概念学习、规律探索、方法沟通的三位一体的统一，从而发展学生的数感。

参考文献：

[1]（美）T.丹齐克著，苏仲湘（译）.数：科学的语言[M].上海教育出版社.2002年12月.p35-36.

作者简介：汪丹（1981.12.26），女，汉族，北京市人，北京市海淀区翠微小学，研究生学历，小学高级教师，研究方向：小学数学教学。