刍议学科融合理念下初中物理教学中数学思想的渗透

陈晨 郝四柱

摘 要：数学学科作为理科科学的基础，其中所蕴含的数学思想对培养学生的科学思维起到至关重要的作用.物理学科作为自然科学的基础，与数学有着千丝万缕的联系，很多物理规律的表达、定理定律的得出都需要借助相关的数学工具进行呈现.本文主要以四种数学思想为例，结合具体教学案例深度剖析初中物理课堂如何渗透数学思想，彰显学科融合特色，促进学生理科思维的提升.同时提出三点教学建议，为同行提供参考和借鉴.

关键词：学科融合;物理教学;数学思想

中图分类号：G633.7     文献标识码：B     文章编号：1008-4134（2021）20-0005-04

基金项目：江苏省教育科学“十三五”重点资助课题“基于项目学习理论的初中创客课程建设研究”（项目编号：E-a/2020/04）.

作者简介：陈晨（1990-），男，江苏淮安人，硕士，中学一级教师，研究方向：课程教材教法、考试研究;

郝四柱（1965-），男，江苏淮安人，本科，中学正高级教师，研究方向：课程教材教法.

1 初中物理教学中渗透数学思想的必要性分析

1.1 “学科融合”有助于学生核心素养的培养

近年来国家提出要培养学生的核心素养，在中学阶段各个学科都有各自的核心素养.如何让指向各学科核心素养的培养变得高效，学科融合是一种重要的途径.例如物理学科中提到要培养学生的科学探究素养，其中有很多方面在数学学科中也有所体现.在物理教学中渗透数学思想有利于学生更深层次地理解科学探究的实质和内涵，有效地促进学生核心素养的培养.

1.2 数学思想的渗透有助于物理教学的实施

物理学科是一门自然科学，主要研究物体的运动规律和相互作用，需要借助实验、推理等方式得出规律或结论.而在此过程中，需要借助数学工具呈现其过程，运用数学原理进行相关解释，通过数学符号描述现象背后的物理规律.例如法拉第提出用电场线来描述电场，虽然这一方法比较形象且容易理解，但终究还是需要运用麦克斯韦的电磁场方程组定量计算解决实际问题.中学阶段的物理内容是选择物理学中的一些基本概念、规律和方法，经过一系列的加工后呈现给学生.学生在学习过程中势必会用到一些数学知识.教师在教学过程中可以借助数学手段使得物理规律、定理变得更加简单、直观，使学生更容易理解和应用.

1.3 教学评价凸显数学思想的渗透

对于初中物理教学，中考的重要性不言而喻.近些年来各地中考试题，越来越呈现对使用数学方法的重视.试题中很多结果需要用数字、字母、公式等形式表示，有些问题需要借助数学中的常用方法进行解决.因此在课堂教学中渗透数学思想，既能够帮助学生理解物理概念和规律，同时又可以拓展学生解决物理问題的方法，提升解题能力.

2 例谈数学思想在物理教学中的渗透

2.1 善用“比值定义思想”建立物理概念

2.1.1 基本内涵

比值定义思想是指将两个量进行除法运算得到一个新的量，并且对这个新的量进行定义和理解.在物理学科中，通常会通过两个物理量的比值来定义一个新的物理量，并赋予它物理内涵，例如速度、压强、密度、功率等（见表1）.在渗透比值思想时，我们首先应该考虑比值定义的必要性和合理性，为什么需要比值定义，这样定义合理吗？

2.1.2 例谈“速度”概念的引入

这里笔者以速度的引入为例.在速度概念教学中，之所以提出速度的概念是因为我们需要解决一个问题——如何判断物体运动的快慢.不同的物体它们的运动快慢各不相同，那么如何比较不同物体运动快慢呢？学生会想到相同时间比路程，相同路程比时间.但接着一个问题随之而来——路程和时间都不相同时如何比较物体运动快慢？这就需要设置一个标准，选取相同的路程或者选取相同的时间比较另外一个物理量的大小，与之对应的数学处理手段就是两个量相除.解决了必要性问题之后就需要解决合理性问题，为什么速度最终的表达式是路程除以时间而不是时间除以路程.其实这两种处理方式从本质上来说都是一样的，但是时间与路程的比值越小运动得越快，不便于理解和应用，所以人们选择了现在的速度公式.

从上述分析中可以看出从数学的角度来看比值定义思想其实就是一个“归一化”的过程，只是物理中对“归一化”的理解是要建立比较标准，让任何事物都在统一的标准中进行比较，并且还要符合人们的认知，具有合理性.

2.2 巧用“图像思想”揭示物理规律

2.2.1 基本内涵

图像思想是通过作图寻找规律或者用图像中的信息来解决问题.其中，通过作出两个物理量的图像，根据图像的形状、单调性、特殊点等信息来寻找物理规律，揭示其中的物理原理.而通过图像中的信息解决问题主要体现在坐标图中，在坐标图中观察横纵坐标轴、图线特点以及图线上的特殊点（如交点、格点、拐点、端点等），结合具体的物理问题情境找出图中有用信息，从而解决问题.

2.2.2 例谈“欧姆定律”的规律研究

在“探究电流与电阻、电压的关系”实验时，通过控制变量法可以测出电流与电压、电流与电阻的若干组数据，在数据处理上很多教师会建立直角坐标系进行描点作图，根据图像的特点归纳总结得出结论.学生通过图像分析发现电流与电压图像是一条过原点的直线，进而可以得到电流与电压成正比，而电流与电阻的图像则是一条近似反比例曲线，可以得到电流与电阻成反比的关系（如图1、图2所示），通过“归一化”处理最后得到欧姆定律的公式.

如果教师教学到此为止，从达成度方面看教学目标已经完成，但从培养学生综合运用图像处理数据能力的方面看则显得美中不足，缺少深度思考.因此在探究电流与电阻关系时，教师可以在学生描点作图后提出问题，这些点一定在这条反比例曲线上吗？很多学生会陷入思考，可能不一定，那如何证明电流与电阻成反比呢？经过教师的引导，学生会想到可以作出电流与电阻倒数的图像，如果是一条过原点的直线（如图3所示），则说明电流与电阻的倒数成正比，那么与电阻就成反比.

学生经历这样的过程，更加深刻地理解正比和反比之间的关系.任意两个量对其中一个量取倒数，若倒数与另一个量成正比，则这两个量成反比.换言之，正比和反比并没有绝对的界限，反比只是正比的另一种呈现方式.教师在授课时逐步培养学生这种意识，通过这样一种转换，学生对图像法的理解会更加深刻，如何处理两个量之间的关系也更加熟练.

2.3 妙用“方程思想”突破物理问题

2.3.1 基本内涵

方程思想，顾名思义就是通过列方程（组）求解相关物理量.在物理问题中，不同问题所需要的方程类型也各不相同，例如一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程等.无论哪种类型的方程，都需要学生能够找到等量关系，进而列出方程进行求解.其过程也包含着学生对问题中各个物理量之间关系的理解.对于初中生而言，如何在众多变量中寻找等量关系，这是解决问题的关键.

2.3.2 例谈电路问题的方程思想

电学中经常会遇到动态电路问题，其中有一种情况，即通过电阻大小的变化而引起的其他电学量的变化，从而带来电路的整体变化.在分析过程中，由于涉及的物理量、物理规律较多，学生对其中的逻辑关系和各个物理量之间的关联并不十分清晰.因此在解决这类问题时需要抓住“不变量”进行分析.

笔者以“2020年南京中考第12题”为例：如图4所示，电源电压不变，R1为定值电阻，R2为滑动变阻器.闭合开关S，R2的滑片P在某一端点时，两表的示数分别为0.2A和3V;移动滑片P到某位置的过程中，两表的示数分别变化了0.3A和1.5V.下列说法正确的是

A.电源电压为4.5V

B.R2的最大阻值为20Ω

C.电路消耗的总功率最小时，R1与R2接入电路的阻值之比为3∶1

D.电流表示数为0.4A时，R1与R2消耗的功率之比为1∶1

分析电路结构可知这是一个串联电路，电压表测量R2两端电压.若滑片从左往右移动，则R2电阻变小，电流表示数变大，电压表示数变小.在本题中，电源电压和定值电阻阻值是恒定不变的，再根据题目中给出的条件以及串联电路的欧姆定律，列方程求解.根据电流大小可以判断滑片在某一端点即为最左端，列出此时的电源电压关于R1的方程，再列出在某一位置时的方程，如下式：

U总=0.2A·R1+3V;U总=0.5A·R1+1.5V

根据上述两个式子求解得到电源电压和R1的阻值，然后再求出其他物理量完成该问题.从数学的角度来看这是一个二元一次方程组，求解起来并不困难，但是如何找到“不变量”，列出这两个等式对学生来说具有挑战性.一般对于电学问题，我们要牢牢抓住电源电压和定值电阻阻值不变这两个量进行列式求解.因此教师在教学中需要不断渗透数学思想，提高学生知识迁移的能力.

2.4 活用“函数思想”拓展物理思维

2.4.1 基本内涵

函数思想需要学生建立两个物理量之间的关系，写出函数表达式，根据表达式分析物理量的变化情况，从而解决问题.在初中阶段，通常只涉及一个自变量对应一个因变量的情况，这就要求学生在解决物理问题中，确定因变量，同时寻找与之相关的自变量，根据条件写出函数表达式，分析两个物理量的定量关系.

2.4.2 例谈极值问题的函数思想

笔者以“电功率的极值问题”为例，问题如下：如图5所示，电源电压保持6V不变，R1是阻值为10Ω定值电阻，R2是最大阻值为50Ω的滑动变阻器.求：滑片从最左端移动到最右端的过程中，滑动变阻器的最大功率.

对于这个问题，我们可以将滑动变阻器电功率作为因变量，选取电路中电流作为自变量，根据欧姆定律和电功率公式可以得到：P=UI-I2R1，其中U=6V，R1=10Ω，代入得到表达式：P=-10I2+6I.这是一个P关于I的二次函数，通过“配方法”可知当I=0.3A时，P有最大值.通过进一步分析函数图像，还可以得出当I在0-0.3A范圍内时，P逐渐变大，当I在0.3-0.6A范围内时，P逐渐变小.

本题除了以电流为自变量以外，还可以以滑动变阻器阻值为自变量，根据欧姆定律和电功率公式可以得到：P=U2R2+R21R2+2R1，其中U=6V，R1=10Ω，代入得到表达式：P=36R2+100R2+20.这是个复合函数，分母上是“对勾函数”，有最小值，所以整个分式有最大值.当然通过“对勾函数”的图像也可以分析P的变化情况.

虽然两种方法选取的自变量不同，但最后还是殊途同归，求出滑动变阻器电功率的最大值.学生无论选取电流还是电阻作为自变量，都需要找到与滑动变阻器电功率的函数关系，写出表达式.而在这个过程中学生最难解决的就是表达式`中如何只有两个变量，而其他都是定值（常数），这需要通过分析各个物理量之间的关系，根据规律公式转换带入形成最终的表达式.通过教师逐渐渗透函数思想的教学过程，培养学生的物理思维和数学逻辑，从而提升自己的科学思维能力.

3 启示与教学建议

3.1 打破思维定势，注重学科渗透

在物理教学中，教师往往更多地关注物理学科本身，忽视其他相关的学科知识，容易形成思维定势.因此在解决问题时，教师不仅要重视对物理过程的把握，还要根据题目条件巧用数学方法进行问题的解决，发散学生的思维，促进学科融合.

例如2018年苏州中考最后一题最后一问，题目如下：学过透镜知识后，小明实验小组在光学实验室（暗室）想对学过的知识进行深入研究，可用器材有：光源S（视为点光源）、圆形凸透镜（直径为D）、光具座、光屏（足够大）.经讨论他们决定先从测凸透镜的焦距开始.

在移动光屏的过程中，小明发现在光屏上光斑外侧还有一个暗环，他猜想可能是凸透镜的边框造成的.于是他拆除边框直接将凸透镜固定在光具座上，进行实验验证，发现暗环仍然存在.暗环是如何形成的？ 若光源S在左焦点上，光屏在右焦点处，如图6所示，请你算出此时暗环的面积.

本题来源于实验，从光的传播角度来看暗环的形成主要是由于光沿直线传播和经凸透镜折射后在光屏上形成的无影区，如图7所示.学生知道成因之后，就需要进行暗环面积的求解，这里要用到数学空间几何及面积计算的相关知识.教师应启发学生发挥空间想象能力，在三维空间中思考该问题，将其绕光屏所在平面逆时针旋转90°，画出其主视图，如图8所示.学生通过画图可知暗环即圆环面积，通过数学公式及图形的相似比例算出大小圆的面积从而得到圆环面积.

3.2 打好数学基础，重视方法内涵

对于数学的学习，不能仅局限在数学学科教学中，更要体现在物理教学中，教师在授课时要不断渗透数学思想，甚至要帮助学生学习、理解与物理相关的数学知识，从而理解各种数学思想方法的内涵.例如在选择两个物理量关系的图像问题时，学生通过定性分析判断两个量的图像，而不去考虑图线的形状和所在区间，更不会想到通过函数解析式分析图线.

例如2019年南通中考选择题第12题：如图9所示，电源为恒功率电源，工作时输出的总功率大小恒定，R1为定值电阻.移动滑动变阻器R2的滑片P，下列表示通过R1的电流I1，通过R2的电流I2随电流表示数的倒数变化的关系图线（如图10所示），可能正确的是

学生遇到这类问题通常都会定性地分析两个量的变化关系，然后选择较为接近的选项.而遇到上边的问题时，往往会手足无措，无从下手.要确定两个物理量的图像关系，必须要写出这两个物理量的函数表达式，通过比对函数图像解决问题.上述图中要分析三个电流之间的图像关系，就必须找出两个物理量的函数关系.以I1和1/I的关系为例，输出总功率不变，则有P总=U总I，再根据并联电路欧姆定律可知，I1=U总R1=P总R1I，I2=I-I1=I-P总R1I.根据函数解析式可知I1和1/I成正比，I2和1/I是一個复合函数，所以答案选择B.通过函数表达式的方式让学生一目了然，同时更加深刻地理解各个物理量之间的关系.

3.3 打通内在逻辑，学会通式通解

物理和数学的学科融合绝对不仅仅是数学知识和方法的渗透，更包括数学思想在物理问题中的渗透，对于典型物理问题我们需要打通内部逻辑结构，提炼问题的本源和实质，并通过数学语言进行呈现，从而使问题简单明了，更利于问题的解决和学生物理思维的培养.

例如“关于动态电路改进方法”的问题，如图11所示是某压力测力计的电路原理示意图.图中电源电压为7.5V并保持不变;定值电阻R0的规格是“400Ω 15mA”，起保护电路的作用;G是由灵敏电流表改装成的指针式测力显示器（电阻忽略不计）;R是一种新型电子元件.在压力不超过600N的前提下，其阻值随压力大小的变化规律如表2中数据所示.若要增大该测力计的量程，请说出两种改进方法.

当压力变大时，电阻R变小，电路中电流增大，当电流等于15mA时电流达到最大值，由于每两个物理量之间都是单调变化，因此当电流等于15mA时压力存在最大值.要求增大量程，即压力变大，此时R变小但电流仍为15mA，因此可以增大R0阻值或减小电源电压.两种方法都是针对电路中的恒量（电源电压和定值电阻）进行改进，因此教师可以引导学生列出电源电压方程即：U总=I0（R+R0），其中I0为15mA，压力变大即R变小，若要等式恒成立，可增大R0阻值或减小电源电压.学生通过这样的分析能够进一步理解题目的本质，在变化中寻找不变量，通过方程进行呈现，从而促进学生物理思维的提升.

4 结语

数学作为理科的基础学科，而物理作为自然科学的基础学科，两者本来就紧密相连，不可分割.在基础教育阶段，两门学科更是相互融合，既有物理问题中的数学思想，又有数学问题中的物理情境.因此对于学生而言，将两门学科有机融合，对培养其理科思维至关重要.我们在教学中也要不断渗透融合的思想，从而实现思维通透、全面发展的教育理念.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育物理课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]刘汉朋.基于原始物理问题的中考试题设计[J].物理教师，2021，42（01）：49-50+54.

[3]邢红军，蔡晓华.初中生科学推理能力与原始问题解决能力的比较研究[J].物理教师，2017，38（07）：35-40.

[4]李亚子.数学知识在初中物理习题教学中的应用[J].数理化学习（初中版），2020（11）：51-52+54.

[5]谢军.熟悉数学知识 服务物理课堂 提升学生能力[J].中学物理，2015，33（11）：59-61.

（收稿日期：2021-07-08）