随机环境中加权分枝过程的Lp-收敛

彭点江 ,陈晔

(1.长沙理工大学 数学与统计学院,湖南 长沙,410114;2.湖南文理学院 数理学院,湖南 常德,415000)

Rosler[1]于1993 年首次引入了加权分枝过程,并给出其规范化过程(Wn)的几乎必然收敛条件。2002年Rosler[2]等人证明了(Wn)L1-收敛。2004 年Kuhlbusch[3]首次在加权分枝过程[1]中引入随机环境,证明了其规范化过程(Wn)收敛到一非负随机变量W,并给出W非退化的等价条件。2017 年,Yingqiu Li[4]等人给出极限随机变量的矩和调和矩的存在条件。2014 年,Chunmao Huang[5]等人在研究了随机环境中上临界分枝过程,给出其规范化过程(Wn)Lp-收敛性。

本文主要将文献[5]中(Wn)Lp-收敛的2 个充要条件和1 个充分条件,推广到随机环境加权分枝过程模型,并证明当环境是独立同分布时,4 个条件等价。这一推广对研究随机环中带迁入加权分枝过程的规范化过程Lp-收敛及其Lp-收敛速率具有重要参考价值。

1 模型描述

为在随机环境分枝模型中研究Lp-收敛,先给出如下Lp-收敛的定义。

定义1 对于p∈ (0,∞),令Lp=L p(Ω,Rd),若随机过程(Xn)及其极限X取值于Lp,有

则称过程(Xn)以Lp-(或以p阶矩)收敛到X。

且在Pξ(对每一个ξ)下和P下是一个非负鞅(也称为随机环境下的Mandelbrot 鞅[6]),因此由鞅收敛性[7]及Fatou 引理,极限

几乎必然存在(a.s.)且EW≤ 1。

2 主要结果及其证明

先给出了(Wn)在Pξ下Lp-收敛的判断依据。

证明条件“(2)⇒(3)⇒(4)”是显然的(在许多分枝模型的收敛定理中有相似证明,这里不再赘述)。

先证明条件(4)能推出条件(2),注意对于n≥ 1,由式(5)有