培育学生高阶思维的有效路径：分众教学

孔德宇

【摘要】数学学科的特点决定了数学课堂的核心任务是培育学生的高级思维.如何很好地完成这一核心任务是一线教师一直关注的话题.笔者认为，分众教学能有效实现这一目标.笔者以数学概念课“分式”为例，详细阐述了这一观点.

【关键词】高阶思维;分众教学;概念课

【基金项目】本文系无锡市教育科研“十三五”规划重点课题《农村初中基于学业质量标准的分众教学实验研究》（课题编号A/B/2016/002）及作者江阴市教师专项2020年度课题《初中数学概念教学中学生高阶思维培育的研究》的阶段性研究成果.

数学教学本质上是思维的教学，如何提升学生的思维能力是课堂教学的核心话题.笔者以数学概念课“分式”（苏科版）的教学为例，阐述个人观点，以飨各位读者，不到之处还请批评指正.

一、教材说明及分析

苏科版教材八年级下册“分式”是继有理数、整式运算、一次方程（组）、一次函数之后的内容.前面学习的内容是线性的呈现，依据数→式→方程→函数的脉络展开研究，对分式的研究应与前面的路径一致，该部分内容为今后学习方式方程、反比例函数等做了铺垫.

二、教学过程及说明

1.激活经验

请同学回顾初中阶段学习数与式的一般过程.

说明：①让学生体会：由小学里的算术数引进负数，走到初中的有理数，完成代数的第一次飞跃;由初中里的将数用字母表示到初中里的式，从特殊到一般，完成代数的第二次飞跃.②数与式的体系的扩充是代数学习的一条主线之一，学生已经有了一定的认知基础，在此基础上，学生通过对已有数、式体系的回顾和整理，明确了数学研究的一般性研究方法.③数学概念的教学一般都经历概念的引入—概念属性的归纳—概念的明确表示—概念的辨析—概念的巩固应用等过程，这些过程对学生的思维提出了不同的要求.而在分式概念的引入过程中，教师应注重引导学生的思维进行不同程度的参与，引导学生对问题进行深入分析，发现研究对象的差异性与一致性，尝试将同类对象的共同特征准确表征，提升学生的高阶思维.④根据学生认知能力的差异性，实行分众学习的方式，将认知能力相近的学生组成合作小组，进行对数与式体系的扩充，确保各个层次的学生能得到不同的提升，通过学生的展示交流和老师的总结提炼，形成数与式研究的主线.

2.创设情境，获得概念

问题1

（1）某工厂x小时完成100套零件，那么平均每小时完成套零件;

（2）某人a小时行驶100千米，那么平均每小时行驶千米;

（3）A，B两地之间的路程是s千米，甲、乙两人分别从A，B两地出发，相向而行，甲的速度是每小时x千米，乙的速度是每小时y千米，那么经过小时两人相遇;

……

分析上述代数式的特点，比较结果与整式有什么区别.

说明：①教学中，通过问题情境，得出下列式子：100x，100a，sx+y等，让学生寻找这些代数式的相同点与不同点，采用类比教学的方法，让学生观察分数与分式的区别，重点体现在分母是否含有字母这一关键点，从而归纳出分式的基本概念.②让学生体会到类比是研究数学的一种基本方法，是从已知知识体系引入未知知识体系的重要方法.教学中，应让学生充分讨论，寻找式子的联系与区别，引出分式的概念.③从整式到分式，是学生知识体系的一个提升，也是学生学习能力的一个提升.在此处，教师可通过概念课教学展现知识的生成性、延续性，体现知识体系的生长性，注重培养学生数学思维的创造性.

3.深入研究，明晰概念

例1 下列式子中，哪些是整式，哪些是分式？

（1）-3ab;（2）sa;（3）pm-n;（4）x2-y23;（5）35+y;（6）0;（7）3aπ;（8）x-660.

说明：①让学生运用分式的概念辨析上述代数式是不是分式，使学生进一步了解概念的外延与内涵，同时强化学生对概念的理解.②对不同的学生提出不同的要求，对基础薄弱的学生只要求能识别上述代数式是不是分式，但对基础较好的学生，应该引导他们自己写一些代数式.③为了提升学生的思维能力，促进学生高阶思维的发展，在该环节中应引导学生写出不一样的、结构更复杂的分式，从而思维能力较好的学生从依葫芦画瓢的思维状态提升到信手拈来的状态.

例2 分式ab-1可表示不同的实际意义，请举例说明.

说明：数学来源于生活又高于生活，在实际生活中，本例中的模型随处可见，譬如经济问题中，商品的单价等于商品的总价除以商品的数量;行程问题中，速度等于路程除以时间;工程问题中，工作效率等于工作总量除以工作时间等.

4.拓展延伸，强化概念

问题2 将x取一个你喜欢的值，并求代数式x-1x+1的值.

说明：①求代数式的值是研究代数式的重要环节，能体现代数式的一般意义，即代数式中字母取不同的值，则代数式的值不一定相等.运用字母表示数是对数量的抽象与简化，而代数式则是对实际问题特定数量关系的表达，对代数式中字母取具体的值就是将代数式具体化的过程，体现了从一般到特殊的数学思想.该环节能帮助学生具体理解数量之间的关系，特别是在对x取不同值的时候，让学生体会用代数式表达相同数量关系的重要性、简洁性、抽象性.②教师在处理该环节时，应引导学生取不同类型的数，确保研究对象多样性的同时，更好地体现代数式中数量关系的普适性.③教师在引导学生取不同值的时候，学生会发现当x=1时，代数式的值为零;当x=-1时，代数式无意义等.此时教师应引导学生观察分式的结构特点，归纳代数有无意义或值为零的一般性规律，并给出下列题组促进学生对上述知识的理解与运用.

例3 （1）对于分式x-22x-3：①当x时，分式无意义;②当x时，分式有意义;③当x时，分式的值为零.

（2）对于分式x2-4x-2：①当x时，分式无意义;②当x时，分式有意义;③当x時，分式的值为零.