2021年美国物理奥赛电磁学试题分析与求解①

朱瑞林

(南京师范大学物理科学与技术学院，江苏 南京 210023)

1 引言

物质的基本结构及其相互作用一直是物理研究与教学的核心问题，近年来在全国中学生物理竞赛(CPhO)、美国物理奥赛(USAPhO)和国际物理奥赛(IPhO)的试题中考查了粒子、磁单极和物质结构的简化模型等，这类问题涉及到的物理概念极具前沿性，求解的关键在于弄清题意、准确建模。对物理竞赛试题进行深入分析，有利于对问题举一反三，促进对物理概念的理解。本文以2021年美国物理奥赛的一道电磁学试题为例，结合命题组提供的参考答案，运用图像法和量纲分析法求解。希望可以加深学生对角动量、磁矩、电磁场能量和粒子简化模型的理解，并能熟练运用图像法和量纲分析法解决问题。

2 试题呈现

设电子的电荷量为-e、质量为m、磁矩为μ，本题将探讨能否用一个经典的模型解释电子的静止能量E0=mc2。假设电子是一个电荷均匀分布的半径为R的薄球面，而一个平面电流闭合回路的磁矩总是等于电流与回路面积的乘积。对于电子，其磁矩可以认为是由带电球面围绕穿过球心的固定轴旋转而产生。

(4) 根据静止能量E0和精细结构常数，粗略估计电子储存的磁场能。提示：假设球体内部具有大致恒定的磁场大小，球体外部的磁场忽略不计。

(5) 分析电子的电场和磁场贡献的总能量，与静止能量E0进行对比。

3 解析

该题涉及几个物理学中重要的物理量，如角动量、磁矩、电场能和磁场能等，需要学生深刻理解物理概念和各物理量之间的联系，这个题目也要求学生能准确建模、掌握物理图像、熟悉微分和量纲分析法。

第(1)小问的常规求解方法是根据磁矩的定义进行计算。为了便于读者理解常规求解方法以及后面的角动量与磁矩的关系，笔者在图1中描绘了电子的均匀带电旋转薄球面模型图像。

图1

对于第(5)小问，当精细结构常数α远小于1时，第(3)小问中计算的电场总能量和第(4)小问计算的磁场总能量远小于电子静止能量E0，因此电子的经典均匀带电旋转薄球面模型无法解释电子的静止能量。

4 关于电子自旋的一个小故事

这道题给出了电子的一个经典的均匀带电球体模型的解释，显然不符合物理事实。但这个模型在历史上实实在在出现过，1922年德国物理学家施特恩和格拉赫进行了一项实验，将高温炉中的银原子从一个狭缝中导出，通过一个不均匀的磁场，最后在屏上形成了几条清晰的黑斑，仅从银原子的轨道角动量出发，无法解释实验结果。1925年德国年轻物理学家克勒尼希提出：电子类似于一个带电球体，存在自转，以此来解释实验结果。之后与物理学家泡利交流后，受到泡利的严厉批评，泡利指出：为了产生足够的角动量，电子在球体表面必须超光速运动，因而违反了爱因斯坦狭义相对论，克勒尼希因而没有发表他的结果。同时期荷兰物理学家乌伦贝克和古德斯米特也提出相同的想法，并指出电子有新的角动量量子数，即自旋，自旋量子数为为电子的内禀性质。通过自旋量子数的引入，成功地解释了施特恩-格拉赫实验数据，最终乌伦贝克和古德斯米特获得了电子自旋的发现权。

5 反思与小结

在寻找物理量之间的联系时，创建物理图像有时候能起到事半功倍的作用，能深化学生对物理概念的理解。比如在第(1)小问求解磁矩时，利用图1能使学生意识到磁矩、角动量都是矢量，这两个矢量都沿着转轴Z方向，两者一定成比例关系，经过简单的推导发现，比例系数恒定。此外通过图像法，能够把宏观量进行微分处理，先分解成无穷小量，再对无穷小量求和，既方便学生进行微分、积分计算，也便于对物理概念的理解。在第(2)小问中引入了普朗克常数，会发现磁矩是量子化的，磁矩有一个最小的单元。此试题也体现了量纲分析的重要性，比如第(2)小问可以通过海森堡的不确定性原理来估算电子的半径。试题的第(4)小问提示球体内部具有大致恒定的磁场大小，如果考虑到无穷小环带上电荷做圆周运动需要向心力的话，当建立等式后(同时考虑线速度和角速度的关系)，可以证明薄球面内各点的磁感应强度正比于角速度和总质量、反比于总电荷量，因而与圆电流得到的磁感应强度结论相矛盾，这也反映出该试题在编制中存在欠妥之处。

本题采用了经典的带电球面模型，事实上精密的粒子物理实验指出电子是一个类点粒子，其半径小于10—18m，电子的结构仍然是物理学研究的前沿问题。