瞬态热传导问题的插值型复变量EFG方法

王晓飞，李兴国，任红萍

(太原科技大学 应用科学学院,太原 030024)

瞬态热传导问题是工程上的一类很重要的问题,但一般这类温度场问题的解析解是很难找到的,所以提出来了数值解。Belytschko等人根据改进的扩散单元法,提出了EFG方法[1]。由于无网格方法的计算量大,程玉民等人提出了新的构造形函数的方法。同时将复变量的相关知识引入了MLS法,就是我们所说的复变量MLS法[2-5]。随后,插值型复变量MLS法被提出来。由于相比其它方法来说,插值型复变量MLS法的试函数中的待定系数少,所以二维问题的复变量EFG方法可选取较少的节点。根据上述所提出的方法,在任何的场点,它的影响域中所包含的节点的最小数量就会大大地减少,然后可以极大地减少在求解域中所要选择的节点数量。和基于MLS法的无网格方法相比来说,在具有相同的节点分布和相近的计算精度时,插值型复变量MLS法有较好的计算精度以及计算速度。陈丽和程玉民等提出了通过复变量重构核粒子法来求解二维弹性力学的方法[6]。Chen和Cheng[7]采用复变量重构核粒子的方法来求解了瞬态热传导问题,它的优点是二维问题可以用一维的基函数来解决。Sigh等用无网格方法分析了半无限体的非稳态传热导[8]。任红萍等[9-10]通过插值型MLS法给出了插值型CVEFG方法以及改进的边界无单元法。张赞[11]等用改进的Galerkin方法解决了三维瞬态热传导问题,并且讨论了尺度参数和节点数量等因素和数值解的关系。张国达[12]等研究了瞬态热传导问题的插值型无单元伽辽金方法及误差。

插值型复变量MLS法构成了插值型复变量无单元伽辽金方法的基本原理。在此基础上,本文以插值型复变量MLS法作为基础,由伽辽金积分弱形式,给出了二维瞬态热传导的第一类边值问题的插值型CVEFG方法,并给出了相应的推导过程。为了证明此方法的有效性,分别对两个瞬态热传导的第一类边值问题通过使用插值型复变量EFG方法进行了数值求解。

1 控制方程的伽辽金积分弱形式

通过用插值型复变量EFG法推导二维瞬态热传导问题的方程。通常,导热率在空间上变化的各向同性材料的二维瞬态热传导问题的控制方程可以表示为:

(1)

初始条件为:

T(x,y,0)=T0(x,y)∈Γ1

(2)

边界条件为:

(3)

(4)

方程(1),(4)的等效积分的弱形式:

(5)

泛函Π(T)可表示为:

(6)

令δΠ=0，可得:

(7)

其中δ是变分运算符,L是一个微分算子矩阵,

(8)

(9)

由于本文的形函数是由插值型复变量MLS法来构造的,故而形函数符合Delta的特性,因此在求解方程的过程中可以直接施加本质边界条件，不需额外进行处理。

2 积分弱形式的离散化

首先把空间域Ω离散为M个节点ZI,ZI=1,2,3…M,节点ZI的温度为:

TI(t)=T(zI,t)

(10)

域内任意场点在某时刻t的温度T(z,t)采用影响域覆盖场点的节点温度进行逼近。由于在任意时刻T(z,t)和TI(t)都为标量,由插值型复变量MLS法的逼近函数表达式,可以得出任意场点z在时刻t的温度可表示为:

T(z,t)=Re[Φ(z)T(t)]=

(11)

其中n为影响域中覆盖z的节点的数目。

Φ(z)=(Φ1(z),Φ2(z),…Φn(z))=

(12)

T(t)=(T1(t),T2(t)，…，Tn(t))T

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

W(z)=

(19)

vT(z)=(v(z-z1),v(z-z2)…v(z-zn))

(20)

(21)

(22)

由式(8)和(11)可得:

(23)

其中：

B(z)=(B1(z),B2(z)…Bn(z))

(24)

(25)

将(12)和(24)代入得:

(26)

其中:

(27)

方程(26)的第一项为:

(28)

(29)

C=[CIJ]是M×M的矩阵

(30)

方程(26)的第二项为:

其中:

(32)

K=[KIJ]是M×M的矩阵

(33)

方程(26)的第三项为:

δTT·F(1)

(34)

(35)

(36)

方程(26)的第四项为:

(37)

(38)

(39)

将式(28),(31),(34),(37)代入方程(26)得到:

(40)

由δTT的任意性，可得：

(41)

其中:

F=F(1)+F(2)

(42)

将方程(7) 离散为仅存在以时间为独立变量的常微分方程(41).

对时间域的离散:

(43)

当取θ=0时,方程(43)能写为:

(44)

(45)

其中：

Tn+1=T((n+1)Δt),Tn=T(nΔt)

(46)

Fn+1=F((n+1)Δt),Fn=F(nΔt)

(47)

以上内容为用插值型复变量EFG方法来求解二维瞬态热传导问题的过程。

3 算法实施流程

由二维瞬态热传导的第一类边值问题,它的插值型复变量EFG法的步骤如下:

(1)输入已知的数据,包括求解域的几何特性,时间的步长和材料常数;

(2)基于已知的第一类边值问题,首先建立它的坐标系,其次在求解域Ω和它的Γ上分布数量为M个的节点,对节点进行标号,建立节点信息,建立相应的节点坐标;

(3)生成背景积分网格,并将其带入数值积分;

(4)建立边界积分单元的相关信息;

(5)Gauss积分点由背景的网格以及边界生成,并且计算对应的Gauss积分点的信息(包括Gauss积分点的坐标、积分权重和相应的Jacobi行列式|J|);

(6)形成热容矩阵C、热传导矩阵K和F的第一项F(1);

A.循环每个背景积分网格;

1)循环高斯积分点(背景网格内);

2)若高斯积分点在Ω内,则进行步骤(3)到(6)否则直接进行步骤(6);

3)确定其影响域覆盖的当前高斯积分点zQ的节点;

4)计算影响域覆盖当前的高斯积分点zQ的所有节点zI处的ΦI(zQ)及其导数的值;

5)计算当前高斯积分点zQ对矩阵C、K和列向量F(1)的贡献;

6)结束循环;

B.结束背景积分网格的循环。

(7)在式(38)的基础上计算列向量F(2).

(8)将所计算出的F(1)和上述步骤所得的F(2)进行相加,得出F.

(9)对于已知初值条件的瞬态热传导的第一类边值问题，将初值条件代入递推的关系式(41)来近似地给出另一组数据,可以得到时间域内的各个时间的场函数的数值T；

(10)由上述步骤得出的T和式(11)可以拟合出Ω内任一场点在任意时刻的温度数值解；

(11)输出温度值.

4 数值算例

下面利用刚才建立的二维瞬态热传导问题的插值型复变量EFG法,对下面的两个二维瞬态热传导的第一类边值问题进行数值求解。

4.1 算例1

控制方程是：

u,t=u,11+u,22+(1+t2)u+

(2π2-t2-2)e-tsin(πx)cos(πy)x∈Ω,

t>0

(48)

边界条件为:

u(0,y,t)=u(1,y,t)=0

(49)

u(x,0,t)=-u(x,1,t)=e-tsin(πx)

(50)

初始条件为:

u(x,y,0)=sin(πx)cos(πy)

(51)

其中Ω=[0,1]×[0,1]

该问题对应的解析解为:

u(x,y,0)=e-tsin(πx)cos(πy)

(52)

当使用插值型复变量EFG方法进行计算时,区域内的节点分布选择为11×11个节点。在影响域中的权函数的比例参数选取dmax=2.0.时间步长选取Δt=0.001s.图1为t=0.01时,x=0.5的数值解和解析解。

图1 当x=0.5的温度分布

4.2 算例2

控制方程是：

(53)

边界条件为:

T(0,y,t)=e-2tsiny

(54)

T(1,y,t)=e-2tsin(1+y)

(55)

T(x,0,t)=e-2tsinx

(56)

T(x,1,t)=e-2tsin(1+x)

(57)

初始条件为:

T(x,y,0)=sin(x+y)

(58)

解析解为:

T(x,y,t)=e-2tsin(x+y)

(59)

当使用插值型复变量EFG方法进行计算时,区域内的节点分布选择为11×11个节点。在影响域中的权函数的影响域比例参数选取dmax=1.5.时间步长选取Δt=0.001s.图2和图3分别为t=0.01时,x=0.4和y=0.7的数值解和解析解。

图2 t=0.01时，x=0.4的温度分布

图3 t=0.01时，y=0.7的温度分布

5 结论

本文通过使用插值型复变量MLS法,推导了求解二维瞬态热传导的第一类边值问题的基本过程。由上述两个算例得出,本文提出的瞬态热传导问题的插值型复变量EFG方法具有较好的拟合效果。