三角函数高考考点例析

童其林

三角函数除了具有一般函数的各种性质外，还具有周期性和独特的对称性，再加上系统丰富的三角公式，使其产生的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端. 围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点之一. 下面就三角函数高考考点作个例题分析，供考生参考.

考点一：三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式

三角函数的概念、同角公式、诱导公式是学习三角函数的基础，可以单独考查，也常和后面的三角函数的图像与性质、三角变换及解三角形结合在一起进行考查. 其中，三角函数在各个象限的符号，诱导公式，同角三角函数的基本关系式是考查的重要内容. 本考点常以选择题、填空题的形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊方法，如数形结合法、函数法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等. 另外对有些具体问题还要掌握和运用一些基本结论.

例1.（2021年全国新高考Ⅰ卷第6题）若tan=-2，则=（    ）

A. - B. -   C.    D.

解析1：因为tan=-2<0，根據三角函数定义，知的终边落在第二或第四象限.

当的终边落在第二象限时，sin=，cos=-，sin2=2sincos=2··（-）=-，

所以==.

当的终边落在第四象限时，sin=-，cos=，

sin2=2sincos=2·（-）·）=-，

==.

两种情形的答案都是，故选C.

解析2：将式子进行齐次化处理得：

==sin（sin+cos）====，故选C.

点评：解析1用的是分类讨论，即利用tan=-2，求出sin，cos的值，需要分象限讨论其正负. 解析2通过齐次化处理，可以避开了这一讨论，简化了运算，这是同角三角函数的基本关系的正确运用.

例2. 已知tan=2，则=________.

解法1：=

=

==.

解法二：由已知条件得sin=2cos，

==，因为cos2=，所以，原式==.

点评：（1）由tan=2可知cos≠0，为了能用化名法使目标式向tan靠近，可先用变1法将分子、分母变换为三次齐次式;（2）由已知条件得sin=2cos，代入原式可将异名函数化为同名函数.

考点二：三角函数的作图、识图和用图

专家强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识.”根据这一思想，每一年的高考题中的选择或填空题（包括解答题）都有运用数形结合解决问题的题目，侧重考察的是作图、识图、用图的能力，而三角函数是考查作图、识图和用图的重要内容.

例3. 函数y=的图像与曲线y=2sinx（-2≤x≤4）的所有交点的横坐标之和等于________.

解析：如图所示，两个图像在点（1，0）对称，当x∈[-2，4]时两个函数图像有四个交点，对称的两交点的横坐标的和为2，4个点就是两对对称点，所以和为4.

例4. 已知函数f（x）=Asin（？棕x+）（A>0，？棕>0，|φ|<）的图像的一部分如图2所示.

（1）求函数f（x）的解析式;

（2）当x∈[-6，-]时，求函数y=f（x）的最大值与最小值及相应的x的值.

解析：（1）由图像知A=2，T=8=，

∴ω=，得f（x）=2sin（x+）.

由×1+=2k+=2k+，k∈Z.

又|φ|<，∴φ=. ∴ f（x）=2sin（x+）.

（2）f（x）=2sin（x+）.

∵x∈[-6，-]，∴x+∈[-，]，

∴当x+=-，即x=-6时f（x）取得最大值为，

当x+=-，即x=-3时f（x）取得最小值为-2.

考点三：三角函数的定义域、值域、最值

例5. 函数f（x）=，x∈（0，2）的定义域是（   ）

A.[，]  B.[，]  C.[，]  D.[，]

解析：定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

由题意可得sinx-≥0sinx≥+2k≤x≤+2k，k∈Z，又x∈（0，2π），

∴函数f（x）=，x∈（0，2）的定义域是[，]. 故选B.

点评：求定义域要紧紧抓住三角函数本身自变量的取值范围，如y=sinx，y=cosx的定义域为R，y=tanx的定义域为{x|x≠k+，k∈Z }，再结合具体给出的函数，使得分母不为零，对数的真数大于零，算术根非负，x0中的x不为零，等等.

例6. 函数y=sin2x+2cosx在区间 [-，] 上的值域为（   ）

A.[-，2]  B.[-，2]  C.[-，]  D.[-，]

解析：∵x∈[-，]，∴cosx∈[-，1] .

又∵y=sin2x+2cosx=1-cos2x+2cosx=-（cosx-1）2+2，则y∈[-，2] . 故选A.

点评：三角函数的值域问题要学会转化，如转化为一次函数，二次函数，或转化为分式函数处理，或利用函数的有界性、单调性求解. 注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响.

考点四：三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性

例7. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）. 若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=-f（），则f（x）的最小正周期为________.

解析：结合图像3，得=-，即T=π.

点评：三角函数的周期问题一般将函数式化为y=Af（ωx+φ）（其中f（x）为三角函数，ω>0）. 实际上，满足本题的一个函数解析式为f（x）=Asin（2x+），但本题中代入函数值计算不太方便，故要充分利用函数图像的特征进行判断求解.

例8. 若将函数f（x）=sin（2x+）的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是_______.

解法1：将f（x）=sin（2x+）的图像向右平移φ个单位，得到y=sin（2x+-2φ）的图像，由该函数的图像关于y轴对称，可知sin（-2φ）=±1，即sin（2φ-）=±1，故2φ-=kπ+，k∈Z，即φ=+，k∈Z，所以当φ>0时，φmin=.

解法2：由f（x）=sin（2x+）的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y轴对称可知，-2φ=+kπ，k∈Z，又φ>0，所以φmin=.

点评：三角函数的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别. 特别要注意的是，一个三角函数可能不具有奇偶性，但仍有可能关于某点对称，或者关于直线对称.

例9.（多选题）已知函数f（x）=2sin2x·cosx-sinx，则（   ）

A. 将函数f（x）的图像向左平移得到的函数图像解析式为g（x）=cos3x

B. 函数f（x）最小正周期为

C. 函数f（x）图像的对称中心为（，0），k∈Z

D. 函数f（x）的图像关于直线x=k+，k∈Z对称

解法1：f（x）=2sin2x·cosx-sinx

=4sinx·cos2x-sinx=sinx·（4cos2x-1）=sinx·（2cos2x+cos2x）

=sinx·（2cosx·cosx+cos2x）=sin2x·cosx+sinx·cos2x=sin3x，

所以f（x）的周期为T=，B对.

将函数f（x）的图像向左平移得到的解析式为g（x）=sin3（x+）=-cos3x，A错.

f（x）=sin3x图像的对称中心为（，0），k∈Z，C对.

f（x）=sin3x图像的关于直线x=+，k∈Z，对称，D错.

所以选BC.

解法2：f（x）=2sin2x·cosx-sinx=sin2x·cosx+sin2x·cosx-sinx=sin2x·cosx+sinx·（2cos2x-1）=sin2x·cosx+sinx·cos2x=sin3x.

以下同解法1.

点评：本题的化简，有一定的技巧.

例10. 写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）=________.

解析：基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y=sinx，或y=tanx，所以此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意.

设f（x）=sin？棕x，且T=2=？棕=，所以最小正周期为2的一个奇函数可以为f（x）=sinx.

或者f（x）=tanx.

点评：开放性问题，答案不唯一.

考点五：三角函数的求值

三角函数的求值，包含“给角求值”，“给值求值”，“给值求角”等问题.

例11. 求值sin+cos=________.

解法1：由半角公式，得原式=+=.

解法2：由差角公式，得原式=sin（-）+cos（-）=.

解法3：由倍角公式，得原式==.

解法4：直接將原式变形，得原式sin（+）=sin=.

点评：上面四种解法运用了不同的公式和变形方法，不仅进一步熟悉了三角公式的用法，也训练了思维的灵活性.

“给角求值”，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.

例12. 已知tan=-2，tan（+）=，则tan的值为_______.

解析：tan =tan（+ -）===3.

点评：“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.

例13. 已知tan（- ）=，tan =-，且，∈（0，），求2-的值.

解析：∵2- =2（- ）+ ，tan （- ）=，

∴tan2（- ）==，

从而tan（2- ）=tan[2（- ）+ ]====1.

又∵tan=tan[（- ）+ ]==<1.

且0<<，∴0<<. ∴0<2<.

又tan =-<0，且∈（0，），

∴< <，-<- <-.

∴-<2- <0. ∴2- =-.

点评：“给值求角”，实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示;②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.

考点六：三角函数式的化简与证明

例14. 化简（<<2）

解析：∵<<2，∴=cos=cos.

又∵<<，∴=sin=sin，∴原式=sin.

例15. 若2tan=3tan β，证明：tan（- β）=.

解析：∵tan=tan β，

∴tan（-β）===.

又∵=

===.

∴tan（α-β）=.

点评：将被证等式的两边都用tan β表示，而不含tan α，本质上是“消元法”. 将多个变量的表达式，变为单个变量的表达式，往往要使用“消元”的方法.

考点七：三角函数的应用

三角函数是工具，在平面几何、立体几何、向量、导数问题中都有用武之地.

例16. 如图4，直线l⊥平面 α，垂足为O，已知在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2，AB=. 该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：①A∈l，②C∈α. 则B、O两点间的最大距离为_______.

解析：易知，当A，O，C，B共面且O、B在CA异侧时，B、O两点间有最大距离. 此时点B记为点B′，过B′作α的垂线B′D，垂足为D，设∠B′CD=，则CD=cos，B′D=sin，OC=2cos（-）=2sin，

所以OD=2sin+cos在直角三角形OB′D中，

OB′==

==

==

当2-=时，OB有最大值=+1.

点评：首先要判断问题何时两点间有最大距离，然后设法表示两点间的距离，引入辅助角是武器.

例17. 在平面直角坐標系中，O为原点A（-1，0），B（0，），C（30）动点D满足=1，则++的最大值是__________.

解析：动点D的轨迹是以C为圆心的单位圆（x-3）2+y2=1，可设点D坐标为（3+cos，sin）（0∈[0，2）），则

++=，

==，

所以++的最大值为=1+.

例18. 设函数f（x）=，则（ ）

A. f（x）=f（x+）          B.  f（x）的最大值为

C. f（x）在（-，0）单调递增     D. f（x）在（0，）单调递减

解析：f（x）==，代入验证可知f（x）=f（x+），所以A正确.

又f（x）可变形为f（x）===2·，f（x）的几何意义为单位圆上的动点（sin2x，cos2x）与点（-4，0）连线的斜率的2倍（如图所示5），相切时取最大值为，故B错.

当x∈（-，0）时，动点在第二象限从左到右运动，斜率先增大后减小，故C错.

当x∈（0，）时，动点在第一象限从左到右运动，斜率先增大后减小，故D正确.

故正确答案是AD.

点评：构造适合题意的图形，利用其几何意义判断BCD是否正确，是快速求解本题的有效途径.

例19. 如图6，圆O的直径AC=8cm，直线l与圆相切于点A，P为圆的右半圆弧上的动点，PB⊥直线l于B，求△PAB面积的最大值.

解析：设∠POC=，半径OP=4cm，

作PD⊥AC于D，∵AC⊥l，PB⊥l，∴ PD=AB，PB=AD.

∴ AB=PD=4sin，PB=AD=4+4cos

∴△PAB的面积

S=f（）=AB·PB=8sin（1+cos）=8（sin+sincos），∈（0，）

S′= f ′（）=8（cos+cos2-sin2）=16（cos-）（cos+1），cos∈（-1，1）.

在（0，）内f ′（）>0，在（，）内f ′（）<0，即f（）在（0，）内递增，在（，）内递减，

∴ =时，（S△PAB）max= f（）=6cm2.

∴ △PAB面积的最大值为6cm2.

责任编辑 徐国坚