滞后型测度泛函微分方程解的有界性

李宝麟， 杨银杏

(西北师范大学数学与统计学院， 甘肃 兰州730070)

1 引言

常微分方程解的有界性问题是在研究生物学、生态学、物理学以及神经网络问题中提出的，是常微分方程研究中一个十分重要的领域.近年来，关于常微分方程解的有界性已经引起了许多学者的研究[1-3].文献[4]中，Federson M 等在Lyapunov 泛函中没有Lipschitz 条件的情况下，研究了广义常微分方程解的有界性，并且利用测度微分方程和广义常微分方程的等价关系建立了测度微分方程解的有界性，随后又利用测度微分方程和时间尺度上的动力方程的等价关系，获得了时间尺度上的动力方程解的有界性.文献[5]建立了滞后型测度泛函微分方程在一定条件下与广义常微分方程的等价关系.文献[6]研究了滞后型测度泛函微分方程解的存在性、唯一性和对参数的连续依赖性.

本文考虑滞后型测度泛函微分方程

解的有界性， 其中Dy，Dg分别表示函数y，g的分布导数.f:S× [t0，+∞)→Rn，g:[t0，+∞)→R，y:[t0-r，+∞)→Rn，yt(θ)=y(t+θ)，θ ∈[-r，0]，r ＞0，其中

上述的G1为开集，G([t0-r，+∞)，Rn)表示所有正则函数y: [t0-r，+∞)→Rn构成的空间，定义范数‖y‖∞=supt∈[t0，+∞)‖y(t)‖，则G([t0-r，+∞)，Rn)为Banach 空间.由文献[5]知，方程(1)等价于积分方程方程(2)右端的积分是关于不减函数g:[t0，+∞)→R 的Kurzweil-Stieltjes 积分，而且f满足如下条件:

本文利用广义常微分方程解的有界性，研究滞后型测度泛函微分方程解的有界性.

2 预备知识

本节介绍广义常微分方程与滞后型测度泛函微分方程的概念与结论.

设X是Banach 空间，O ⊂X是开子集.

定义2.1[4]函数U: [a，b]×[a，b]→X在区间[a，b]上称为Kurzweil 可积的，如果存在I ∈X，使得对任意的ε ＞0，存在正值函数δ: [a，b]→(0，+∞)，对[a，b]的任何δ- 精细分划D:a=α0＜α1＜···＜αk=b及{τ1，τ2，···，τk}，有

对任意的(x，s1)，(x，s2)，(y，s1)，(y，s2)∈Ω，有

其中h:[t0，+∞)→R 为不减函数.

定义2.4[4]函数x:[α，β]→X是广义常微分方程(3)关于初值条件x(s0)=z0在区间[α，β]⊂[t0，+∞)上的一个解，是指如果s0∈[α，β]， (x(t)，t)∈Ω 对每个t，s ∈[α，β]，有

引理2.1[4]如果Ω =O×[t0，+∞)，F ∈F(Ω，h)，其中函数h是不减且左连续的.则对每个(z0，s0)∈Ω，广义常微分方程(3)在[s0，+∞)上存在饱和解并且x(s0)=z0.

注 对每个(z0，s0)∈Ω，把广义常微分方程的饱和解记为x(s，s0，z0)且x(s0)=z0.

定义2.5[4]广义常微分方程(3) 是

1) 一致有界:如果对每个α ＞0，存在M=M(α)＞0，使得对每个s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈X，‖z0‖＜α，有

2) 拟一致最终有界:如果存在B ＞0，使得对每个α ＞0，存在T=T(α)＞0，使得对所有的s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈X，‖z0‖＜α，有

3) 一致最终有界:广义常微分方程是一致有界且拟一致最终有界.

(ii) 对广义常微分方程(3)的每个解z:[s0，+∞)→X，s0≥t0及每个s0≤t ＜s ＜+∞，有

则广义常微分方程(3)是一致有界的.成立，其中h1:[t0，+∞)→R 为不减和左连续的函数.

(V2) 存在连续函数Φ :X →R，Φ(0) = 0 且Φ(x)＞0，x/= 0，使得对广义常微分方程(3)的每个解z:[s0，+∞)→X，s0≥t0及每个s0≤t ＜s ＜+∞，有

则广义常微分方程(3)是一致最终有界的.

引理2.4[5]如果y: [t0-r，+∞)→Rn是一个正则函数，则在[t0，+∞)上是正则的.

引理2.5[5]设f:S×[t0，+∞)→Rn满足条件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 是不减函数，定义F:G1×[t0，+∞)→Rn如下

则F ∈F(G1×[t0，+∞)，h)，其中h:[t0，+∞)→R，

由h的定义可知h为[t0，+∞)上不减的左连续函数.

引理2.6[5]设G1是G([t0-r，+∞)，Rn)的开子集，且t ∈[t0，+∞)时，具有延拓性质，S={yt:y ∈G1，t ∈[t0，+∞)}，φ ∈S，g:[t0，+∞)→R 是不减函数，f:S×[t0，+∞)→Rn满足条件(H1)-(H3).

(i) 如果y ∈G1是滞后型测度泛函微分方程

的解，且满足初值条件

的解.

3 主要结果

本节建立滞后型测度泛函微分方程解的有界性.

定理3.1 设f:S×[t0，+∞)→Rn满足条件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 是不减和左连续函数，则对每个(z0，s0)∈S×[t0，+∞)，滞后型测度泛函微分方程(2)在[s0，+∞)上存在饱和解并且y(s0)=z0.

证 考虑滞后型测度泛函微分方程(2)

根据假设，函数f:S×[t0，+∞)→Rn满足条件(H1)-(H3)，g: [t0，+∞)→R 是不减和左连续函数，则滞后型测度泛函微分方程(2)等价于广义常微分方程

其中F由(5)式给出.

根据引理2.1 得，对每个(z0，s0)∈O×[t0，+∞)，广义常微分方程(6)在[s0，+∞)上存在饱和解并且x(s0)=z0，而且根据引理2.6 的(ii)有

是滞后型测度泛函微分方程

的解.因此，对每个(z0，s0)∈S×[t0，+∞)，滞后型测度泛函微分方程(2)在[s0，+∞)上存在饱和解并且y(s0)=z0.

注 同样地，对每个(z0，s0)∈S×[t0，+∞)，把滞后型测度泛函微分方程(2)的饱和解记为y(s，s0，z0)且y(s0)=z0.

定义3.1 滞后型测度泛函微分方程(2)是

1) 一致有界:如果对每个α ＞0，存在M=M(α)＞0，使得对每个s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈Rn，‖z0‖＜α，有

2) 拟一致最终有界:如果存在B ＞0，使得对每个α ＞0， 存在T=T(α)＞0，使得对所有的s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈Rn，‖z0‖＜α，有

3) 一致最终有界:滞后型测度泛函微分方程是一致有界且拟一致最终有界.

定理3.2 设f:S×[t0，+∞)→Rn满足条件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 在[t0，+∞)上是不减和左连续的.设函数U: [t0，+∞)×Rn →R，使得对每个在(α，β]上左连续的函数z:[α，β]→Rn，[α，β]⊂[t0，+∞)，函数(t，z(t))，t ∈[α，β]在区间(α，β]上是左连续的.而且，假设U满足下列条件:

(i) 存在两个单调递增的函数p，b:R+→R+，使得p(0)=b(0)=0，

且对每一对(t，z)∈[t0，+∞)×Rn，有

(ii) 对滞后型测度泛函微分方程(2) 的每个解z: [s0，+∞)→Rn，s0≥t0及每个s0≤t ＜s ＜+∞，有

则滞后型测度泛函微分方程(2)是一致有界的.

证 令固定的α ＞0.根据条件(i)知p(α)＞0，由(7)式，存在M=M(α)＞0 使得对所有的s ≥M，p(α)＜b(s).特别地，对s=M，得

令s0∈[t0，+∞)，z0∈Rn，且y(·) =y(·，s0，z0) : [s0，+∞)→Rn是滞后型测度泛函微分方程(2)在初值条件y(s0)=z0下的解，其中‖z0‖＜α.由定义3.1 中1)可知，需证明:

事实上，由条件(ii)和条件(8)，对每个s ≥s0，有

即对所有的s ≥s0，

最后， 对所有的s ≥s0， 证明‖y(s，s0，z0)‖=‖y(s)‖ ＜M.运用反证法， 即假定存在¯s ∈[s0，+∞)使得‖y(¯s)‖≥M.则由条件(8)和b是一个不减函数，有

与(10)式相矛盾.因此，对所有的s ≥s0，‖y(s)‖＜M，且由定义3.1 的1)知滞后型测度泛函微分方程(2)是一致有界的.

定理3.3 设f:S×[t0，+∞)→Rn满足条件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 在[t0，+∞)上是不减和左连续的.设函数U: [t0，+∞)×Rn →R，使得对每个在(α，β]上左连续的函数z:[α，β]→Rn， 函数(t，z(t))，t ∈[α，β]在区间(α，β]上是左连续的且满足定理3.2 的条件(i).而且，假设U满足下列条件:

(U1) 对每个x，y:[α，β]→Rn在区间[α，β]⊂[t0，+∞)上有界变差及每个α ≤s ＜t ≤β，有

成立， 其中u: [t0，+∞)→R 是不减和左连续函数，K: [t0，+∞)→R 是关于u局部Kurzweil-Stietijes 可积的函数.

(U2) 存在连续函数φ:Rn →R，φ(0)=0 且φ(x)＞0，x/=0，使得对滞后型测度泛函微分方程(2) 的每个解z:[s0，+∞)→Rn，s0≥t0及每个s0≤t ＜s ＜+∞，有

则滞后型测度泛函微分方程(2)是一致最终有界的.

证 对所有的(x，t)∈G1×[t0，+∞)，定义函数F:G1×[t0，+∞)→Rn如下

根据假设，函数f:S×[t0，+∞)→Rn满足条件(H1)-(H3)，g: [t0，+∞)→R 是不减和左连续的.由假设存在常数M，N，对任意的x，z ∈G1，由(11)式得

由条件(H3)知

因为函数(t，z(t))，t ∈[α，β]在区间[α，β]上是左连续的且满足定理3.2 的条件(i)，所以由引理2.6 的(i)可知，函数(t，z(t))，t ∈[α，β]满足引理2.2 的条件(i).

对每个t ∈[t0，+∞)，定义函数h1(t):[t0，+∞)→R 如下

则函数h1是不减且左连续的.而且由条件(U1)，对每个α ≤s ＜t ≤β及每个在[α，β]上有界变差的x，y:[α，β]→Rn， [α，β]⊂[t0，+∞]，函数U满足下列条件

的解，其中函数F由(11)式给出.

因此，函数(t，z(t))，t ∈[α，β]满足引理2.3 的条件(V2).

综上可得，函数(t，z(t))，t ∈[α，β]满足引理2.3 的所有条件，故广义常微分方程

是一致最终有界的，其中函数F由(11)式给出.

最后，根据引理2.6 的(ii)，证明了滞后型测度泛函微分方程(2)也是一致最终有界的.