加筋复合材料层合板的自由振动特性与优化

梁浩锋，夏 飞，金福松，石陈玉，薛江红

（暨南大学 力学与建筑工程学院 重大工程灾害与控制教育部重点实验室，广州 510632）

薄板结构是工程领域上最常用的结构之一，在航空航天工程、土木工程、海洋工程、机械工程等领域中有着广泛的应用。其中加筋薄板结构由于拥有用料省、刚度大等优点，成为工程领域新的关注重点。

一直以来，加筋薄板的自由振动问题受到国内外学者的广泛关注。李凯等[1]基于能量泛函变分的方法，研究了附加多个集中质量纵横加筋板的自由振动问题。刘文光等[2]建立了有限元动力学模型，并对板筋连接形式和加筋安装方向对薄板振动模态的影响机制进行了研究。杜菲等[3]基于瑞利-里兹法，将筋条视为Euler梁单元，分析了四边固支加筋板的振动问题。周平等[4]从工程角度出发，将不同经验公式计算单向加筋板固有频率的结果与有限元方法和动态刚度阵法计算结果进行了比较，给出了最为有效的经验公式。Efimtsov等[5]基于空间谐波展开法，考虑加强筋与板壳的相互作用，分析了加筋板和圆柱壳的受迫振动问题。江松青等[6]考虑剪切变形和转动惯性的影响，由Hamilton变分原理导出了加筋板的非线性动力方程，并用有限差分法求解的横向冲击荷载下加筋板的非线性动力响应问题。文献[7-9]给出了更多基于不同的单元类型和计算方法，利用有限元法对各向同性加筋板的振动问题进行分析的研究成果。

复合材料由于具有较高的比强度和比刚度，由复合材料制作的层合结构在实际工程中也得到了广泛的应用。针对复合材料加筋板的各项研究也受到了国内外学者的广泛关注。王平安等[10]对复合材料薄壁加筋板结构进行了剪切载荷下的屈曲试验研究，给出了加筋板结构的屈曲模态、屈曲失稳载荷以及破坏形式。Xue等[11-13]考虑接触效应对含损伤复合材料层合薄板结构的非线性振动和屈曲问题进行了分析。Sinha等[14]通过实验和数值模拟的方法对复合材料加筋层合板的自由振动特性进行了分析。Qing等[15]基于半解析法，求解了夹层加筋板的自由振动问题。王蔓等[16]考虑一阶剪切效应的复合材料层合板单元和层合梁单元，提出了含嵌入圆形分层损伤的复合材料加筋板非线性动力响应有限元分析方法。赵政等[17]利用LS-DYNA有限元数值模拟软件对爆炸荷载下复合材料加筋板的动力响应问题进行分析。Rajawat等[18]和Behera等[19]基于有限元方法，分析了复合材料加筋层合板的自由振动问题。霍世慧等[20]利用工程及有限元方法分别分析了加筋壁板整体和局部稳定性。欧阳天等[21]通过落锤法从面板一侧对筋条进行了5种能量水平的低速冲击，研究了复合材料加筋板的筋条冲击损伤及冲击损伤对加筋板轴向压缩行为的影响。

国内外学者已经开展了不少有关加筋复合材料层合结构的力学性能的研究，但正如上述文献资料显示的，对加筋复合材料层合结构的研究大都采用的是实验和数值模拟的方法。

本文采用理论结合数值分析的方法对加筋复合材料层合板的自由振动特性进行研究。根据复合材料结构力学和板壳理论推导层合板与各加强筋在振动过程中的能量消散，借助热力学第二定律和最小势能原理建立求解加筋层合板自由振动固有频率的特征方程，进行算例分析，详细讨论加强筋数目与横截面几何参数对固有频率的影响。开展有限元仿真并与理论结果进行比较。根据参数分析的结果给出加强筋的布筋优化方案。本文采用的能量法与传统的解析方法相比，避开了加筋结构的复杂连续性条件，通过加筋结构自由振动中的功能关系，建立特征方程求解固有频率，将复杂的偏微分方程组问题转化为易于求解的线性方程组问题，在保证计算准确性的同时大幅提升计算效率。

1 问题的描述

考虑如图1所示的四边简支复合材料层合板，层合板的长、宽和厚度分别为a，b和h，铺层数为n，单层板厚为t，密度为ρ，铺层方式为正交对称铺设。层合板上布有沿横向x方向和纵向y方向均匀分布的加强筋，其中沿x轴的横筋共有nj条，每条横筋的坐标分别为y=dj，其横截面宽和高分别为bx和hx，横筋的密度、弹性模量和泊松比分别为ρx，Ex，μx；沿y轴的纵筋共有ni条，每条纵向筋的坐标可以表示为x=ci，横截面宽和高分别为by和hy，纵向筋的密度、弹性模量和泊松比分别为 ρy，Ey，μy。

图1 加筋板结构模型Fig.1 Structural model of rib-reinforced composite laminates

2 基本理论

设u，v，w代表加筋层合板结构x，y，z方向位移。基于Kirchhoff-Love薄板理论，层合板和加强筋的几何方程为

式中:εij为层合板的应变分量；κij为其曲率分量。根据复合材料结构力学[22]，对于正交对称铺设的层合板，层合板内的拉弯耦合和弯扭耦合效应都消失了，其内力-应变关系可以表达为

式中:Nx，Ny，Nxy，Mx，My，Mxy分别为加筋板的薄膜力和弯矩；Apq和Dpq分别为层合板拉伸刚度系和弯曲刚度，分别由式（3）定义得到

式中:zk为层合结构第k层子结构的下表面坐标；z0为层合结构第1层子结构的上表面坐标；（）k为第k层的弹性刚度。令第k层的铺设角度为θ，则该层的弹性刚度（）k为

式中:c=cosθ；s=sinθ；Qpq为折减刚度系数，可用工程弹性系数表示为

3 能量法

由于加筋板结构本身的复杂性，采用求解平衡方程的方法分析加筋板的自由振动问题必须要考虑到横筋和纵筋与层合板之间的相互作用，当加筋的数目较大时，这样的方法求解难度极大，为此本文采用能量法求解加筋板的自由振动问题。四边简支加筋层合板的边界条件为

为了满足式（6）的边界条件，将加筋层合板的振动模态取为

式中:m，n分别为横向和纵向的振动模态半波数；wmn为对应该模态的振幅；ω为与其对应的加筋层合板结构的自由振动角频率；t为时间。

3.1 应变能

由板壳力学，对称铺设复合材料层合板的应变能为

纵向筋和横向筋的应变能分别为

式中:D11x，D11y分别为横筋和纵筋在与薄板耦合状态下的弯曲刚度；ni，nj分别为纵筋和横筋的数目。

将式（1）、式（2）和式（7）分别代入式（8）、式（9）、式（10）得到加筋板总应变能

3.2 动 能

层合板的动能为

纵向筋和横向筋的动能可以表示为

由式（7）、式（12）、式（13）和式（14）得到加筋板总动能

3.3 固有频率求解

根据热力学定理，单位时间内外力做的功一部分转化为动能，一部分转化为内能。在自由振动问题中，不存在外力做功，同时假定变形过程中无热能损失，则总能量由于振动模态函数总是满足边界条件，根据最小势能原理，问题转化为确定wmn的值使总能量取最小值。总能量取极值的条件为

根据式（16）可以得到关于一组关于固有频率ω的线性齐次方程组，即

式中:L（ωmn）为一个含有ωmn的mn×mn大小的方阵；X为大小为m×n的向量，且有

式（17）有非零解则其系数行列式值必须为0，即

求解式（19）即可得到复合材料加筋板结构的固有角频率ω。为了与有限元分析结果进行对比，引入频率f与角频率ω的转换公式为

4 算例分析

考虑如图1中的加筋板结构，薄板使用石墨/环氧树脂复合材料，铺层数为21层，以（0/90/0）7形式铺设；加强筋材料使用Q235钢。层合板和加强筋的材料属性和几何参数如表1所示。

为了分析加筋情况对各阶振动频率和模态情况的影响，对复合材料加筋板的自由振动算例分别进行了MATLAB编程计算和ABAQUS有限元模拟，将两者结果进行对比，其中MATLAB程序计算流程如图2所示。

图2 加筋薄板固有频率MATLAB程序流程图Fig.2 Flowchart of MATLAB program for natural frequency of rib-reinforced composite laminates

根据表1的参数，基于ABAQUS软件建立了加筋薄板的有限元模型，10条横向筋和纵向筋与薄板之间利用tie模块绑定。为在满足分析精度要求的同时保证计算效率，在弯曲主导的薄板自由振动问题中有限元模型可以采用S4R壳单元，同时将网格尺寸从较大的初始值开始逐步缩小，进行试运算并对比结果，最终在保证精度和效率的前提下，控制薄板和加强筋网格尺寸为0.04 m，薄板共划分10 000个网格，每条加强筋共划分300个网格。

同时，基于表1给出的参数，利用能量法分别计算在同时添加10条横向筋和纵向筋的情况下加筋板自由振动的前1～6阶固有频率，并与有限元方法计算结果进行对比，具体计算结果如表2所示。从表2数据可以看出，能量法计算结果与有限元解吻合程度较高，大部分误差不超过6.13%，最大误差为14.06%。误差主要来源于有限元模型中加强筋和薄板的接触设定，在理论方法中使用加强筋和薄板的耦合弯曲刚度来表征其接触影响，存在一定误差，但仍在可接受范围内。图3给出了有限元分析中前1～6阶的振动模态，在薄板横向、纵向呈多个半波形状，且随着模态阶数的增加半波数逐渐增加，与假设的振动模态函数式（7）基本一致，验证了振动模态函数的正确性。

图3 加筋板自由振动模态Fig.3 Modes of free vibration of rib-reinforced composite laminates

表1 加筋板的材料属性和几何参数Tab.1 Material properties and geometric parameters of rib-reinforced composite laminate

表2 纵横各10条加筋层合板前1～6阶固有频率Tab.2 The first to sixth order vibration frequency of the laminates reinforced by 10 ribs in longitudinal and transverse direction

4.1 加强筋数目的影响

上文已经给出了纵横同时添加10条加强筋情况下四边简支加筋板的前1～6阶固有频率，下面将改变加强筋的数目、尺寸，探究不同加筋情况下的加筋板固有频率。

图4分别给出了当仅有横向加筋和仅有纵向加筋时，三种尺寸的加筋层合方板的1阶固有频率随加筋数目的变化曲线。从图4（a）可以看出:无论层合方板的尺寸大小，当加强筋的数目由0增加到10条时，层合板的固有频率迅速由无筋的固有频率增加到某一数值，之后频率的增幅非常平缓，直到在20～30条附近时达到最大值。比较加强筋数目为10和最大时的固有频率，不难发现二者的差值非常微小，表明最优加筋数为10，且与方板的几何尺寸无关。

此外，从图4（b）还可以观察出当分别仅在横向和纵向添加相同的筋数时，二者对固有频率影响的不同。以a=b=4 m为例，当分别仅在横向或纵向加10条筋时，加筋板的固有频率分别为21.844 Hz和16.529 Hz，而无加筋时层合板的固有频率为6.374 Hz，说明对于正交各向异性材料，应在刚度更大的方向加筋，对结构固有频率的影响更大。

图4 加强筋数目对不同尺寸层合板固有频率的影响曲线Fig.4 The curves of frequency with response to different size and number of rib of rib-reinforced composite laminates

4.2 加强筋几何参数的影响

当仅在横向添加10条加强筋时，给定加强筋的初始宽度和高度分别为bx=0.02 m，hx=0.1 m，分别改变加强筋的宽度和高度，对加筋板固有频率的影响如图5所示。从图5（a）中曲线可以看出，加强筋宽度对固有频率的影响有极限性，即在某一加筋数目前，固有频率随着加强筋的宽度增加而增加，当超过加筋数极值时再增加加强筋宽度，固有频率开始下降；相反，加筋板的固有频率与加强筋的高度成正比关系，同时加强筋高度的增加对固有频率的影响远大于加强筋宽度的增加。

图5 加强筋横截面几何参数对固有频率的影响曲线Fig.5 The curves of frequency with response to rib-reinforced composite laminates with different geometric parameters of rib

5 加筋优化方案

加强筋数目对加筋板固有频率的影响具有极限性，固有频率并不会随着加强筋数目的增加一直增加。图6给出了不同宽度加筋板固有频率随横向筋数目的变化曲线，可以看出，不同尺寸下的加筋板固有频率随横向筋数目的变化都存在极限性，但不同尺寸的加筋板，其固有频率出现极值的横向加筋数目也不一样。随着尺寸的增大，需要添加更多的加强筋，加筋板的固有频率才会达到峰值。而且，四种不同尺寸的层合板，在不加筋的情况下，固有频率相差不大，在曲线上升阶段可以看出，刚开始加筋时尺寸最小的层合板固有频率增幅最大，且增幅随着尺寸的减小而递减。

图6 不同宽度加筋板固有频率随横向筋数目的变化曲线Fig.6 The curves of frequency with response to rib-reinforced composite laminates with different width and number of rib in longitudinal direction

综合第4章的分析，总结得出加筋板的优化方案:

（1）对加筋层合板的自由振动而言，应优先在刚度较大的方向加筋来提高结构的固有频率；

（2）在加筋数一定的情况下，由于加强筋高度对结构固有频率有更大的影响，应优先考虑增加加强筋的高度来提高结构的固有频率；

（3）在满足工程需要时，可以选择尺寸更小的层合板，来提高加强筋的效率；

（4）对层合方板，加强筋数为10时的效果最优。过多的加强筋不仅无益于增加结构的频率，还会导致材料的浪费和结构质量的增加。

6 结 论

本文基于板壳力学对加筋复合材料层合板的自由振动特性进行了理论分析，通过运用能量法，对加筋层合板自由振动过程中应变能与动能之间的转换进行分析，建立了加筋层合板自由振动的特征方程。编写MATLAB程序求解加筋层合板的固有频率，并利用ABAQUS建立有限元模型获得数值解，与本文的理论结果相互对比验证。另外，还通过改变加强筋的数目、横截面尺寸参数，探究不同加筋情况对加筋层合板自由振动特性的影响，得出如下结论:

（1）基于Kirchhoff-Love薄板理论和能量法获得的加筋复合材料层合板的固有频率与有限元模型计算的结果高度吻合，二者的差值不超过14%，说明了理论计算方法的准确性与可靠性。

（2）加强筋数目对固有频率的影响有极限性，随着加强筋数目的增加，加筋层板的固有频率先增大后减小，并非一直增加。

（3）对于正交各向异性复合材料层合板，沿层合板弹性模量更大的方向加筋，对固有频率的影响更大。

（4）加强筋宽度对加筋层合板固有频率的影响具有极限性，随着加强筋宽度的增加，加筋层合板的固有频率先增加后减小，但加筋层合板的固有频率值与加强筋的高度成正比关系，会随着高度的增加一直增加。