中学数学教学中的质变与量变

高涵 赵华新

摘 要：文章首先就哲学与数学的关系进行讨论，然后引入哲学中具体的质变量变进行研究，指出在中学数学中质变量变的体现以及如何更好地将质变量变方法融合应用到中学数学教学当中。

关键词：哲学;量变质变;中学数学

基金项目：延安大学研究生教育教学改革项目（项目编号：YDYJG20190033）。

时代的飞速发展使得人们愈来愈看重知识的学习以及创新，数学中具有浓厚的哲学色彩，包含着丰富的哲学思想，如整体与部分、数形结合、抽象与具体、特殊与一般。数学与哲学密切相关，在中学的数学教学过程中，如何把握好数学和哲学的关系，对我们的教学显得尤为重要。

很多时候，数学与哲学是密不可分的，很多数学著作中体现出了哲学思想，同时很多哲学著作中也体现出了数学的思想。从古至今，有很多著名的数学家同时也是当时很有影响力的哲学家，他们不光研究数学，也研究哲学。比如马克思、恩格斯不仅确立了马克思的哲学思想，而且他们对数学的研究和发展也起到了重要的指导和推动作用。他们也直接研究过数学，在辩证法的研究中，他们直接考察了无穷小量[1]。

恩格斯还说过：“数学，是辩证的辅助工具和表现形式。”[2]可见哲学和数学，它们自诞生之日起就结下了不解之缘。哲学是研究世界上一切事物（当然也包括数学）普遍规律的学科，当哲学的研究方向指向数学领域之时，往往会发现数学研究所不能发现的规律。当人们无法用数学实现对事物的本质理解的时候，哲学往往具有很强的预见效果。这种理解常常指导人们，使人们能够正确地把握未来数学的发展方向。这里我们着重谈论哲学中唯物辩证法里的质变与量变问题。

一、质量互变规律在中学教材中的体现

物质辩证法认为，在事物内部矛盾的影响下，事物的发展有两种基本的变化形式：量变和质变。事物的发展始于量变，量变会导致质变。自然在变化，旧的事物变成新的事物 [3]，这是量变向质变的转化，基于新的质量，新的量变已经开始。量变带来质变，质变又带来新的量变，周而复始，无限循环，形成事物无限发展的过程。在中学数学的教学中，我们要善于运用这一规律，发现数学所体现的概念和定理，然后在课堂上有意识地培养学生的这种辩证思维。

在数学中，在纯量增加或减少到某个节点的情况下，就会出现从量变到质变的跳跃，这样的事例在中学数学中有不少体现。例如，在同学们学习数轴时，我们可以把0看作一个节点，它是唯一的中性数，越过这一点，数的领域将成为它的对立域。不仅在代数中如此，在几何中也是如此：图形中某种数量关系的变化会导致某一点的质变。在几何里，我们给定一个正方形，我们把正方形本身的性质看成一个节点，只要将其一组对边的长增加（或减少）一个任意小的长度，它的许多独特的性质立即被破坏或丧失，即也就是图形的性质起了质的变化。

我们在学习几何的时候，从二维向量到三维向量，甚至更多维向量，由于维数的增加，导致由量变引起了质变，使得平面变成了空间，甚至变成了更为抽象的“体”的概念，从而也就有了我们在认识立体图形的时候，在空间里要学会画出的图形的主视图、左视图和俯视图。

正如自然界中的变化是一个量变与质变不断积累的过程，量从量变到质变的转变是对变化过程本身的继承，在质变之后，又开始了新一轮的量变。在这种情况下，每次在某个时间点的所有更改都是基于先前的更改而开发的。像我们在中学数学解题时，我们最先讲解一道题简单的解法，随着知识层面的增加，到了一定的质点我们就可以引申出更加简单快捷高效的解题方法来进行求解，而往往这些解题方法也是大多数学生在求解数学问题时所要进行學习的。

二、质量互变规律在数学教学中的作用

量变质变规律我们最终都要在中学数学教学的课堂上实战应用，而此哲学规律又起着引导学生思维的重要作用。

（一）有利于形成清晰的数学概念

实际上，数学理论的教育过程是从量变到质变的过程，学生的学习过程也是从量变到质变的积累过程，相较于中学数学来说，学生容易对一些概念定理理解不清楚。比如从认识正数到逐步认识正分数、认识零，再逐步认识复数，在这一概念的认识过程中，数的大小变化就是量变。作为对数字、数学接触多的成人来说，数的大小变化很自然，而作为中学生从认识直观可数的数，到认识“看不见”“不存在”的数，再到逐步认识负数的意义，认识负数的性质，是质变。这整个过程，也正是由质变到量变的过程。

（二）有利于提升学生的数学解题能力

人们常说，实际上学习数学的目的就是“解决问题”，而解决问题的关键就是要找到合适的解决问题的思路。数学思维方法就是帮助构建解决问题思路的指导原则，对此，让学生掌握一些基本的思维方法，提高他们的元认知水平，是培养学生分析问题能力和解决问题能力的重要途径。例如在学习“角度”这一章节时，我们可以把90。的角度看成一个变化的节点，构造了这一思路之后，我们在学习锐角与钝角时，我们就说小于90。的角为锐角，大于90。的角为钝角。同学们把握清楚90。的角的概念之后，再进行引申学习锐角和钝角的概念。

再者我们在学习多边形的内角和这一节内容时，我们最开始学习的是三角形内角和，有了三角形内角和的知识之后，我们再对图形进行变化，把最开始三角形内角和为180。看成一个质的节点，对于多边形按照节点进行分割，看可以分成几个三角形，然后再乘以180。就是多边形的内角和了。

（三）有利于培养学生的数学思维能力

在学习“经过一点可以做多少条直线”这一节，定义是经过一点可以作无数条直线，而经过两点，却只能作唯一的一条直线。我们可以引申：经过三个点，甚至更多的点呢？这样可以锻炼同学们的数学思维，即它可能作出唯一的一条直线，也可能作不出任何一条直线。再有圆规作图时，我们说经过一点或两点，可以作出无数个圆，而经过不共线的三点，却只能作出唯一的一个圆。这里，点的个数变化就是量变，而能否作出唯一的一个圆却是质变。也就是说，可以以在数学课程中慢慢渗透质量互变的理念，让学生的分析和解决问题的基本能力有一个质的飞跃。

（四）有助于激发学生数学学习的浓厚兴趣

大多数学生学习数学时，总感觉数学枯燥乏味，这大大降低了他们对于数学学习的兴趣，而质量互变在于引导学生发现其中质和量的点，能够变枯燥为有趣，从而让学生发现数学的魅力，增加他们对数学知识探索的兴趣，化抽象为简单，这样也可以大大提高学生们的成绩。质变量变方法进行教学的关键在于从最简单的节点出发，然后进行引申扩展，从一个点到多个点，从一种解题方法到另一种解题方法，激发学生对数学的探索求知精神，从而更加喜欢数学。

当然，在数学课中引入哲学思想时，教师应该首先要精心设计和有机结合知识，更重要的是有意识地、巧妙地启发学生理解数学的各种定理和哲学思想，不要只是机械地使用它，比如一些数学解题思路学生习惯死记硬背，稍微改变一下题目形式学生往往容易出错。数学思想方法的教学不仅体现在教材中，也体现在教师教学的课堂上，希望在此基础上，教师继续对数学思想的有效教学进行不断探索，能灵活运用哲学思想于我们的教学中才是我们的最终目的。

参考文献

[1]董毅.浅论数学与哲学的紧密联系[J].合肥教育学院学报，2002，18（02）：15-16.

[2]张景中.数学与哲学[M].大连：大连理工大学出版社，2008.

[3]赵冬，丁黎明.哲学思想在数学教学中的应用[J].淮北职业技术学院学报，2014，13（6）：61-62.