走进高中数学问题教学法——以《函数的单调性》为例

黄秀平

摘 要：问题教学模式是开展课堂教学、发展学生思维的有效方法之一，数学教学中实施问题教学法，有助于培养学生的主体意识、主动精神和创新能力。本文结合平时教学实际，通过以问题引新知、以问题探新知、以问题固新知三个方面阐释数学教学中运用问题教学法的一些见解，希望对当前的数学教学有所帮助。

关键词：数学教学;问题教学法;应用

問题教学模式是开展课堂教学、发展学生思维的有效方法之一，主要是教学中要突出学生主体的地位，以问题为导向，引导学生自主探究的学习，使学生具备在复杂的环境中捕捉新知识、加工和处理新信息的能力。这种教学方法旨在通过学生的自主探究的学习，以“问题”为线索，使学生在“问题”的启示下，找到解决问题的途径，有助于培养学生的主体意识、主动精神和创新能力，有效地落实数学学科的核心素养。因此，在数学实际教学中，我们要重视运用问题教学法，激发学生学习数学的兴趣，从而提高教学效果。

一、以问题引新知

学习新课中，教师应当充分了解学生以往学过的数学知识，在原有学习的基础上，根据学生认知的特点，设置问题，引发学生思考，激发学生学习新知的欲望，使学生快速进入探索问题情境，为探索新知识做好铺垫。例如在教授《函数的单调性》中，我设置“忆前.思后”两个问题，引导学生将已有的知识经验与即将学习的内容联系起来，从而有效地进入探究新知识的学习。

（一）忆前

函数是怎么定义的？有哪些表示法？

函数的定义：设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：。

函数的表示法：解析法、图像法、列表法

（二）思后：

分析研究函数性质的原因是什么？函数的性质是什么？函数的性质主要有哪些？怎样发现函数的性质？

教师把这些问题抛给学生，让学生自主合作探究，层层诱导，对学生提出的观点，不断补充修正，使问题与学生已有的知识经验联系起来，使学生加深对当前问题的理解，找到解决问题的方法和途径，从而引起新知。

二、以问题探新知

在教授新课中，教师在运用问题教学法应该突出学生主体地位，积极为学生创设合作探究的氛围，鼓励学生大胆提出自己的质疑，通过独立思考、实践探索，寻求解决问题的方法。这个过程，教师要积极参与学生之中进行探究，了解学生的思维过程，及时引导和点拨学生的发现困惑，帮助学生解决困惑、获得新知，在提高教学效率同时有效落实核心素养。例如：在教授《函数的单调性》中我设置了以下几个问题，并以此组织学生进行探究学习。

问题1：请认真观察下图函数的图像（图1），探求函数图像的特征并分析函数性质。

这个过程，教师利用PPT展示函数图像，引导学生从左到右，认真观察图像后回答问题，教师进行总结，不断补充修正学生的答案，指出：函数图像所反映的特点就是函数的性质。本节课将研究定量刻画函数图像的上升或者下降这一变化规律。

设计意图：从学生熟悉的图像直观和自然语言的定性刻画出发，学习定量刻画函数的单调性，明确了学习目标。

问题2：这个函数的图像是怎么变化的？初中是怎么描述函数值随自变量的变化情况？

设计意图：复习初中学过的图像直观和自然语言描述函数的单调性

教师活动：教师利用几何画板展示移动点A的过程，学生观察点A的横、纵坐标的变化情况，

学生得出图像在y轴左侧部分从左往右是下降的，y随x的增大而减小。

追问1：可以用什么式子来表示“y轴左侧”？如何理解“y随x的增大而减小”？

教师活动：教师利用几何画板中函数的图像，当x≤0时，任意改变点A、B的位置（保持点A的横坐标小于点B的横坐标），学生关注移动过程中A、B的纵坐标的大小关系，理解了“y随x的增大而减小”

追问2：如何用式子（符号语言）表示“y随x的增大而减小”？

师生活动：教师根据学生的回应启发学生得出：只要时，就有

追问3：大家觉得更严谨的表达应该是怎样的？

师生活动：让学生说出符号语言描述：当时，有，就说函数在区间上是单调递减的;

教师总结：这里，我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即就把“无穷”的问题转化为具体可操作的有限过程，这就是数学抽象和形式化的力量。

追问4：大家能模仿上述方法，给出“当x≥0，y随x的增大而增大”的符号语言描述吗？

师生活动：让学生说出符号语言描述：当时，有，就说函数在区间上是单调递增的;

追问5：大家能模仿上述过程，用符号语言描述函数和的单调性吗？

师生活动：教师几何画板展示和的图像，引导学生说出这两个函数的单调性。

（一）函数的单调性定义和单调函数、单调区间的定义

问题3：请大家归纳关于函数、和的单调性的刻画方法，给出函数y=f（x）在区间D上单调性的符号语言描述.

师生活动：由学生独立完成、小组讨论、全班交流后，教师给出了严格的单调性定义表述.

函数的单调性定义：设f（x）的定义域为I，区间：

如果当时，都有，那么就称f（x）在区间D上单调递增;

如果当时，都有，那么就称f（x）在区间D上单调递减。

追问1：有没有存在在整个定义域上单调递增或者递减的函数？你能举出这样的函数吗？

单调函数：当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数;

当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数;

单调性：如果函数y=f（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f（x）在这个区间具有（严格）的单调性，区间D叫作y=f（x）的单调区间。

追问：函数和是否为单调函数？你能指出各自的单调区间吗？

（二）单调性定义的辨析与思考

问题4：辨析与思考

（1）函数f（x）=x2，因为-1<2，且f（-1）

（2）函数在上是减函数（ ）

（3）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且当时，都有，我们能说函数f（x）在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？

（4）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一个区间上单调递减的函数例子吗？

[化解疑难]

1.x1，x2的三个特征

（1）任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换;

（2）有大小，即任取的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1

（3）x1，x2同属一个单调区间.

2.理解函数的单调性应注意的问题

（1）函数的单调区间是其定义域的子集，因为函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上。

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性.

（3）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接.如函数y=1x在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递减，却不能表述为：函数y=1x在（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递减.

（4）并非所有的函数都具有单调性.如函数就不具有单调性.

三、以问题固新知

以问题固新知，主要是通过设置问题，引导学生回顾所学的知识，组织学生对问题分析评价、归纳总结、引申和反思，以加深学生对所学的知识的理解。这个过程，通过问题，组织学生展示自己的收获和启示，引导学生对问题的解决过程、方法进行评价，将相关或相似问题进行推广，从而提升教学效果。如在本课最后，我设计以下活动，让学生讨论，在讨论中歸纳总结，有效地培养了自身的素养。

问题5：回答下列问题：

（一）函数的单调性定义是什么？什么叫单调函数？什么是单调区间？

（二）你认为在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题？

（三）利用函数的单调性定义证明的步骤是什么？

（四）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？

师生活动：在学生独立思考的基础上，全班归纳，教师引导。

设计意图：

1.让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数、单调函数、单调区间的概念，通过举例进一步把握函数单调性的要点;

2.引导学生进一步理解函数的单调区间是定义域的子集，对且的强调，以及如何对的代数变形;

3.明确利用函数的单调性定义证明和判断函数的单调性的步骤;

4.使学生体会“从图像直观----自然语言定性刻画---符号语言定量刻画”的研究思路，得到了函数性质严谨的数学表达。

追问：你是否可以仿照本节的学习过程，对函数其他的性质进行研究？

这节，通过问题的引导，梳理学习的知识点，归纳所学的知识，既有效整合了零碎知识，又突出主要问题，培养了学生的总结归纳能力，提升学生的素养。

结束语

问题教学模式能够有效落实数学学科核心素养。教学中，教师要充分体现学生的主体地位，不仅要把问题问到“点子上”，而且要把问题问到“节骨眼”上。所提问题要符合学生的认知规律，反映“干什么”，做到很强的指向性。这样，学生明确了学习目标，领会了教师的教学意图，从而促进高中数学教学有效性的提升，有效落实核心素养。

参考文献

[1]王云寿.浅析问题情境教学法在高中数学教学中的应用[J]中国校外教育，，2018（32）：59-60.

[2]王成.问题教学法在高中数学教学中的应用[J]甘肃教育，2018（21）：110.

[3]朱伦.情境教学法在高中数学教学实践中的应用研究[J]课程教育研究，2017（13）：146.