借助特殊值 打开数学解题“突破口”

林丽娟

摘 要：高中数学习题题型灵活多变，解题思路多种多样。部分习题采用常规做法较为繁琐，而且容易出错。为更好地提高数学解题效率，应具体问题具体分析，尤其应注重特殊值的应用，更好地揭示的数学规律、参数关系，迅速地找到解题突破口。教学中为提高学生运用特殊值解题的技巧，应注重为学生做好相关例题的讲解。

关键词：高中数学;特殊值;解题;突破口

特殊值法指通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法。特殊值法在高中数学解题中有着广泛的应用。为提高学生运用特殊值解题的意识与能力，教学中既要做好相关理论讲解，又要为学生展示特殊值在解题中的具体应用，不断提高学生运用特殊值解题的水平与能力。

一、借助特殊值，突破不等式习题

不等式是高中数学的重要知识点之一，是高考的必考点。高考中既可以小题的形式单独考查不等式知识，也可以与解答题结合起来考查学生综合分析问题的能力。当其以选择题或填空题的形式出现在考题中时，解题的方法较为灵活。其中运用特殊值，巧妙的代入到相关参数中，能直观地看到一些表达式的大小关系。为使学生借助特殊值，高效的解答相关习题，教学中应注重讲解相关例题，给学生带来解题的启发，指引学生在以后的解题中能具体问题具体分析，尤其突破思维定式，注重特殊值的应用。如下题：

若a>b>0且ab=1，则以下不等式成立的是（ ）

A.a+<

B.

C.a+

D.log2（a+b）

该题目考查了不等式的相关知识，给出的题干条件较少，如采用常规方法，需要进行大量的分析，效率较低，而采用特殊值法可很快的得出正确答案。

因ab的具体值未知，因此可取满足题设条件的特殊值，令a=2，b=，则a+=4，=，log2（a+b）=log2，而1

二、借助特殊值，突破三角函数习题

高中数学中的三角函数部分涵盖很多的知识点以及计算公式。部分习题常将三角函数知识与其他知识点结合起来，解题难度进一步提升。解答三角函数习题常用的知识有三角函数性质、各类三角函数公式。事实上部分习题如采用常规思路，虽然能够解答出来，但过程复杂，计算繁琐，花费时间长，因此在解题中应具备灵活的思维，通过认真审题，充分把握给出的已知条件，通过特殊值的应用，更好地揭示相关规律，达到简化计算，高效解题的目的。如下题：

若α∈[0，π]，β∈[-，]，λ∈R，且（α-）3-cosα-2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（+β）=（ ）

A.0 B. C. D.

该习题中涉及三个参数以及三次方，难度较大，采用常规做法难以入手。解题时可运用特殊值减少参数个数，运用所学函数知识加以巧妙的突破。

∵λ∈R，取λ=0，则题干中的等式变为（α-）3-cosα=0，4β3+sinβcosβ=0，观察两个等式，结合三角函数知识，继续运用特殊值，即，α取，β取0，则cos（+β）=cos=，选择D项。

三、借助特殊值，突破数列习题

数列是高中数学中较为抽象的知识点，对学生的理解能力要求较高，尤其部分习题解题的灵活性较强。为更好地提高学生解答数列习题的能力，帮助其树立解答数列习题的自信，既要注重数列基本概念、基本性质以及常规解题思路的讲解，使其掌握通法通解，又要注重提醒学生特殊值的应用，尤其为使学生掌握特殊值在解题中的应用思路，应做好数列习题题型的汇总以及经典例题的讲解，使其认识到遇到等差数列时可考虑各项均为某一值的常数列。如下题：

已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0，S2m-1=38，则m的值为（ ）

A.38 B.20 C.10 D.9

该题目若运用等差数列的相关性质进行计算，较为繁琐，花费时间较长。为提高解题效率和使用特殊值法进行解答。

因常数列属于等差数列，因此可将数列{an}看成是各项为x的常数列，∵am-1+am+1-am2=0，则x+x-x2=0，解得x=2或x=0，但當x=0时，Sn=0，与S2m-1=38矛盾，因此，x=2。显然当n=19时，Sn=38，即，2m-1=19，m=10，选择C项。

四、借助特殊值，突破函数习题

函数在高中数学中占有重要地位，是高中数学的重点、难点知识。高中数学函数习题复杂多变，习题的命题角度以及考查的知识点也不尽相同。部分习题有多种解法，不同解法的难易程度、花费的时间不同。在考试中应选择能够节省时间、解题正确率又高的方法，这就需要应用一定的解题技巧。其中借助特殊值往往能够达到事半功倍的解题效果。为使学生更好地突破函数类的习题，既要注重讲解相关例题，又要鼓励学生学会学习，做好听课的总结与反思，把握特殊值在解答不同函数习题中的细节以及注意事项，既要学会审题，充分挖掘隐含条件，又要避免掉进出题人设计的陷阱中。如下题：

已知函数f（x）=|ex+|（a∈R，e是自然对数的底数）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围为（）

A.[0，1]        B.[-1，0]

C.[-1，1]        D.（-∞，-e2]∪[e2，+∞）

该题目若采用常规方法难度较大，解答该题从给出的选项入手，采用特殊值法能够少走弯路，提高解题效率。

给出的四个选项中只有D项不包含0，则取a=0，则f（x）=|ex|，由指数函数的性质可知其在[0，1]上单调递增，首先排除D项。观察A、B、C三个选项，A项含有1，B项含有-1，C项含有1和-1，因此，可分别取a=1，a=-1进行分析。当a=1时，f（x）=ex+，则f'（x）=ex-，在区间[0，1]上f'（x）>0，f（x）单调递增，满足题意;当a=-1时，

f（x）=ex-，则f'（x）=ex+。在区间[0，1]上f'（x）>0，f（x）单调递增，满足题意。综上a=1和a=-1均满足题意，因此，选择C项。

五、借助特殊值，突破圆锥曲线习题

高中数学圆锥曲线类型的习题往往会涉及复杂的运算，导致一些学生望而生畏。部分学生在测试中遇到圆锥曲线类型的习题往往“绕着走”。教学中为增强学生的解题自信，既要做好说服教育工作，使学生不能胆怯，树立必胜的信心，又要注重讲解相关的解题技巧，尤其应注重特殊值的讲解，通过给相关参数赋予特殊值化难为易，化特殊为一般，更好地揭示出相关参数之间的规律，达到高效解题的目的。为使学生在解题中学会特殊值的应用，应做好相关例题的剖析。如下题：

已知双曲线M和双曲线N的中心都为坐标原点，对称轴均为坐标轴，两者的离心率分别为e1，e2，若双曲线M的实轴长是双曲线N是实轴长的两倍，两者的虚轴长相等，则点（e1，e2）必在（ ）

A.双曲线4x2-y2=3上B.双曲线y2-4x2=3上C.椭圆4x2+y2=3上D.椭圆x2-4y2=3上

双曲线类型的习题与计算繁琐而著称。该题如采用常规方法分别设出两个双曲线，研究两个双曲线离心率之间的关系，计算量较大，在考试中不可取。根据题意不妨采用特殊值法进行解答。

根据题意令双曲线M的方程为：-y2=1，离心率e1=，双曲线N的方程为：x2-y2=1，离心率e2=，将点（，），分别带入给出的四个选项之中，发现只有A项满足，因此，选择A项。

结束语

高中数学解题方法多种多样，其中特殊值体现的是由特殊到一般的思想，用于解题中可提高解题效率以及解题正确率，因此，教学中应做好不同数学题型的汇总，并结合不同题型为学生讲解特殊值的应用，拓展学生的解题视野。同时，围绕某一题型，通过优选相关的习题，组织学生开展针对性的训练活动，鼓励其做好训练的总结、反思，及时查漏补缺，使其掌握特殊值在不同习题中的应用技巧，在以后遇到相关的习题能够首先想到运用特殊值加以突破。

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