千姿百态的等边三角形

李苏娟

真题呈现

例1（2020·贵州·黔东南·第25题①）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明;若不全等，请说明理由.

追根溯源

八年级上册第83页第12题：如图2，△ABD，△AEC都是等边三角形. 求证：BE = DC.

本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质. 教科书中多次出现这个基本图形.

破解策略

解例1的关键是寻找或构造基本图形，再运用基本图形的有关知识不难找到解题路径. 求解例1需熟知的两个基本图形是等边三角形模型（图3）和手拉手全等三角形模型（图4）.

解析：如图1，△BCD与△ACE全等. 理由：

[∵△ABC]和[△DCE]都是等边三角形，[∴AC=BC]，[DC=EC]，[∠ACB=∠DCE=60°]，

[∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD]，即[∠BCD=∠ACE].

在[△BCD]和[△ACE]中，∵CD = CE，[∠BCD=∠ACE]，BC = AC，[∴△BCD≌△ACE]（SAS）.

原題延伸

变式1 转动图1中△CDE的位置，使点B，C，E在一条直线上，设出BD，AE与两个等边三角形的边AC，DC的交点.

例2 如图5，C为线段BE上一动点（不与点B，E重合），在BE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，BD与AE交于点O，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N，连接MN. 以下五个结论：① BD = AE; ② MN[⫽]BE;③ BM = AN;④ DE = DM;⑤ ∠BPA = 60°. 恒成立的有_________（把你认为正确的序号都填上）.

解析：∵△ABC与△DCE为等边三角形，

∴CD = CE，AC = BC，∠BCD = ∠ACE = 120°，

∴△BCD ≌ △ACE，∴BD = AE. 故①正确.

∵△ABC为等边三角形，∴AC = BC，∠ACB = ∠DCE = 60°.

∴∠ACD = 180° - ∠BCA - ∠DCE = 180° - 60° - 60° = 60°.

∵△BCD ≌ △ACE，∴∠DBE = ∠CAE，∴△BCM ≌ △ACN，

∴MC = CN，∴△MCN为等边三角形，∴∠MNC = ∠NCE = 60°，∴MN[⫽]BE. 故②正确.

∵△MNC是等边三角形，∴CN = CM.

∵∠BCM = ∠ACN，BC = AC，∴△BMC ≌ △ANC，∴BM = AN. 故③正确.

∵DC = DE，∠MCN = ∠CMN = 60°，∴∠DMC>60°，∴DM ≠ DC，即DM ≠ DE. 故④错误.

∵∠CBM = ∠PAM，∠ABC = 60°，∴∠ABM + ∠PAM = 60°.

∵∠ABC = 60°，∴∠BPA = 180° - （∠ABM + ∠PAM） - ∠BAC = 60°. 故⑤正确. 因此填①②③⑤.

变式2 在图5中，取BD，AE的中点、三等分点、四等分点、……判断分点与点C组成的三角形的形状.

例3 如图6，△ABC，△ECD都是等边三角形，且B，C，E在一条直线上，连接BD，AE，点M，N分别是线段BD，AE上的两点，且BM = [13]BD，AN = [13]AE，则△CMN的形状是（ ）.

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形

解析：同变式1，先证明△BCD ≌ △ACE，得到BD = AE，

再由BM = [13]BD，AN = [13]AE，得到BM = AN，

再证明△BMC ≌ △ANC，得到[∠BCM=∠ACN]，[MC=NC]，

∴[∠BCM+∠ACM=∠ACN+∠ACM=60°]，

∴[△CMN]是等边三角形. 故选C.

变式3 将图1中一个等边三角形的两边去掉，变为最值问题.

例4 如图7，D是等边三角形ABC外一点. 若BD = 8，CD = 6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为_________.

解析：以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE.

∵CE = CD，CB = CA，∠ECD = ∠BCA = 60°，∴∠ECB = ∠DCA，

∴△ECB ≌ △DCA（SAS），∴BE = AD.

∵DE = CD = 6，BD = 8，∴8 - 6 ≤ BE ≤ 8 + 6，∴2 ≤ BE ≤ 14，

∴2 ≤ AD ≤ 14. ∴AD的最大值与最小值的差为12.

变式4 将等边三角形改为顶角相等的等腰三角形，例1的结论成立. （请同学们尝试证明）

同步演练

（1）如图9，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC. 求∠AEB;（2）△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），如图10，求∠AEB.

答案：（1）60°  （2）60°

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）