多孔介质中的Darcy方程组解的连续依赖性

石金诚 ,肖胜中

(1.广州华商学院 数据科学学院,广东广州 511300;2.广东农工商职业技术学院 科研处，广东广州 510507)

§1 引言

Straughan和Hutter在文献[1]中提出了描述多孔介质中的具有Soret效应的不可压缩的对流扩散方程,这类方程具有双扩散效应,而且在推导过程中采用Darcy逼近,通常称这类方程为Darcy方程,有关Darcy方程的详细介绍可见文献[2-3].本文所讨论的连续依赖性属于偏微分方程结构稳定性研究的一个方面.相比传统的稳定性,结构稳定性主要强调模型本身的变化对模型解的影响,而不是初始数据的变化对解的影响.有关结构稳定性的本质可见文献[4].

近年来,多孔介质中流体方程组解的性态研究是数学与力学领域的热点问题,目前已有的研究主要集中在Brinkman,Darcy和Forchheimer方程组上.在Nield和Beijan[2]以及Straughan[3]的著作中讨论了多孔介质中的这些模型.文献[5]讨论了Darcy方程组的Saint-Venant原则.关于Brinkman,Darcy,Forchheimer和其他多孔介质方程的最新研究主要集中在结构稳定性上,Franchi和Straughan[6],Lin和Payne[7],Chen和Liu[8]等人已有一些研究进展,文献[9-17]也得到了一些新的结果.本文考虑Darcy方程组

其中ui,p,T,C分别表示为速度,压强,温度和盐浓度.gi(x)和hi(x)为重力函数,且|g|,|h|,|∇g|,|∇h|≤1.Δ为拉普拉斯算子.σ是Soret系数且是大于零的常数.

方程组(1)在Ω×[0,τ]区域内成立,其中Ω是R3中的一个有界单连通的星形区域,τ是给定的常数且0≤τ ≤∞.其边界条件为

此外，初始条件为

本文研究了方程组(1)的解对Soret系数σ的连续依赖性.以往的文献在处理此类问题时,往往需要借助温度与盐浓度的最大值,去处理交叉项的估计.而在本文中,由于盐浓度所满足的方程含有Soret项,导致无法得到盐浓度的最大值.利用盐浓度的四阶范数估计,得到了交叉项的估计,从而很好的解决了这个难题.为了得到盐浓度的四阶范数估计,所构造的辅助函数是本文的最大创新之处.同时巧妙的运用H¨older不等式与Sobolev不等式也是本文的另一特色.

本文采取以下符号约定,用逗号表示求偏导,用,i表示对xi求偏导,如:u,i表示为,重复指标表示求和,.

§2 先验估计

本节得到一些温度T和盐浓度C的先验估计.

引理2.1对于可微的函数Ψ=Ψ(x,t),有如下估计

其中ε0是任意大于零的常数.

证对于可微的函数Ψ=Ψ(x,t),(x,t)∈Ω ×[0,τ],由散度定理,可知

由于Ω是有界单连通的星形区域,设,，则

对式(6)利用Schwarz不等式,可得

其中ε0是任意大于零的常数.

引理2.2对于温度T和盐浓度C,有如下估计

其中k1是大于零的常数,m1(t)是单调递增且大于零的函数.

证在方程(1)3两边同时乘以4T3,并在Ω上积分,可得

式(8)左边第二项,由散度定理和式(2),可得

式(8)右边第一项,由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

联合式(8)-(10),可得

式(4)中,取Ψ=T,ε0=3,可得

联合式(11)和(12),可得

在方程(1)4两边同时乘以4C3,并在Ω上积分,可得

式(14)右边第一项,由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

式(14)右边第二项,由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

其中ε1是任意大于零的常数.

式(4)中,取Ψ=C2,可得

联合式(14)-(17),可得

由方程(1)3和(1)4,可知

式(19)右边第一项,由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

其中ε2是任意大于零的常数.

式(19)右边第二项,由散度定理和式(2),可得

式(19)右边第三项,由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

式(19)右边第四项,由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

其中ε3,ε4是任意大于零的常数.

联合式(19)-(23),并由式(4),可得

其中ε5,ε6是任意大于零的常数.

联合式(13),(18)和(24),可得

其中k1,k2是任意大于零的常数.式(25)中取

其中k7,k8均为可计算大于零的常数.

对式(26)两边同时从0到t积分,并由Gronwall不等式,可得

其中

引理2.3对于温度T,有如下估计

其中m2(t)是大于零的函数.

证在方程(1)3两边同时乘以2T,并在Ω上积分,可得

式(29),由散度定理,式(2),H¨older不等式和算术几何平均不等式,可得

式(4)中,取Ψ=T,ε0=1,可得

联合式(30)和(31),可得

对式(32)两边同时从0到t积分,可得

由式(33)和Gronwall不等式,可得

将式(34)代入(33),可得

其中

§3 解对Soret系数的连续依赖性

假设(ui,T,C,p)是如下Darcy方程组的解

边界条件为

初始条件为

此外假设(是如下Darcy方程组的解

边界条件为

初始条件为

定义解的差

则(ωi,θ,S,π)满足如下初边值问题

边界条件为

初始条件为

定理3.1设(ui,T,C,p)为初边值问题式(36)-(38)的经典解,(为初边值问题式(39)-(41)的经典解,(ωi,θ,S,π)是这两个解的差.当Soret系数差σ趋于0时,解(ui,T,C,p) 收敛于解(.而且解的差(ωi,θ,S,π)满足

其中k9,k10是大于零的常数,m3(t)是大于零的函数.

证在方程(42)1两边同时对xj求偏导,然后乘以(ωi,j −ωj,i),并在Ω上积分,由式(43),H¨older不等式和算术几何平均不等式,可得

由式(43),散度定理,可得

联合式(46)和(47),可得

在方程(42)3两边同时乘以2θ,并在Ω上积分,可得

对于式(49)左边第二项,由散度定理和式(43),可得

对于式(49)右边第一项,由散度定理和式(43),可得

联合式(49)-(51),并由散度定理和H¨older不等式,可得

运用[18]的结论,由于ωi=0,(x,t)∈∂Ω ×[0,τ],可知

其中c2是大于零的常数.联合式(7),(52)和(53),可得

在方程(42)4两边同时乘以2S,并在Ω上积分,可得

对于式(55)右边三项,由散度定理,式(37)和式(43),可得

对于式(55)左边第二项,由散度定理和式(43),可得

联合式(55)-(57),可得

在式(58)中运用H¨older不等式和Young不等式,可得

联合式(7),(53)和(59),可得

联合式(48),(54)和(60),可得

其中k9,k10是任意大于零的常数.

由式(61)，可得

式(62)两边同时从0到t积分,由式(28),可得

式(63),由Gronwall不等式,可得

不等式(64)表明,当Soret系数差σ趋于0时,解(ui,T,C,p)收敛于解(.

§4 结论

本文研究了方程组的解对Soret系数σ的连续依赖性结果.采用文中的方法,同样可以得到解对其他系数的连续依赖性结果.后续将考虑在有界区域内解对边界系数的连续依赖性与收敛性结果.由于本文中的速度所满足的方程是线性方程,能够得到梯度的估计,接着将讨论速度所满足的方程是非线性方程的情况,此时如何得到梯度的估计将会是很困难的事情,如何克服这些困难,将会在后续论文中进行研究.