基于波数－频率谱的腔体流动自持续振荡频率研究

倪小松，肖新标，刘浩楠

基于波数－频率谱的腔体流动自持续振荡频率研究

倪小松，肖新标*，刘浩楠

（西南交通大学 牵引动力国家重点试验室，四川 成都 610031）

在目前普遍认可及广泛应用的腔体流动自持续振荡噪声频率预测方法Rossiter半经验公式中，只给出了经验常数的推荐值，并没有给出具体的计算方法。为此，本文采用数值模拟的方法确定值。首先，采用LES湍流模型建立腔体自持续振荡噪声预测模型。进而，分析腔体内部监测点，得到前三阶噪声峰值频率，并与取推荐值（0.57）的Rossiter公式预测频率进行对比，预测结果存在一定的误差。然后，通过分析腔体后缘湍流脉动压力的波数－频率谱，得到值为0.63并代入Rossiter公式，得到前三阶噪声峰值频率并与数值模拟结果吻合较好。结果表明，利用分析湍流脉动压力的波数－频率谱确定经验常数的方法是可行的，并且能够提高Rossiter公式预测频率的准确性。

腔体流致噪声；峰值频率；Rossiter公式；波数－频率谱

腔体结构广泛存在于航空航天、航海、汽车、轨道交通等领域，如战机上的武器舱、船舶上的流水孔、汽车的天窗以及高速列车的车厢连接处。当腔体结构高速运行时，来流撞击到腔体后缘，复杂的反馈过程会使空腔上方剪切层形成持续振荡，从而导致空腔产生强烈的噪声，属于简单的流体动力学作用。当剪切层的自持续振荡频率与腔体结构的声学特性（Helmholtz共振或声学驻波模态）发生耦合时，腔体的噪声峰值将进一步加大，属于流体声学共振作用。当剪切层的自持续振荡频率与腔体自身结构的振动固有模态发生耦合时，会产生强烈的峰值噪声且加速腔体结构的疲劳，属于流体弹性作用[1-2]。在流体声学作用和流体弹性作用中，剪切层自持续振荡都起到了一个“放大”的作用。为控制腔内噪声以及延长腔体结构寿命，剪切层自持续振荡频率和机理一直是广大学者研究的热点。1964年，Rossiter[3]在对投弹舱噪声进行研究时推导出了预测剪切层自持续振荡频率的半经验公式，并将经验公式与试验数据对比，证明了公式的准确性。

Rossiter公式自被提出以来，就受到相关学者的广泛应用和认可，但对于公式中两个经验常数（相位延迟系数）和（湍流运动速度与自由来流速度之比）Rossiter并未明确给定。一般情况下取0.25[3-4]；而的取值对预测结果有着重大影响，实际上是一个范围值，它与腔体前缘湍流边界层厚度和腔体开口长度有关，一般需要通过试验测得。East等[4]通过试验测得该值的范围为0.35～0.6；Ma等[5]研究以往的流致共振总结出的范围则比East的小，为0.22～0.43。

通过风洞试验的方法虽然能够准确计算出值，但腔体结构样件制作麻烦，且风洞试验成本昂贵，会耗费大量的财力物力。随着计算机的发展，数值模拟能大幅度降低研发成本，提高产品质量[6]。CFD（Computational Fluid Dynamics，计算流体动力学）已经逐渐成为研究腔体流动效应的重要途径。Daude等[7]采用大涡模拟（LES，Large Eddy Simulation）的方法对空腔流动中不稳定性的被动控制进行了研究并与试验数据对比，证明了LES方法的可靠性。杨国晶[8]采用LES方法对陷下式腔体的流动特性进行了一系列的参数调查，并与试验结果相比较，证明了数值模拟的准确性。Li等[9]采用隐式LES方法研究了矩形腔体在来流马赫数大于1时涡脱落和声激励的关系，结果验证了声激励的反馈是腔体形成自持续振荡的主要原因。邓玉清等[10]采用LES方法对腔体壁面湍流脉动压力进行监测并得到其波数－频率谱，并从波数频率谱中得到湍流运动速度和能量分布等结果。

可见，数值模拟在研究腔体流动问题上得到了学者的认可，且在试验中也得到了验证。因此，在腔体设计前期为了节约风洞试验成本，本文提出采用LES方法，通过计算腔体后缘壁面湍流脉动压力，得到湍流脉动压力的波数－频率谱，通过分析湍流脉动压力的波数－频率谱，得到湍流的运动速度，从而确定Rossiter公式中的值，提高涡脱频率预测的准确性。

1 Rossiter公式与计算方法

1.1 Rossiter公式

涡撞击到腔体后缘产生的声涡将会向上游运动，引发腔体前缘涡脱落，该涡运动到腔体后缘时又会产生声涡，如此往复循环形成腔体的自持续振荡，如图1所示。图中：λ为声波波长，λ为涡的波长，即两个涡之间的间距。在初始时间＝0时，向上传播的声波的相位假定为零，并且腔体跨越n个完整的波长λ，这时，距离腔体后缘γλ（γ为两运动之间的相位差）处有一个涡；当＝时，涡继续以运动速度kU向下游行进，向上游传播的声到达上游进而诱发新涡的产生。

以上涡和声的运动，存在着以下的关系：

式中：为腔体自持续振荡频率，Hz；为声速，m/s；U为涡的运动速度，m/s；U声涡的运动速度，m/s；m、m分别为声波和涡的波数，皆为整数。

图1 Rossiter涡脱分析示意图[3]

结合式（1）～（3）可得：

令：

式（4）即可化为Rossiter公式：

式中：为自由来流速度，m/s；为腔体流向长度，m；为模态阶数；常数为相位延迟系数；为湍流运动速度与自由来流速度之比；为马赫数。

1.2 大涡模拟方法（LES）

LES是对湍流脉动的一种空间平均，通过采用某种滤波函数将大尺度的涡和小尺度的涡分开，对大尺度的涡直接进行Navier-Stokes方程的求解，小尺度的涡用模型来封闭，从而减小计算成本。对于过滤掉的小尺度涡，通过引入亚格子（SubGrid-Scale，SGS）模型附加应力项来体现其对大尺度涡的影响。

则：

对Navier-Stokes方程进行滤波，则有：

根据Smagorinsky的基本SGS模型，假定SGS应力具有下面的形式：

2 简易腔体的建模

研究表明[11]，腔体长深比小于1时，腔体剪切层自持续振荡很容易与腔体自身的声学模态发生耦合作用。为避免发生流体声学作用而仅考虑流体动力学作用，本文腔体计算模型长宽比1.5:1。如图2所示，腔体长900 mm、高600 mm。在腔体内部设置了1个监测点用来监测腔体内部脉动压力的变化。为得到湍流涡运动速度，在腔体后缘中心线位置设置了一个湍流脉动压力监测阵列用以进行波数－频率谱分析，阵列由48个监测点组成，相邻两个监测点的间距为4.22 mm，如图3所示。

图2 腔体几何模型（单位：mm）

图3 计算域与脉动压力监测点（单位：mm）

如图4所示，采用ICEM进行网格划分，整个计算域采用非结构网格划分，最大网格尺寸为70 mm，为了准确捕捉到腔体内部和附近的流场特征，对腔体附近流场区域采用网格加密处理，加密网格尺寸大小为15 mm，总网格数量在300万左右。

图4 腔体数值模拟网格划分

进行数值计算时，考虑气体的可压缩性，将气体属性设置为理想气体。计算域入口设置为质量气流入口，出口设置为压力出口。设置为先采用可实现的-两方程模型进行稳态流场计算，计算结果作为瞬态计算的初始值。然后采用LES方法计算瞬态流场。瞬态时间步长可以直接确定空气动力学噪声的最大分析频率，因此时间步长设置必须充分考虑研究的频率范围。根据Nyquist的采样定理：要获得原始信号而不会从采样信号中丢失信号，采样率必须至少是最大分析频率的两倍。由于腔体流致噪声以中低频为主，本文计算分析的最高频率设定为＝1000 Hz，为获得更准确的计算结果，采样率设置为2000 Hz。时间步长Δ＝0.0005 s，迭代步数为20步，总采样时间为1 s。

3 计算结果分析

3.1 腔体内部声压级

当自由来流速度为200 km/h，首先得到腔体内部监测点脉动压力的时域数据，然后对其进行FFT（Fast Fourier Transform，快速傅立叶变换）变换得到腔体内部监测点的声压级频谱，如图5所示。

由图5可看到，腔体内部测点位置存在三阶峰值噪声频率，分别为27.3 Hz、62.5 Hz和99.6 Hz。故猜测最大涡脱落频率为99.6 Hz，根据频率与周期间的关系＝1/，计算得到涡脱落最小周期为0.01 s。基于Q准则作出一个周期的涡图，如图6所示。

图5 腔体内部监测点声压级频谱

图6 一个周期内的涡量图

由图6可看出，在整个周期内共有三个主涡：当＝0时，第三个涡刚好撞击到腔体后缘，腔体前缘新涡还没有生成；当＝/4时，第三个涡往腔体后缘运动，腔体前缘新涡逐渐生成；当＝/2时，新涡已经生成并脱离腔体前缘，此时腔体上方重新有三个涡；当＝3/4时，三个涡继续向前运动，新的第三个涡接近腔体后缘；当＝时，新的第三个涡撞击到腔体后缘，新的一个周期开始。对于这一现象Rossiter认为流体流过腔体开口时的周期性涡脱落是边缘音现象的特征，并且涡脱落和声音辐射之间存在某些关系。声辐射会导致涡流脱落，而涡向后运动撞击到后缘会导致声辐射，从而形成一个声涡反馈现象。正是基于以上假设，他通过将自由剪切层简化为离散涡模型推导出以后一直被广泛采用的Rossiter半经验预测公式。

由于在一个周期内腔体开口上方共有三个主涡，则Rossiter周期性涡脱落公式中＝1、2、3时，代入腔体几何数据和自由来流速度，取＝0.57、＝0.25计算得涡脱频率，与大涡模拟结果对比如表1所示。

一般认为，相对误差小于5%在工程可接受的范围内，由表1可看出，预测频率与数值模拟结果还有一定误差，需更精确地确定值。

表1 峰值模态频率对比

3.2 湍流脉动压力的波数－频率谱分析

波数－频率谱分析法是波动分析法中的一种新方法，这种方法主要是把空间时间域信号变换到频率波数域，进而通过对波数频率谱的分析得到波传播的信息。近年来，该方法在地震工程、电子通讯等方面有广泛的应用。目前在振动噪声方面的应用也逐渐增多。

表面压力波动的波数－频率图可以从时空表面压力的二维傅里叶变换获得。它显示了波数－频域中特定波分量的大小在波数和频率上的分布，进而得到该波动的传播速度和传播方向。二维傅立叶表达式为：

在实际中，由于测量的空间和时间有限，为了得到湍流脉动压力作用下声压的波数频率谱，一般通过对脉动压力离散的时空信号进行离散的二维傅里叶变换，表达式为：

式中：为时间结点数；为空间脉动压力监测点数；(x)和(t)均为窗函数，本文采用汉宁窗；为监测点的脉动压力，Pa。

下面通过分析湍流脉动压力的波数频率谱来确定值。通过前面对Rossiter公式的推导知道，只需确定湍流运动速度即可确定值。

对腔体后缘中心线的湍流脉动压力监测阵列进行二维傅里叶变换，得到湍流脉动压力作用下声压的波数－频率谱，如图7所示。基于波的传播速度不同，波数－频率谱可将脉动压力分为可压缩部分和不可压缩部分：当波的传播速度小于声速时，可认为是由于湍流涡直接作用到壁面产生的脉动压力；当波数大于等于声速时，可认为是由于声传递时声压引起的。

图7 腔体后缘壁面脉动压力波数－频率谱

由图7（a）可看出，存在一条脊，该脊即为波数－频率谱的湍流迁移脊，是由于湍流运动过程直接作用到后缘表面形成的。另外可以看到，湍流大部分能量都集中在迁移脊上，且主要在400 Hz以下，在100 Hz以下最为显著，这符合湍流噪声以低频为主的特征。对脉动压力监测阵列时间序列进行FFT变换，可得到各个监测点脉动压力在频域内的信息；对脉动压力监测点阵列各个时刻空间序列进行FFT变换，可得到各个监测点脉动压力在波数域的信息。结合波数和频率的关系即可得到湍流运动时的传播速度。

由图7（b）可算出迁移脊的斜率Δ/Δ＝5.56，根据：

自由来流速度为200 km/h，即为55.6 m/s，则湍流涡运动速度与自由来流运动速度之比为＝0.63。将代入式（6），计算得前3阶峰值噪声频率，与数值模拟结果对比如表2所示。

表2 峰值模态频率对比

对比表2与表1可看出，当取0.63时，相比于取经典值0.57代入Rossiter公式预测效果更好。因为湍流运动速度受到湍流边界层厚和腔体开口长度影响，即不同工况下湍流运动速度与自由来流速度之比不同。因此可以通过分析湍流脉动压力的波数－频率谱来计算湍流运动速度，确定Rossiter公式中的值，从而提高Rossiter公式的预测准确性。

4 结论

本文采用大涡模拟的方法，对腔体流动现象进行了数值模拟分析。首先确定了腔体流动自持续振荡噪声峰值频率，并对腔体上方流动现象进行了详细对比分析，然后构建并分析了腔体后缘脉动压力作用下声压的波数－频率谱，基于波数和频率的关系得到了湍流运动速度，进一步得到了湍流运动速度和自由来流速度之比。主要结论如下：

（1）腔体流动过程存在自持续振荡现象，并会产生特定频率的噪声峰值。

（2）可以通过分析腔体后缘湍流脉动压力的波数－频率谱得到湍流的运动速度，进一步得到湍流运动速度与自由来流速度之比，以提高Rossiter公式的预测准确性。

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[3]Rossiter J. E. Wind-tunnel experiments on the flow over rectangular cavities at subsonic and transonic speeds[R]. Aeronautical Research Council Reports and Memoranda，October，1964：1-32.

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[8]杨国晶. 陷落式腔体水动力特性研究[D]. 哈尔滨：哈尔滨工程大学，2009.

[9]Li W，Nonomura T，Fuji K. On the feedback mechanism in supersonic cavity flows[J]. Physics of Fluids，2013，25（5）：2118-2128.

[10]邓玉清，张楠. 孔腔脉动压力及其波数-频率谱的大涡模拟研究[J]. 船舶力学，2017，21（10）：1199-1209.

[11]East L F. Aerodynamically induced resonance in rectangular cavities[J]. Journal of Sound and Vibration，1966，3（3）：277-287.

The Frequency of Self-Sustained Oscillation of Cavity Flow Based on Wavenumber-Frequency Spectrum

NI Xiaosong，XIAO Xinbiao，LIU Haonan

( State Key Laboratory of Traction Power, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China )

In the semi-empirical Rossiter formula, which is currently generally recognized and widely used in self-sustained oscillation of cavity flow noise frequency prediction, only the recommended value of the empirical constantis given, and no specific calculation method is given. Therefore, this paper uses numerical simulation to determine the value of. First, the LES turbulence model is used to establish the cavity self-sustained oscillation noise prediction model. Furthermore, the first three-order noise peak frequency is obtained by analyzing the monitoring points inside the cavity and compared with the predicted frequency of Rossiter formula with the recommended value of(0.57). The predicted results have certain deviation. Then, by analyzing the wavenumber-frequency spectrum of the turbulent pulsating pressure at the trailing edge of the cavity, thevalue of 0.63 is obtained and substituted into the Rossiter formula. The first three-order noise peak frequency is obtained, which is in good agreement with the numerical simulation results. The results show that it is feasible to determine the empirical constantby analyzing the wavenumber-frequency spectrum of the turbulent pulsating pressure, and it can improve the accuracy of the Rossiter formula to predict the frequency.

cavity flow induced noise；peak frequency；Rossiter formula；wavenumber-frequency spectrum

TB123

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2021.09.001

1006-0316 (2021) 09-0001-07

2021-01-21

国家自然科学基金（U1934203）

倪小松（1996－），男，湖南衡阳人，硕士研究生，主要研究方向为轨道交通减振降噪，E-mail：1512015956@qq.com。

通讯作者：肖新标（1978－），男，广东阳春人，博士，副研究员，主要研究方向为轨道交通减振降噪，E-mail：xinbiaoxiao@163.com。