盘点小量近似 建构数理模型——鉴赏2021年1月浙江物理选考压轴题

陶汉斌

(浙江省金华第一中学 321015)

2021年1月浙江省物理学科选考坚持高考改革方向，试题彰显以实际问题为背景，要求学生分析物理现象中的关键特征和主要因素，建立合适的物理模型与数学模型.选考物理第22题以芯片制造技术为背景，设计了离子注入晶圆的问题情景，考查学生对电场、磁场、平抛运动、圆周运动和牛顿运动定律等基本知识和基本理论的综合应用.此试题突出考查了运动的独立性原理，立体三维空间的想象能力，最终还是聚焦在数学中小量近似的计算方法和物理建模能力.本文以2021年1月浙江省选考第22题为例，具体阐述了高中物理中小量近似的数学方法，回归核心素养中模型建构的培养，以实现数学与物理的互利合作双赢.

一、原生态考题赏析

例1 (2021.1浙江选考第22题)在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序.如图1所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆(硅片).速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外.磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L.当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点(即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外).偏转系统整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小.当α很小时，有sinα≈tanα≈α，cosα≈1-α2/2

图1

(1)离子通过速度选择器后的速度大小u和磁分析器选择出来离子的比荷

(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；

(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；

(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由.

解析(1)通过速度选择器离子的速度

(2)经过电场后，离子在X方向偏转的距离为

离开电场后，离子在X方向偏转的距离为

(3)离子进入磁场后做圆周运动，如图2所示

图2

经过磁场后，离子在Y方向偏转距离

离开磁场后，离子在Y方向偏移的距离为

点评本题借用复合场的平台，考查圆周运动、类平抛运动中的偏转问题，最后一小题在叠加场中运用运动的独立性原理进行解题.学生要有立体空间想象的能力，将立体图转化为平面图进行思考.运算的过程中用到小量计算的方法，经过电场和磁场偏转的角度都很小，当α很小时，有sinα≈tanα≈α，cosα≈1-α2/2，这种小量近似在学习单摆模型时曾经做过推导.

二、盘点小量近似计算

1.角度θ小量近似sinθ=tanθ=θ

当角度θ很小时，有sinθ=tanθ=θ,当然θ是用弧度制度.在摆角很小的情况下(一般是小于10°)，忽略空气阻力，单摆的振动是以O为平衡位置的简谐振动，同时又是绕悬点P做圆周运动.在运动的过程中，动能与重力势能相互转化，机械能守恒,如图3所示.

图3

2.数值x小量近似(1+x)n≈1+nx

数值x很小时，(1+x)n≈1+nx.带电粒子在磁场中偏转时，经常用到这个小量近似计算.

例题磁谱仪是测量α能谱的重要仪器.磁谱仪的工作原理如图4所示，放射源S发出质量为m、电量为q的α粒子沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，被限束光栏Q限制在2φ的小角度内，α粒子经磁场偏转后打到与束光栏平行的感光片P上.(重力影响不计)

图4

(1)若能量在E～E+ΔE(ΔE>0，且ΔE≪E)范围内的α粒子均垂直于限束光栏的方向进入磁场.试求这些α粒子打在胶片上的范围Δx1.

(2)实际上，限束光栏有一定的宽度，α粒子将在2φ角内进入磁场.试求能量均为E的α粒子打到感光胶片上的范围Δx2

(2)动能为E的α粒子沿±φ角入射，轨道半径相同，设为R