双入双出延迟系统模型辅助自抗扰控制研究

张彬文,李 健,谭 文

(华北电力大学控制与计算机工程学院,北京 102206)

1 引言

很多化工过程、电力系统等都呈现出多变量耦合时延特性,和单回路控制相比,多变量控制不仅需要克服系统外部扰动、未建模动态以及参数不确定性的影响,还需要克服回路间的相互作用.目前比例积分微分(proportional integral derivative,PID)控制器由于其简单的结构和显著的控制效果被广泛应用于多变量系统控制,最简单的思路是忽略回路间的耦合作用,将多变量系统当成多个单回路控制系统,然后采用PID进行控制,但是由于控制器彼此交互,每个回路不能独立调节,会影响系统控制性能和系统稳定性.因此,逐步衍生出了多变量解耦控制算法.相对增益矩阵(relative gain array,RGA)[1]、有效开环增益(effective open-loop transfer function,EOTF)等概念被引入多变量解耦控制中,文献[2]中采用EOTF和RGA的概念提出了多回路PID控制器;文献[3]提出了基于直接分析法的多回路PI控制器.但通过EOTF,RGA或者直接分析法的得到解耦对象通常是高阶复杂传递函数,需要通过模型简化获得可用于控制器设计的低阶对象.因此,采用这些这些方法进行解耦设计会增加额外要求,不便于工程实现.

随着工业过程复杂程度的增加,PID控制逐渐显示出其控制的缺点,很多先进的控制算法在替代PID控制方面做出了很多努力.自抗扰控制(active disturbance rejection control,ADRC)算法[4-5]的核心思想是将系统“总扰动”(系统外扰和内扰的总和)通过扩张状态观测器(extend state observer,ESO)的扩张状态进行实时估计,然后通过反馈控制律进行消除.最初ADRC是基于一系列非线性函数提出的,参数整定过程繁琐,极大地限制了ADRC技术的发展.Gao[6]将ADRC进行线性化处理并在参数整定中引入了带宽的概念,自此自抗扰控制受到了学术界和工业界越来越多的关注.自抗扰控制算法在多变量系统控制也有一些进展:文献[7]中针对多变量时延系统提出了基于静态解耦的非线性ADRC控制算法,但参数整定过程过于繁琐;对于无时延线性和非线性多变量系统,文献[8]提出了一种基于动态解耦的ADRC控制方法;文献[9]中在ADRC内部控制结构中引入静态解耦矩阵,并将该方法应用到循环流化床锅炉控制系统中;离散低阶ADRC控制器对于开环稳定多变量系统控制在文献[10]中进行了分析;文献[11]中采用降阶ADRC对双入双出系统进行控制,同时控制器参数可根据解耦机制进行了调整.

目前,所有基于ADRC的多变量系统控制都将被控对象当串联积分型对象处理,采用传统ADRC进行控制,ESO对“总扰动”的估计补偿要求过高.但是一些现有的很多解耦方法,如静态解耦[9]、逆解耦[12]等都需要知道对象的模型信息,此时模型辨识是必不可少的.因此,可以考虑将可以获得的模型信息加入到ADRC控制器设计中,即模型辅助ADRC控制[13-15]设计,这样在控制器设计中充分利用了可以获得的关于模型的信息,既减轻ESO的估计负担,又可以提高系统控制性能同时简化参数整定过程.本文针对双入双出系统(其元素为开环稳定的延迟对象)提出了一种模型辅助ADRC的解耦控制方法,并通过仿真实验验证了本文所提方法的有效性.本文结构安排如下:

1) 根据系统时延环节的不同处理(忽略时延或采用一阶Pade法对时延环节进行近似),并通过构造虚拟控制量将双入双出系统解耦为两个子系统;

2) 对解耦之后的子系统分别设计模型辅助ADRC对虚拟控制量进行控制,对象实际的控制输入可以通过静态解耦矩阵获得;

3) 通过对工业范围内的聚合反应器模型、WB(wood and berry)蒸馏塔模型和CPU风扇散热模型进行仿真,实验结果显示本文所提方法可以获得满意的控制性能.

2 模型辅助ADRC(MADRC)

首先考虑如下的n阶单入单出对象:

其中:y是系统输出,u是系统输入,d是系统未知的外部扰动,f(·)为系统“总扰动”,为系统外部扰动和内部的不确定性的总和.

根据自抗扰控制设计原理,取f为系统扩张状态,则将式(1)所示的对象扩展到(n+1)阶,然后令x=,则扩张对象可以描述为如下所示的状态空间形式:

对式(2)所示系统,可以设计ESO进行状态估计:

在模型辅助的ADRC设计中加入了更多的模型信息,参数b0可以直接由对象模型得到,只需通过整定观测器带宽ωo和控制器带宽ωc.此外,因为更多模型信息的加入可以减轻ESO的估计负担,使观测器带宽得到有效降低,同时改善了系统控制性能.

3 双入双出系统解耦MADRC设计

考虑如下所示的双入双出(two-input two-output,TITO)开环稳定的时延系统:

由式(8)可以看出,因为系统输出间存在耦合,因此一个回路的输入发生变化会同时引起两回路输出变化.

在该节中,将把MADRC(model-assisted active disturbance rejection control)扩展到TITO系统中,但是需要注意的是在MADRC设计中是不考虑时延环节的.因此对式(8)所示的系统有以下两种处理方法:

1) 忽略模型中的时滞环节,将式(8)视为无时滞系统进行控制;

2) 采用任何的近似方法来处理e−τs.

基于以上两种时滞环节的处理方法,可以分别得到一阶解耦MADRC控制和二阶解耦MADRC控制.TITO系统解耦MADRC控制结构如图1所示.

图1 TITO系统解耦MADRC控制结构图Fig.1 Structure of the decoupling TITO system

3.1 一阶解耦MADRC

忽略TITO系统中的时延环节,即可以得到

将式(9)所示的系统看成如下所示的两个子系统:

则式(10)可以改写为

其中:f1=(a0-11−a0-12)y12,f2=(a022−a021)y21分别为两个子系统的模型误差,可以通过ESO进行估计补偿.从式(12)中可以看出,通过构建虚拟控制信号U1和U2可以实现TITO系统的解耦,然后分别对解耦的两个子系统设计一阶MADRC控制器.最终,实际的控制信号u1和u2可以通过如下所示的解耦矩阵获得:

3.2 二阶解耦MADRC

另一个简单的方法是将时延环节e−τs近似,在本文中采用简单的Pade近似,即

则式(8)可以改写为以下所示的子系统:

同样引入如式(11)所示的虚拟控制量,则式(15)所示的子系统可以改写为

其中两个子系统模型误差分别为

由式(16)可得,通过引入虚拟控制量可以将TITO系统解耦成两个单回路,可以通过对两个单回路分别设计二阶MADRC来实现控制要求,最终,实际的控制量u1和u2可以通过式(13)所示的解耦矩阵获得.

在二阶MADRC控制中,为了更加灵活地调节系统控制性能,可以在控制律中可以引入一个调节因子ξ(预期动态方程衰减比),也就是说,在二阶MADRC控制器中,如式(7)所示的控制律可以改写为

则

通常情况下,取ξ=1,当仅整定观测器带宽ωo和控制器带宽ωc无法获得较为满意的控制性能时,可以进一步调节ξ来改善系统控制性能.

注1工业过程中常用一阶纯滞后(first order plus dead time,FOPDT)模型来描述一类自平衡非振荡对象.即使被控对象是高阶的,也可以采用FOPDT模型近似,其中,低频动态用一阶模型(不含延迟部分)近似,而高频动态用纯延迟近似.

注2本文所提的针对FOPDT模型的模型辅助自抗扰控制设计,可以采用两种方法:一种就是忽略模型高频信息,仅考虑其低频动态,此时MADRC设计就是忽略延迟的一阶设计方法;另一种是考虑模型高频信息,将延迟用Pade近似,加上一阶低频动态模型,此时MADRC设计就是二阶设计方法.可以看到,对于延迟较小的系统,采用一阶MADRC设计更为简便,而当延迟较大时,采用二阶MADRC设计可以更好地利用模型信息.

4 系统性能评价指标

在本文中通过一系列系统评价指标来评估及比较控制器,包括设定值、负荷扰动抑制、控制量输出平滑度和模型不确定的系统鲁棒性.

4.1 积分绝对误差

本文中采用积分绝对误差(integrated absolute error,IAE)来作为表征设定值跟踪特性以及负荷扰动衰减特性的量化指标,其定义为

4.2 控制量总变化量

采用总变化量(total variation,TV)指标来衡量控制量输出信号的平滑程度,其定义为

通常情况下,期望控制器对输入有快速、平滑的响应,因此TV应该尽可能的小.

4.3 鲁棒性指标

对于实际工业过程控制来说,对象模型经常是不准确的,因此在控制器参数选择是应确保闭环系统对模型不确定有一定的鲁棒度.在本文中,采用一种较为经典的鲁棒分析方法来确保所提方法与文献中现有方法进行公平的比较.对于输出乘性不确定该性为Δ0的多入多出延迟系统,鲁棒稳定性上界可以描述为

其中G(jω)和Gc(jω)分别为对象模型及控制器频域响应.

5 仿真实验

在该节中,选择3个典型的TITO对象来验证所提方法的有效性,对于前两个TITO对象,仿真结果和文献[2]中提出的多回路PI控制器和文献[9]中提出的多变量ADRC控制器作比较.对于第3个对象,仿真结果和文献[19]中所提的ATC控制器做比较,为了确保各方法间的公平比较,通过调节控制器参数使闭环系统如式(22)所示的鲁棒性指标保持一致.

例1考虑如下所示的工业范围内的聚合反应器(industrial scale polymerization reactor,ISP)模型[16]:

对于该模型,可以计算得到相对增益矩阵RGA(Λ)为

由式(24)可以看出两回路间相互耦合作用较强,设计解耦控制器是必要的.

同时由式(23)可得,系统延迟时间常数较小,因此在ISP 模型中忽略系统的延迟环节,设计一阶解耦MADRC控制器.文献[2]中多回路PI控制器闭环系统γ=0.57,因此通过整定一阶解耦MADRC控制参数来获得相同的鲁棒度,3种控制器参数如表1所示.从表1可以看出,和文献[9]中的多变量ADRC(采用的是传统LADRC)相比,本文所提的一阶解耦MADRC控制器带宽下降了30%.

表1 ISP系统控制器参数Table 1 Parameters of controllers of the ISP system

图2所示为ISP系统设定值跟踪响应曲线.如图所示,在t=0 s和t=15 s时两个回路设定值分别发生幅值为1的阶跃改变,由图可得本文所提方法对于设定值跟踪系统响应速度较快,超调量较小.ISP系统干扰抑制响应曲线如图3所示.当分别在t=0 s和t=15 s时两个回路加入幅值为1的单位阶跃扰动,可以观察得到,对于干扰抑制问题,回路1所提方法超调量较大,但回路2可以获得较小的超调较小.控制系统性能指标如表2所示,从表中的IAE和TV中可以看出,所提方法在设定值跟踪且干扰抑制方面两方面都可以获得满意的控制性能,同时控制量输出较为平滑.

表2 ISP系统控制性能指标Table 2 Control performance of the ISP system

图2 ISP系统设定值跟踪响应曲线Fig.2 Tracking performance of ISP system

图3 ISP系统干扰抑制响应曲线Fig.3 Disturbance rejection performance of ISP system

对于系统鲁棒性测试,将模型参数同时变化10%,控制器参数仍如表1所示.系统在模型参数不确定下的控制系统性能指标如表3所示,从表中可以看出本文所提的方法对于设定值跟踪和干扰抑制都能获得较为满意的控制性能.同时采用蒙特卡罗实验验证系统鲁棒性,实验结果如图4所示.从图中可以看出回路1设定值跟踪ts-δ(调节时间-超调量)分布较分散,超调量变化范围较大,鲁棒性较差,但跟踪时间较短,但抗干扰特性鲁棒性较好,超调量较小,调节时间较短.对于回路2,设定值跟踪和干扰抑制ts-δ分布较为集中,鲁棒性较好.

图4 ISP系统蒙特卡洛实验结果图Fig.4 Monte Carlo experiment of ISP system

表3 ISP系统控制性能指标(参数变化)Table 3 Control performance under the parameter variations of the ISP system

例2考虑如下所示WB(Wood and Berry)蒸馏塔模型[17]:

对于该模型可以计算得到RGA(Λ)为

同时采用非对角元素进行解耦控制.采用一阶Pade近似将非对角元素(即e−7s)进行近似,则由可以将式(25)所示对象简化成两个二阶子系统,并设计二阶解耦MADRC进行控制.文献[2]中的多回路PI控制回路鲁棒度γ=0.47,为了保证各方法间公平的比较,通过参数整定使本文所提的方法具有相同的鲁棒度,各控制器参数如表4所示.由表4所得,和传统ADRC控制器相比,控制器带宽降低了近50%.

表4 WB蒸馏塔系统控制器参数Table 4 Parameters of controllers of the WB system

系统设定值信号分别在t=0 s和t=120 s时发生幅值为1的阶跃变化,系统闭环响应如图5所示,系统性能指标如表5所示.可以观察得到,本文所提的二阶解耦MADRC控制器对于设定值跟踪响应和多变量PI控制器较为接近,但控制器输出较为平滑.

图5 WB系统设定值跟踪响应曲线Fig.5 Tracking performance of WB system

表5 WB蒸馏塔系统控制性能指标Table 5 Control performance of the WB system

图6为系统干扰抑制响应曲线,两回路分别在t=0 s和t=120 s时加入幅值为1的阶跃扰动,可以观察得到系统响应速度较快,干扰抑制能力较强.

图6 WB系统干扰抑制响应曲线Fig.6 Disturbance rejection performance of WB system

为了验证系统鲁棒性,将式(25)所示模型参数同时变化10%,表6为系统模型不匹配时设定值跟踪和干扰抑制性能指标.从表中可以得到,本文提出的方法可以获得满意的控制性能,系统鲁棒性较好.同时采用蒙特卡罗实验验证系统鲁棒性,实验结果如图7所示.

图7 WB系统蒙特卡洛实验结果图Fig.7 Monte Carlo experiment of WB system

表6 WB系统控制性能指标(参数变化)Table 6 Control performance under the parameter variations of the WB system

例3考虑服务器散热系统,该系统包括独立的驱动风扇区域和CUP风扇区域,在该仿真实例中主要考虑CUP风扇区域,即当服务器负荷变动时通过调节风扇转速来保持服务器温度恒定,避免服务器过热.

CUP风扇区域由两个并排的散热区域组成,分别由左右两个分散控制左右两侧的CPU温度.在系统稳定状态下,CPU温度可以通过利用率、风扇速度和环境温度来得到.假设环境温度为常数时,CPU温度的变化量ΔT为CPU与环境间的热传递Q和通过CPU的空气流量V(或风扇速度).即CPU风扇温度调节系统可以表示为如下形式[18]:

在式(27)中GFS中的延迟时间远小于系统同惯性时间,因此在该系统中忽略系统延迟环节,将对象近似为一阶系统,同时为了简化处理,在一阶解耦MADRC控制器设计时取NR=1.在该系统中取二阶解耦MADRC控制器参数为

仿真结果和文献[19]中提出的ATC控制方法比较,其控制器参数为(ATC1):

给系统加入如图8所示的变化干扰,系统输出响应和控制器输出响应分别如图9-10所示.从中可以看出,当两个温区干扰同时发生变化时,ATC1方法控制的两个区域系统输出和控制量输出会出现较大波动,而本文提出的方法可以获得满意的控制性能.将ATC1控制器参数b01和b02增加到1.2(得到ATC2)时可以获得和本文所提的二阶解耦MADRC控制器接近的系统响应.此时,值得注意的是本文所提的方法需要整定的控制器参数较少且整定过程较为简单,同时带宽减少了60%.

图8 负荷变化曲线图Fig.8 Load variation

图9 区域1输出和输入相应曲线Fig.9 Responses of the area 1

图10 区域2输出和输入相应曲线Fig.10 Responses of the area 2

6 结论

文中研究了一类两输入两输出时延系统的解耦自抗扰控制器设计,通过将时延环节忽略或近似,分别提出了一阶、二阶解耦MADRC控制策略.在所提方法中,通过引入由系统静态增益组合成的虚拟控制量简化了设计和参数整定过程,回路间的相互作用以及所有的不确定性都被当做“总扰动”进行抵消.同时引入的虚拟控制量将双入双出系统解耦为两个子系统,子系统分别由独立的MADRC进行控制.与此同时,在该方法中,仅需要整定两个参数(控制器带宽和观测器带宽),便于工程实现.3个仿真实例表明,该方法具有良好的解耦和抗干扰特性.