GeoGebra在验证猜想中的应用

俞 翔 李 更

(宁波市奉化区江口中学 浙江 宁波 315504)

物理教师应用GeoGebra软件辅助教学的能力日渐娴熟，由《物理通报》近几年发表的文献可见微知萌，在2017至2019年共有文献4篇，2020年有文献6篇，2021年截至4月已有4篇.纵观这些文献，GeoGebra多应用于物理场景的建立和疑难问题可视化的研究，如陈林老师借助3D绘图实现对电场电势的三维建构，艾亮老师利用微积分思想研究v-t图像中的面积.现就一改编题，借助GeoGebra应用于对未知规律的探寻和验证.

1 等时圆模型的应用

【例题】如图1所示，ad,bd,cd是竖直面内3根固定的光滑细杆，a,b,c,d位于同一圆周上.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，3个滑环分别从a,b,c处释放(初速为零)，用t1,t2,t3依次表示滑环到d所用时间，则( )

图1 例题图

A．t1t2>t3

C．t3>t1>t2D．t1=t2=t3

解析：鉴于d点并非圆周的最高点和最低点，要应用等时圆模型，需构建等时圆.以d点为圆周的最低点，过b点做圆，如图2所示.此圆与ad和cd轨道相交于a′和c′，由等时圆模型的规律可知，若小滑环自a′，b和c′由静止开始下滑至d点所用的时间相等.从而可见，自ad下滑的时间t1小于自bd下滑的时间t2.同理，自bd下滑的时间t2小于自cd下滑的时间t3.所以，选项A正确.

图2 借助等时圆模型巧解例题

2 等时圆模型的拓展

由于题目中并未明确表明d点的位置，不妨将d点向下移动，如图3所示.

图3 研究普适规律

移动d点并不会变更题目本意，即应有不变的结果t1

图4 滑轨处于圆心侧上方

得

对于确定的d点而言，β为定值，所以当α角度逐渐减小时，t值增大.

如果ad弦低于圆心O，如图5所示，则有

当α角度逐渐减大时，t值仍增大.

图5 滑轨处于圆心侧下方

从而可见，只要落点d相同，开始下滑的位置越高，所用时间越小，即始终有t1

3 问题的产生 猜想与论证

“圆时间规律”的结论t1

细细推敲等时圆模型的规律和“圆时间规律”均没有问题.猜想在d点下移的过程中，尽管下滑的时间会变化，且各轨道所用时间t1,t2,t3不等，但与之同时t1,t2,t3之间的差值在逐渐减小.

为验证猜想，采用GeoGebra制作动画研究时间差.做一个半径为5的圆，并按题设在圆周上取a,b,d点建立下滑轨道，设置顶角γ用以记录d点在圆周上位置的变化，d点越接近于圆周最低点，角度γ越小.借助Length指令获取两个轨道长度，借助角度工具获取斜面倾角.利用匀变速运动公式计算下滑时间，并求时间差，如图6和表1所示.

Δt=t2-t1=1.86 s-1.56 s=0.3 s

图6 圆和轨道

表1 通过软件获取研究所需数据

在d点代数区设置其“增量”为5，“速度”为3的情况下启动动画.观察d点下移过程中，不同轨道下滑的时间差，并借助“记录到表格”功能以获得数据列表.从数据清晰可见，伴随着d点的下移，γ角趋向于零，t1与t2的数值逐渐逼近，即Δt=t2-t1趋向于零.

将动点d的“速度”降低到0.1，以获取更多的数据，并在GeoGebra中以Δt为横坐标，γ角(弧度值)为纵坐标创建点阵，如图7所示.由图7可见，在d点下移到最低点的过程中，通过不同轨道下滑的时间差趋向于零.

通过研究可知，若在圆周一侧取一位置略低的d点，作为斜面底边的端点，从圆周另一侧选取一些点作为光滑斜面的顶点，让物体自各顶点下滑，下滑的时间和各顶点到d之间的高度差有关，高度差越大，时间越小.其成立的条件是d点不能是圆周的最低点.

图7 γ-Δt点阵

该测试题改编自2004年高考全国理综卷Ⅰ，原题中“d点为最低点”，正确选项是D.借助于GeoGebra的探究，也发现改编题默认d点为一侧点的做法略有不当，在试题中增加一条“d点非最低点”的条件，让试题更为严谨.