伯努利方程在电介质流体中的应用

冯子江 鲁 斌

(浙江省余姚中学 浙江 宁波 315400)

伯努利方程在力学中有广泛的运用.由于其形式

式中不含电学量，故其在电学中应用甚少.在电介质流体的相关问题中，可将伯努利方程作适当推广，以拓宽其应用范围.

1 电势能密度的导出

如图1所示，一个电偶极子在非均匀场中的受力

(1)

其中p=ql为电偶极矩.

图1 电偶极子在非均匀场中的受力

我们考虑体积为dV的分子团，单位体积内带有n个电偶极子，现沿x方向由A到B，电场力做功

(2)

由极化强度矢量

(3)

将式(3)代入式(2)，有

则有

(4)

则

(5)

即为电介质在电场中的电势能密度.

2 伯努利方程在电介质流体中的推广

对于体积为ΔV的流体，根据伯努利方程，有

(6)

基于此，则在电介质流体定常流动的情况下，对原有的伯努利方程进行推广，即

(7)

当然，若流体为其他性质的流体如磁介质等，方程还可做进一步相应的推广.

3 电介质流体的平衡问题

如图2所示，水平放置的平行板电容器，一块极板在液面上方，另一块极板浸没在液面下，液体的相对介电常数为εr，密度为ρ，传给电容器上下极板电荷面密度分别为σ，-σ后，电容器中的液面可能升高多少？[1]

图2 带有电介质流体的平行板电容器

3.1 能量极值求解法

如图3所示，设极板面积为S，平衡后，新液面高出原液面的距离为h.

图3 分析图

在空气中

(8)

在介质中，总场强

(9)

由于电场的不均匀性，电场能量分为两部分，一是介质部分电场能量Ep1

(10)

二是真空部分电场能量Ep2

(11)

另外，介质液体还具有重力势能Ep3

(12)

则总能量

由于平衡位置能量取极值，则有

化简得到

(13)

3.2 运用电势能密度的压强性质求解法

为解决本题，我们构造一系列过程，如图4所示.

体积为ΔV(ΔV→0)的分子团，处在A,B,C这3处时具有不同的电势能密度，即对应不同的压强.

图4 构造过程

第一个过程，将分子团从电容外一点位置A(PA=0)移动到电容内等高的位置B，发生一段虚位移.

由于B点的电势能小于A点，则分子团有从A向B侧向进入的趋势.产生的压强差即为

(14)

第二个过程，从位置B移动到几乎等高的介质表层位置C时

产生的压强差即为

(15)

这里应该注意的是PC和EC的取值.此时分子团处在E0的外场中受力，所以

EC=E0

(16)

故由于C点的电势能小于B点，则分子团有从B向C纵向上拱的趋势.代入后，即可得到

(17)

(18)

根据受力平衡，有

(19)

3.3 关注始末状态运用伯努利方程求解法

我们也可以直接用伯努利方程解决问题.构造一个从A到平衡后最高点D的过程.满足

(20)

这里p的意义为由于水和大气压强所引起的总压强.由于A点贴近液体表面，则有

pA≈pD=p0

又由于vA=vD=0，PC=PD，EC=ED，代入方程有

(21)

又h=hD-hA，则

(22)

4 结束语

运用电势能密度与推广后的伯努利方程解决电介质流体的平衡问题，为我们处理电介质问题提供了新的思路，为进一步推广伯努利方程提供了可行的范式.