考研数学中特征值与特征向量常见题型及解题方法分析

摘要：线性代数是考研数学的部分组成学科，在150分的数学试卷中占有不到三分之一的比重，但它对于得分的贡献率却是不可忽视的，相对于高数等其它学科来说，现代更注重考察基础，它的大答题技巧有一定的规律可循，所以在影视中更容易得分。特征值与特征向量是线性代数中极为重要的知识点，是历年真题考察的重点内容及热点考察对象，在复习时更应仔细对待。对于这一内容的常见题型与解题思路，以下内容做了一个简单的探讨。

关键词：考研数学;特征值;特征向量

特征值与特征向量的相关知识点是线性代数中乘上启后的一章，前面是线性方程组的学习，后面是与它联系密切的二次型的考察，因此特征值与特征向量的综合性较强，其重要性不言而喻，我们一定要多加重视。此部分内容的考察常以大题的形式出现，一般为两到三小问，注重基础且有一定的规律可循，我们在考研中一定要争取将这一部分的分数拿到手中。

一、特征值与特征向量的重点内容

（1）概念、相关定理及计算

特征值与特征向量的概念我们可以用一个简单的公式进行简要的概括：Aa=Ma，我们假定这个A是一个不确定阶数的方阵，a是一个与方阵相同阶数的列向量，它不为0，M是一个任意整数，当前面所提及到的等式成立时，我们就说，M时方阵的某一个特征值，它所对应的特征向量就是a。这一部分的内容有相当多的定理，例如，对于同一特征值的多个特征向量线性相加，其结果仍可作为该特征值的特征向量。一个方阵的主对角线上的元素相加或者相乘与该矩阵的特征值、该矩阵的行列式相关，这两个小定理常作为选择题的形式进行考察。不同特征值所反分别对应的特征值是线性无关的，这是一个热门定理，一定要牢牢记住。

（2）相似

如果两个方阵是同阶的矩阵，且有一个可逆的矩阵d，使得d逆Xd=Y，那么就说矩阵X于与Y是相似的，如果这里的X或者Y比较特殊，是对角矩阵，那么就说明另外一个矩阵与对角矩阵相似，进而说明它可对角化。那么如何判断一个矩阵是否可以对角化呢，它的充分必要条件就是n阶矩阵有n个线性无关的特征向量，把特征项量换成特征值也是同样适用的，或者也可以根据特征向量的个数与其重数是否相等来进行判断。这些知识点都是该部分知识的重要组成部分，考生应该熟练掌握其性质并会进行相应的计算，计算能力对于数学来说是头等重要的，切不可眼高手低。

（3）实对称矩阵及隐含信息

对于实对称矩阵的考察可以说是这部分内容的重中之重，实对称矩阵所包含的隐含定理可以说是相对较多，这也成为出题老师的一块“风水宝地”，很多同学因为对此部分的隐含定理掌握不牢固而丢失了分数。首先对于实对称矩阵来说，它必与对角矩阵相似。其次，此举阵的的特征向量之间存在着特殊的关系，那就是对于它的不同的特征值所对应的特征向量之间是正交的关系，用数学公式表达就是矩阵相乘为0，通过这个关系，我们在知晓其中一个特征向量时就可以利用这种关系计算出其它的相关向量。是对称矩阵的特征值也是有说法的，那就是都为实数。这些都是由实对称矩阵这一特殊矩阵引申出来的相关定理，在学习时我们应当特别注意。

二、常见题型总结

（1）特征值与特征向量的求法

对于矩阵大体可以是考察情况分为数字型与抽象型，数字型矩阵较为直观简单，再求特征值与特征向量是有固定的求解步骤，例如：求矩阵A= {1 1 -1，1 -2 2，-3 1 3}的特征值与特征向量。

解：首先我们要写出该矩阵的特征多项式，即|xE-A|，计算出该行列式的结果公式（x-1）（x-4）（x+3），并令其为零，从而得出该矩阵的特征值为1、4、-3，接下来我们把特征值一一带入（xE-A）=0这个公式中，就可以得出不同特征值所对应的特征向量，x=1对应a1=（1，1，1）的转置，x=4对应a2=（-4，5，17）的转置，x=-3对应a3=（1，-3，1）的转置。

接下来我们列举一个抽象型矩阵的例子：假设A为3阶矩阵，其各行元素均为5，那么A一定存在特征向量？

解：根据矩阵的各行元素之和均为5，我们可以列出[a11 a12 a13，a21 a22 a23，a31 a32 a33][1 1 1]=[5 5 5]，即A[1 1 1]=[5 5 5]=5[1 1 1]，所以我们可以得出它必有特征值5和特征向量[1 1 1]。

（2）相似及相似对角化

假设3阶矩阵A相似于B，且已知A的特征值为1，2，3那么行列式|2B-E|=？解：因为A相似于B，所以A与B有相同的特征值，所以我们可以计算出2B的特征值为2，4，6，那么2B-E的特征值就是1，3，5，從而可以得出结果为1*3*5=15。

A=[1 2，0 0] B=[2 4，0 0]，A与B是否相似？这个问题中我们可以看到，A的特征值是1，0，而B的特征值是2，0，而矩阵相似的必要条件是特征值相同，所以A与B不相似。

以上只是些简单易懂的例子，远远达不到考研时的难度，大家要在这种提醒上深入刨析，多学多练，达到熟练掌握的程度。

（3）实对称矩阵

假设A为3阶实对称矩阵，r（A）=2，A2=A，则A的特征值是？

解：A2a=A（xa）=xAa=X2a（假设x是A 的任意一个特征值，a是其对应的特征向量），所以由A2=A得出x2a=xa，（x2-x）a=0，所以A的特征值为1或者0，又因为A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵，又因为它的秩为2，所以A的特征值为1，1，0。

结语：

特征值与特征向量是线性代数的重要知识点，在学习时一定要注重基础知识的掌握程度，不断进行各种题型的训练，以巩固各方面的知识点，并对各种题型以及各自的解题方法进行自我总结，做到熟稔于心，这样在考试时才能快速找到正确的解题方法，得出正确的答案。

参考文献：

[1]陈华，何佳怡，袁致成，吴奔潮，彭浩天.矩阵特征值性质及其在考研数学解题中的应用[J].教育教学论坛，2020（33）：324-325.

[2]孔祥强.数学软件Mathematica在高等数学中的应用[J].赤峰学院学报（自然科学版），2015，31（19）：4-6.

[3]李秉焱，王进朵.考研数学中特征值与特征向量常见题型及解题方法[J].考试周刊，2013（A2）：6.

作者简介：郭良宝（1995.09-），汉族，海南东方人，海南师范大学数学与统计学院数学与应用数学专业学生