浅析初中数学线段最值问题解题策略

徐葵 杨文

【摘 要】以二次函数为知识背景的线段最值问题在成都近几年的各种考试中成为一大热点，也是一大难点。本文运用文献调查的研究方法对这类问题进行整合，通过四个模型总结这类问题的解决方法。

【关键词】二次函数;线段最值;中考

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）16-0027-02

以二次函数为知识背景的线段最值问题在成都近几年的各种考试中比较常见，其中两点之间线段最短问题、点到直线垂线段最短问题、用二次函数解析式求最值问题，所对应的知识点在整个初中数学教学内容中相对分散[1]，从初一到初三均有分布，以致于成为初三复习阶段的一大难点。本文就其中二次函数较为常考的两点之间线段最短问题、用二次函数解析式求最值问题这两类问题举例分析。本文列举了几道中考频率较高的二次函数背景下的最值问题，解法基本上能运用到同类型的题目中，且部分解法、思路能够运用在几何问题中线段最值问题的求解。希望本文能对广大同仁探究这类最值问题的教学策略有所帮助，对学生的中考复习起到作用。

1   将军饮马，大同小异

例1：如图1，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（?1，0）、（3，0）、（0，3），过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

（2）点E是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE最小时点E的坐标。

分析：

（1）问为最基础的求解析式问题，一般式，交点式均可解决，再求顶点。

（2）问是线段最值问题，其模型为“两定一动”的对称型最值问题，即将军饮马问题。如图2，直线l和l的同侧两点A、B，在直线上求作一点P，使PA+PB最小。

解：

（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，

∵ 抛物线经过A、B、C三点，

∴ ，     解得：，

∴ 解析式为：y=?x2+2x+3，

∴ 顶点D为（1，4）。

（2）∵如图1，连接BC交抛物线的对称轴于点E，点A关于抛物线的对称轴的对称点为B，则AE=BE，要使AE+CE最小，即BE+CE最小，则B、E、C三点共线。

解法一（解析式法）：设直线BC的解析式为 y=

kx+n，

则，     解得：，

∴ y=?x+3，当x=1时，y=2，

∴ E的坐标为（1，2），

解法二（几何法）：设抛物线与x轴的交点为F，

∵ EF∥y轴，

∴ ∠BEF=∠BCO，∠BFE=∠BOC，

∴ △BFE∽△BOC，

∴ ，

∴ BF=EF=2，

∴ 點E的坐标为（1，2），

总结：这一类线段最值问题解法为“大同小异”，求最大值要将两点放在定直线的同侧，再将两点相连，与定直线交于一点，这一点就为所求点;求最小值要将两点放在定直线的异侧，再将两点相连，与定直线交于一点，这一点为所求点[2]。一般辅助线为作对称点连接对称点和其中一点。

这是将军饮马问题的通解法，当看到这类两定一动问题时，不论是最大值还是最小值，都可用这种方法作辅助线解决。

2   点动成线，直观想象

例2：如图3，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于A（，

0），B两点（点B在点A的左侧）与y轴交于点C，且OB=3OA=OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H。

（1）求抛物线的解析式;

（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值;

（3）当直线PF为抛物线的对称点时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求

AQ+EQ的最小值。

分析：

（1）（2）问求出直线AH的解析式，根据方程即可解决问题。

（3）问是一道以圆为运动轨迹的线段最值问题，以点圆模型的最值问题为核心，辅助圆问题与二次函数的结合可以从AQ入手，主要是要以构造AQ为目的作辅

助线。

解：

（1）略。

（2）二次函数的解析式为：y=x2+x?3。

在Rt△AOC中，tan∠OAC==，

∴ ∠OAC=60°，

∵ AD平分∠OAC，

∴ ∠OAD=30°，

∴ D（0，?1），

∴ 直线AD的解析式为y=x?1，

（2）由题意P（m，m2+m?3），H（m，

m?1），F（m，0）且?

∵ FH=PH，

∴ 1?m=m?1?（m2+m?3），

解得：m=?或（舍去），

∴ 当FH=HP时，m的值为?。

（3）辅助线图：

如图4，∵PF是对称轴，

∴ F（?，0），H（?，?2），

∵ AH⊥AE，

∴ ∠EAO=60°，

∴ EO=OA=3，

∴ E（0，3），

∵ C（0，?3），

∴ HC=2，AH=2FH=4，

∴ QH=CH=1，

在AH上取一点K，使得HK=，此时K（?，

?），

∵ HQ2=1，HK·HA=1，

∴ HQ2=HK·HA，

∵ ∠QHK=∠AHQ，

∴ △QHK∽△AHQ，

∴ ，

∴ KQ=AQ，

∴ AQ+QE=KQ+EQ，

∴ 当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，

最小值EK=。

总结：这一类线段最值问题一般由有分数的一项入手，由子母型相似构造分数项，把分数线段转换成另一条线段，再来解决最小值问题[3]。

这种解法一般适用于一条完整线段加上一条不完整线段（几分之几的线段），用于构造那条不完整线段。但由于存在分数，有部分问题会有变式，需将分数变为整数，这时可以将整数重新变回分数，但要记得乘回去。這种解法对于同类几何最值问题依然适用。

3   点到直线，数学运算

例3：如图5，已知直线 y=?x+5与y轴、x轴分别相交于A、B两点，抛物线 y=?x2+bx+c经过A、B两点，其对称轴交于C，交AB于D。

（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式;

（2）点P从点B出发沿x轴向点O运动，过P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于N，求MN的最

大值。

分析：

（2）问可以设出P的坐标从而表示出MN的长度，再求出其最值。

解：

（1）易证：A（0，5） B（5，0），

抛物线解析式为：y=?x2+4x+5。

（2）设P的坐标为（a，0）（5>a>0），

∴ M（a，?a+5），

N（a，?a2+4a+5），

∴ MN=?a2+5a，

∴ NM的最大值为6。

总结：以二次函数解析式求最值问题可以使用抛物线与直线之间距离公式将其转化为二次函数区间最值

问题。

这一类线段最值问题（直线与二次函数两点之间的长度）解法一般为：先将动点坐标用字母表示出来，再用字母将长度不定的线段表示出来，会得到一个二次函数，用顶点式求出其最值（注意字母的取值范围，若对称轴不在取值范围之内，取值范围的最值中，哪个更靠近对称轴取哪个）。

这个方法适用于大部分用二次函数解析式求最值的问题，但计算量可能较大，容易算错，可以用公式法和配方法，验算结果，保证其正确。

4   逻辑推理，几代全行

例4：如图6，抛物线 y=?x2+bx+c与x轴交于A（?4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE⊥AC于点E。

（1）求抛物线的解析式;

（2）如图4，求线段DE的最大值。

分析：

将直线AC向上平移，平移到与抛物线只有一个交点时，此时的交点为D，DE的长度为最大值。

解：

（1）解析式为：y=?x2?x+3，

（2）当x=0时，y=?x2?x+3=3，

∴ 点C的坐标为（0，3），

设直线AC的解析式为y=kx+d（k≠0），

将A（?4，0），C（0，3）代入 y=kx+d，得：

解得：，

∴ 直线AC的解析式为：y=x+3，

解法一：设直线与抛物线相切于D，平行于AC，

l：y=x+b，

联立抛物线与l

x+b=?x2?x+3

∴ x2+3x+b?3=0

∵ 只有一个交点，

∴ Δ=9?3（b?3）=0，

∴ b=6，

∴ D（?2，），

∴ 直线DE：y=x+，

联立直线DE和直线AC，

?x+=x+3，

∴ E（?，），

∴ DE=。

解法二：在图6中，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，DF交AC于点M。

设D的坐标为（x，?x2?x+3）（?4

∴ DM=?x2?x+3?（x+3）=?x2?3x，

在Rt△AOC中，OA=4，OC=3，

∴ AC=5，

∵ DF⊥x轴，DE⊥AC，

∴ ∠DEM=∠AFM。

∵ ∠DME=∠AMF，

∴ △DME∽△AMF，

∴ ，

∴ DE=DM=?x2?x=（x+2）2+，

∴ 当x=?2时，DE取得最大值，最大值为。

总结：这一类问题代数方法一般是先将定直线平移，平移到抛物线与直线相切，此时直线与抛物线的切点为抛物线上的点，这一点到定直线的距离为最大值。

几何方法一般是先表示出其中几条线段的长度，再用相似表示出所求线段的长度，这个长度一般是由一个二次函数表示，再用二次函数顶点式或配方法求出其最值（注意取值范围）。

本题的几何和代数法对这一类问题都可以使用，各有优劣。代数法可以不用作辅助线，直接列方程求解，其弊端是部分问题的数据会有些难算，计算量较大，容易算错。几何方法虽然需要作辅助线，但计算量相对较少。两种方法应该视情况使用，但一般用代数法较多。

【参考文献】

[1]李士林.例析二次函数背景下的线段最值问题[J].初中数学教与学，2018（14）.

[2]陈小英.几何最值模式在二次函数中的应用[J].中学数学，2010（6）.

[3]王霞.初中数学二次函数中一类线段最值问题的快速求解方法[J].数学教学通讯，2018（17）.