超导约瑟夫森结物理参数的实验推算*

韩金舸 欧阳鹏辉 李恩平 王轶文 韦联福3)†

1) (西南交通大学信息科学与技术学院, 信息量子技术实验室, 成都 610031)

2) (西南交通大学物理科学与技术学院, 量子光电实验室, 成都 610031)

3) (东华大学理学院, 光子学实验室, 上海 201620)

超导约瑟夫森结是实现超导量子计算和微波单光子探测的核心器件, 其物理参数很难直接测定.与之前常用的测量结微波激励效应估计方法不同, 本文通过实验测量低频电流驱动下的约瑟夫森结I-V曲线及其跳变电流统计分布, 并与基于标准电阻电容分路结模型数值模拟进行比对, 推算出了约瑟夫森结的临界电流 Ic 、电容C、电阻R及阻尼参数 βc 等物理参数.结果表明, 所推算的参数值与基于微观理论推导所得到的Ambgaokar-Baratoff公式基本符合, 可供约瑟夫森结的器件参数按需设计和制备工艺的参数设置等参考.

1 引 言

目前经典计算机的计算能力渐趋极限, 量子计算机的超强计算能力得到了广泛关注[1,2].如谷歌构建的53位的超导量子“霸权”机和中国科技大学实现的76个光子的“九章”量子计算原型机都展示了经典电子计算机所不可比拟的计算功能[3,4].作为一种广受关注的量子计算实现模式, 超导量子计算机因其特有的易于集成、芯片设计和加工技术相对成熟等方面的优势, 成为量子计算领域的研究热点.超导量子计算的基本物理单元比特是超导量子比特, 它的三种基本的构型——电荷量子比特、磁通量子比特和相位量子比特等的实现, 取决于核心器件——约瑟夫森结的物理参数.这些参数决定了结的电容充电能 Ec和约瑟夫森隧穿效应能量 EJ之间的比值, 进而决定了超导量子比特的构型.此外, 约瑟夫森结也是实现微波单光子探测的核心器件[5,6].

Ec的大小与约瑟夫森结的电容有关, 而 EJ的取值则由约瑟夫森结的临界电流决定[7−9].这些参数是量子比特设计与制备的重要依据, 但实际上它们很难在实验上直接测量得到, 通常需要根据其他的某些相关参量的测量来推算得到.之前采用的方法有测量微波驱动下的约瑟夫森结跳变电流统计分布, 通过与理论模型拟合来推算约瑟夫森结各物理参数.显然, 这一方法有两点不足: 第一, 通过微波激励来进行的参数标定, 实际上是一种动态标定, 有一定的不确定性; 其二, 微波激励本身需要考虑阻抗匹配实现问题.此外, 还可采用回滞电流与临界电流的比值来标定阻尼参数, 此方法也存在一定的局限性.当外界干扰造成约瑟夫森结I-V特性曲线零点上下涨落时, 回滞电流与临界电流比值对原点上下涨落比较敏感, 会给标定结果带来较大误差[10,11].为尽可能精确地测定结的各种静态物理参数, 本文提出一种基于标准RCSJ (resistively capacitance shunted junction)模型拟合、仅需要低频电流偏置下的结跳变电流统计分布测量和结I-V特征曲线测量的更为简便的方法, 实现约瑟夫森结各静态物理参数的推算.当然, 实际应用时可能还需要通过其他方法来标定这些参数, 但本推算方法在器件按需设计和制备工艺相关参数设置中仍具有一定的参考意义.

2 约瑟夫森结物理参数的推算方法

2.1 结电容和结临界电流的推算方法

电流偏置下的约瑟夫森结可以看作是一个质量为 m =C[Φ0/(2π)]2的“粒子”在搓衣板势U(φ)=−EJ[(Ib/Ic)φ+cos(φ)]中运动的动力学模型[12], 如图1所示.其中, Ib是外加偏置电流, C为结电容,Φ0=h/(2e) 为磁通量子, φ 为约瑟夫森结两端的位相差, 结的约瑟夫森能为 EJ=IcΦ0/(2π) , Ic为约瑟夫森结的临界电流.

图1 电流偏置下的约瑟夫森结势能曲线Fig.1.Potential of a current-biased Josephson junction.

势阱中“粒子”的运动由方程

描述, 其中R为结电阻.势阱的高度(即“粒子”跑出势阱的束缚需要克服的势垒高度)由下式给出[13]:

显然, 当外加偏置电流远小于约瑟夫森结临界电流时, “粒子”被很好地囚禁在势阱中.这时, 结处于超导状态因而结两端的电压为零.当偏置电流缓慢增加到接近结的临界电流 Ic时, “粒子”可以通过热激发或者量子隧穿效应逃逸出势阱, 在宏观上就表现为约瑟夫森结两端可测量的电压信号, 这时所偏置的电流就称为跳变电流.当然, 由于热激发效应和量子隧穿效应都是随机事件, 因此测量中记录下来的与电压信号对应的跳变电流也就是一种随机分布.

对应于“粒子”逃逸出或囚禁于势阱的两种不同状态.假设“粒子”逃逸出势阱的分布函数由P来描述, N(t)为粒子在势阱中的数目.则:

因此, 在 ∆ t 时间内“粒子”从势阱中逃逸的数目为

其中, Γ (t) 为“粒子”的逃逸概率, I为实验上可测量的跳变电流大小.在N(0)=1的初始条件下, (4)式积分得:可得跳变电流的分布函数为[14]

当温度高于某个临界温度 T∗时, 热激发占主导地位, “粒子”逃逸的速度由Kramers公式[15]给出:

其中,at是阻尼系数,其取值范围为0

它几乎与温度无关.其中 aq≈[120π(7.2∆U/ℏωp)]1/2.以上的理论结果被广泛应用于早期的约瑟夫森电子学特性研究, 下面将其应用于推算结的物理参数, 即实验测量跳变电流的统计分布, 并通过与理论模型的拟合, 来推算约瑟夫森结的临界电流 Ic和电容参数C.

2.2 结阻尼参数的推算方法

直流偏置下的约瑟夫森结RCSJ模型由如下方程描述[17]:

其中Ib为结的直流偏置,为结两端的电压.令 τ =ωct, 其中则方程(8)可化为如下形式:

这里, βc=2eIcCR2/ℏ 为阻尼参数, ib=Ib/Ic.因此, 对 ib>1 的非超导态, ib应该是 d φ/dτ 的一个线性函数.不失一般性, 假设:

这里, ib0为常数, 斜率K可由实验测得的结I-V曲线提取.由此, 通过与(9)式数值解的比较即可建立阻尼参数 βc与斜率K的联系, 就可实现阻尼参数 βc的推算, 进而计算出低温条件下的结电阻R.

3 约瑟夫森结的制备及其物理参数推算

3.1 约瑟夫森结的制备

采用悬空掩膜斜角度蒸发镀膜的工艺来制备SIS (superconductor-insulator-superconductor)约瑟夫森结[18].所采用的超导材料为Al, 对Al氧化生成的氧化铝做势垒层, 制备的主要步骤分为匀胶、光刻、显影、斜角度蒸发镀膜和去胶等.在清洗好的硅片上先后匀上LOR10B负胶和S1805正胶,匀胶后分别进行烘胶, 溶解掉其中的有机溶剂, 使其与硅片贴牢固.用深紫外曝光机和设计好的掩模版对其进行曝光; 曝光后的硅片使用显影液进行显影, 便可得到所需要的悬空掩膜结构.进而, 将其放入电子束蒸发镀膜仪完成斜角度镀膜、氧化、和再一次斜角度镀膜三个步骤, 制备出约瑟夫森结样品.整个结样品的制备流程如图2所示.

图2 约瑟夫森结制备流程图Fig.2.Preparation process of a Josephson junction.

最后将剩余的正、负光刻胶分别使用丙酮和N-甲基吡咯烷酮进行去除, 就可完成图3所示的约瑟夫森结样品的制备.

图3 约瑟夫森结样品Fig.3.Josephson junction sample.

3.2 约瑟夫森结I-V曲线和跳变电流的测量

约瑟夫森结I-V曲线一般采用四端子法进行测量, 一条线路通过一个1000倍的放大器测量结两端的电压信号, 另一条线路测流过结的电流信号.任意波形发生器将电压信号通过可调电阻加到结的两端, 实现结的电流偏置.这里, 可调电阻阻值远大于约瑟夫森结电阻, 以逐渐增大结的低频偏置电流.流过结的电流和结两端可能产生的电压信号由数据采集卡采集.将数据采集卡采集的数据在PC端进行处理, 便可得到图4所示的过阻尼约瑟夫森结标准I-V特性曲线.

图4 约瑟夫森结I-V特性曲线Fig.4.Measured I-V characteristic curve of the fabricated Josephson junction.

下面介绍在50 mK的极低环境温度下对约瑟夫森结跳变电流的实验测量.为此, 需要给约瑟夫森结施加一个大小可调的直流偏置(直流值以dI/dt 的速率逐渐增大).在0时刻触发同步信号,开始计时; 随后调节偏置电流使之逐渐增大, 同时监测结两端的电压; 当结电压从零跳变到一阈值时, 计时结束, 记录此时的偏置电流大小作为跳变电流.测量信号的时序设置如图5所示[19].

图5 约瑟夫森结跳变电流实验测量的时序图Fig.5.Time sequence diagram for the junction jump current measurements.

重复以上测量过程 1 04次, 并对采集的测量数据在PC端进行数据处理, 得到如图6所示的跳变电流大小测量值的统计分布图, M为测得对应跳变电流值的次数.从图6中的数据可以看出, 在偏置电流小于 4.0×10−7A时, 没有测到任何跳变事件(即没有非零的电压信号); 在偏置电流大于4.8×10−7A时, 结两端的电压几乎不再发生跳变,而是逐渐增大.因此, 可以预计所测量结的临界电流应该大于 4.8×10−7A.

图6 约瑟夫森结跳变电流及其次数统计Fig.6.Josephson junction jump currents and their statistical distributions.

3.3 约瑟夫森结物理参数的推算

首先, 根据测量得到的跳变电流统计分布特性, 来推算结的临界电流 Ic和结电容C.对实验测得的结跳变电流的分布做归一化处理, 得到图7中的点状线跳变电流的统计分布.利用跳变电流的统计分布公式(5)式, 通过调整约瑟夫森结临界电流 Ic和电容C的预定值, 得到如图7所示的实验测量数据拟合.在拟合实验数据时, 理论模型的参数设定为 Ic=5.56×10−7A, C =23.3 fF.由于跳变电流统计分布理论模型中对结电阻的取值很不敏感, 因此在理论拟合中暂时取为其室温测量值R=598Ω.

图7 结跳变电流的归一化统计分布: 理论拟合(红实线)与实验数据(点状线)Fig.7.Statistical distributions of the junction jump currents: theoretical simulations (red soild line), and measurement data (dot line).

为证实理论拟合中预定的参数是最优的, 具体分析了临近参数值对实验数据拟合的偏差程度, 如表1所列.综合表1的数据可见, 图7中实验数据的理论拟合是最优的, 因此所测量约瑟夫森结的临界电流可推算为 Ic=5.56×10−7A, 结电容可估计为 C =23.3 fF.

表1 不同参数取值对实验数据拟合的偏差度分析Table 1.Deviations from the data simulated by using the different theoretical parameters.

下面推算结的阻尼参数值和电阻值.由于约瑟夫森结的跳变电流分布的理论模型对电阻的变化很不敏感, 所以以上拟合时所取的室温结电阻测量值与极低温工作环境下的结电阻的实际数值有所偏离.为此, 采用与归一化RCSJ方程(9)的数值解进行拟合的方法, 数值解求解采用四阶龙格库塔算法.先实现约瑟夫森结阻尼参数 βc的推算, 进而计算出极低温工作时结电阻R的取值.为此, 将实验测得的结I-V曲线(图4)中的I变量值除以 Ic、电压变量除以 ℏ ωc/(2e) 得到图8中黑色点状线所示的等效I-V曲线; 进而, 对非超导态工作区的结I-V特征曲线进行线性拟合, 其均方根误差RMSE(root mean squared error)为0.197.得到如图8中红实线所示的拟合直线.由此, 可提取方程(10)中的斜率参数为 K =0.295.

图8 约瑟夫森结的等效I-V曲线Fig.8.Effective I-V curve of the measured Josephson junction.

接下来, 在非超导态区域(即取 ib>1 )对方程(9)采用四阶龙格库塔算法进行数值求解, 得出阻尼参数 βc和斜率参数K的数值解, 并进行拟合.图9中, 点状线表示由方程(9)数值解所得的阻尼参数 βc和斜率参数K的对应关系, 红实线是利用以下公式对点状线变化规律的拟合:

图9 斜率K随阻尼参数变化 βc 关系Fig.9.Relationship between the parameters βc and K.

均方根RMSE为0.006.因此, 根据以上对所测试约瑟夫森结的K参数推算值 K =0.295 , 再根据(11)式便可推算出该约瑟夫森结的阻尼系数为βc=12.3, 由此说明所制备的约瑟夫森结是一个过阻尼结, 进而可推算极低温工作环境下结的正常态电阻值为 R =558.99 Ω.

至此完成了对所制备的约瑟夫森结样品的物理参数推算.为了检验根据低频电流偏置下进行实验测量所推算的约瑟夫森结物理参数的准确度, 将根据实验推算所得到的参数代入计算得到IcR=5.56×10−7×558.99=3.108×10−4A·Ω, 与由著名的Ambgaokar-Baratoff公式[20]

在 T =50 mK工作温度下代入Al的超导能隙值∆=2.906×10−23J 计算所得到的值10−4A·Ω 进行比较, 两者相差 9.10%.需要说明的是, 由于实验测量是在远离超导转变温区进行的, 所以这里超导Al膜超导能隙 ∆ 可看成是不随温度变化的常数.其中存在误差的主要原因是约瑟夫森结跳变电流的测量误差, 在与理论模型拟合时对临界电流和电容的推算误差导致了后续推算结果与超导能隙理论存在一定误差.因此, 通过跳变电流分布实验测量所推算得到的 Ic,R 基本符合Ambgaokar-Baratoff公式, 这说明通过测量低频电流偏置下跳变电流的统计分布响应, 来实现约瑟夫森结物理参数推算的方法是可行的.

4 结 论

约瑟夫森结作为超导量子计算芯片和微波单光子探测芯片的核心器件, 其物理参数很难直接测定但对器件的按需设计和制备却极其重要.不同于通常的高频微波激励响应测量, 本文提出了一种基于低频电流偏置下跳变电流分布测量和I-V特性曲线的测量, 结合结RCSJ模型和跳变电流统计分布的理论模型, 实现了约瑟夫森结物理参数——结的临界电流 Ic、结电容C、结电阻R 以及结阻尼参数 βc的推算方法.这些根据实验数据推算出来的参数, 基本符合著名的Ambgaokar-Baratoff公式, 所以该实验推算方法是可行的.本文所提出的方法,与测量微波驱动下约瑟夫森结跳变电流统计分布的方案相比, 在实验上更加简便; 与采用回滞电流与临界电流比值相比, 不受I-V特性曲线原点上下涨落的影响, 具有独有的优势.

当然, 本文所实现的基于跳变电流分布实验测量的约瑟夫森结物理参数推算, 其精度有待于进一步提高.首先, 跳变电流测量的样本数可以更多,从而减少统计误差; 其次, 根据电压信号的跳变记录到的跳变电流, 通过精密地控制信号同步使其测量精度还有很大的提升空间, 等等.不过, 受限于数值拟合的理论公式大多数也只是某种近似处理下的结果, 通过基于近似理论模型来拟合实验测量数据从中提取结的物理参数值, 本身也是影响参数推算的准确度.所以, 约瑟夫森结的物理参数值还需要在器件后续应用(比如超导量子计算和微波单光子探测等)的研究中, 应用其他方法(如器件的能谱测量等)来进行进一步的测定.本文的工作只是提供了可应用于约瑟夫森结器件设计和制备中,如何实现物理参数实验推算的简单而有效方法, 为按需设计约瑟夫森结器件参数和设置器件制备工艺参数提供参考.