具体算法与抽象算理的内涵及教学建议

刘加霞

掌握算法与理解算理是计算教学的基本目标，也是发展学生数学思维、培养算法思想的重要载体。但教学实践中存在一些问题：混淆“法”与“理”，把无目的的学具操作当作借助直观操作理解算理;学生能够熟练计算的情况下，教师却非要让学生回答“为什么这样算”，导致学生学习兴趣丧失;为了算法“多样”而多样，不能处理好多样化与最优化之间的关系等。

那么，什么是算法、算理？算法、算理具有哪些特点？小学四则运算的通理通法是什么？掌握算法与理解算理的教学逻辑是什么？如何让学生在计算学习中燃起探究与发现的兴趣并获得相应的能力？这些问题都需要深入分析与解决。

一、具体算法与抽象算理是计算的“一体两面”

小学阶段四则运算算法主要指按照一定的程序或步骤算出结果，具体表现为口算、竖式笔算以及估算等不同方式，每一种方式也存在不同的步骤，即不同算法。运算法则是通过对比、分析不同算法进一步抽象所得到的一般化运算程序，是一种以规范语言表达的标准算法。任何一种算法都具有确定性、有效性和有限性等特征。通过实验或实践探究以及归纳概括得出运算法则的过程对学生发展极为重要，不能机械地背诵、记忆并运用法则简单计算。

初次计算某个算式时，不同的学生会有不同的算法，由于每个算式的计算结果具有唯一性，当学生用不同算法算得的结果相同时，就说明每一种算法都正确，都符合数学原理。如果算得的结果不同，则说明某种算法不正确，即违背某条数学原理，此时教师通过追问引导学生理解算理更有价值。对学生个体来说，不应该要求算法多样化，不同的学生可根据个人喜好选择适合自己的算法。教师可以引导学生对比個性化算法与最优算法，使学生逐步接受最优算法，即标准的运算法则。

算理是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识，具体包括数的意义和运算的意义、性质及规律。算理“附着”在数学符号、图表以及执行算法的过程中，需要学生有意识地回顾反思，这样才能表现出以问题为驱动的对算理的解释与理解。

算法与算理是运算的“一体两面”，算法是一种经过压缩的、一般化的计算程序，具有外显性、直观性、可操作性等特征。当然，通过归纳概括个性化算法所得出的一般性运算法则，也具有概括性;算理则具有隐蔽性、抽象性与理论性等特征。算法是学生在解决问题过程中探究、总结出来的，算理则是在出现运算错误或困难时，对算法进行反思、质疑与解释中获得的。学生理解算理比执行算法要难得多，但理解了算理具有重要意义：不仅有助于算法的总结、迁移和运用，而且能使学生学会根据数据特点灵活计算，尤其是进行简便计算。

二、四则运算的通法通理：对相同计数单位个数的操作

小学阶段自然数四则运算的计算方式主要有五种：一是根据运算的意义数出结果，这是最原始、最本质的算法。例如，加法是“继续数”、减法是“往回数”，二者都是“二重计数”，学生容易出现“6+3=8”这类错误，即学生数的过程是：6、7、8，错在从“6”开始数，而没有从“7”开始数。乘法是“几个几个”地“继续数”，除法是“几个几个”地“往回数”。二是口算，其中基本口算包括：20以内的加减法，乘法口诀，整十、整百、整千等乘一位数，等等。三是基本口算基础上的竖式笔算。四是根据运算对象特点，利用运算性质和定律的简便计算。这四种方法得到的是精确结果。五是根据实际问题的特点与需求，采用估算得到不精准结果，但足以解决问题。这五种计算方式都有不同的计算过程，也可称之为不同算法。所以，这里的“算法”具有两种含义：计算方式和计算方法。

不管运算对象是自然数、分数还是小数，加减计算算法的本质（即算理）都是“对相同计数单位的个数分别进行加、减计算”。因为小数也是十进位值制的，其加减法与自然数相同。分数加减法的算理算法与自然数、小数相通，本质也是相同计数单位的个数相加减。计算异分母分数加减法需要“先通分”的本质就是寻找两个分数的相同计数单位。所以，自然数的加减法是基础，20以内的加减法（一位数加一位数）是所有数进行加减计算的根。

学生应该从以下三个方面理解、解释加减法算理：一是数概念背后蕴含的十进制、位值制思想。例如，根据同一个数字在不同数位上所表示的大小不同，计算时可以从高位“退1”到低位“当10”。二是数的多种重组与守恒，即数可以用多种方法表示而不改变其大小。例如53可以分解为50+3、40+13、40+10+3等形式，计算不同的加减法算式时可以灵活选择某一种分解方式。三是加减法运算的意义及其性质和定律。例如加法具有交换律、结合律，减法有减法的性质。如16-2-4=16-（2+4）。

自然数乘法是特殊的加法，所以它的通理通法是“相同计数单位的累加”，在内容上分为三个层次：乘法口诀（一位数乘一位数）、整十整百整千等乘一位数以及其他多位数相乘。后两者根据乘法意义、性质与分配律等可以转化为乘法口诀。小数乘法根据小数性质以及积的变化规律可以转化为自然数乘法，另一条路径则是探究小数计数单位与小数计数单位相乘的法理，然后根据乘法交换律、结合律等探究小数乘小数的法则。分数乘法则根据乘法意义、分数意义与性质以及一个数乘真分数的定义（一个数乘几分之几表示的是求这个数的几分之几是多少）得到运算法则——分子乘分子、分母乘分母，能约分的先约分再相乘。

自然数除法的算法与算理也包括三个方面：一是运用乘法口诀求商（作为事实性知识，算理是除法的意义）;二是除数是一位数时，对被除数的不同计数单位（从高位到低位）的个数进行平均分（除数是几，平均分的份数就是几），所得个数累加之和就是商;三是除数是两位及以上的数，被除数的不同计数单位（从高位到低位）个数里包含几个除数，商就是几个不同计数单位。小数除法根据小数性质以及商不变规律可以转化为自然数的除法。分数除法根据分数意义、除法意义以及乘除法的互逆关系等得出运算法则——除以一个数等于乘这个数的倒数。小学生理解、解释分数除法尤其是分数除以假分数的算理非常困难，这在小学阶段不做要求。

三、小学四则运算的教学建议

自然数四则运算、分数加减法与乘法主要借助直观操作在理解算理的基础上归纳概括算法，而小数四则运算、分数除法以及比例运算的法则应通过推理获得。四则运算的对象不同，理解并掌握其算理算法的途径就不同，教学的方法与策略也不同。

1.重视计算方式多样化，而不是具体算法多样化

如前所述，四则运算算得结果的方式（算法）主要有五类，“算法多样化”强调的是根据现实问题的需要选择这五类中某种合适的计算方式。

“算法多样化”不是过于强调某一个算式的算法多样化。例如，12×14，有教师上课时借助“点子图”将其转化为2×14×6、3×14×4、2×12×7、10×14+2×14等算式，整整一节课都在玩无聊的转化游戏，教学目标不明确，导致课堂教学效率低下。因此，四则运算必须把握通理通法，减少不必要的算法多样化。

2.可以“先法后理”，以“理”驭“法”

从认知角度看，算法作为程序性知识可以与算理剥离，并且算法一旦被发现就可以直接运用于问题解决而不需要再经历“发现”过程，即算法具有独立性。教学中确实可以直接“教”算法，但這样容易导致机械记忆、机械学习。学生依据运算对象及运算的意义，在理解算理的基础上主动探究、发现以及归纳概括算法，才能发展学生的数学思维。

教师要创设具体问题情境、激发认知冲突，让学生自主探究、交流分享不同算法。对比不同算法的相同之处是归纳法则的重要途径，概括“同”比区分“异”更有助于探究发现，毕竟同样的算式其计算的依据或原理是相同的，“求同”的过程有助于解释、评价隐蔽而抽象的算理。

3.探究、归纳不同算式的算法，才能有效概括运算法则

教学中，如果只是告知学生按照操作程序、步骤进行计算，无助于学生深入理解数学概念、发展数学思维。但实际教学中也会出现另一种现象：只针对一个例题（简单算式），让学生用各种方法算出结果、理解算理，这种方式同样不可取。例如，口算20×3就有多种方法：用加法计算、操作直观学具（经典要求：用小棒摆出“20×3”。这样教学会导致部分学生用小棒摆出这个算式的“形象图”）、在数轴上20、20地数，甚至用1对应20、2对应40、3对应60的方式数。这样的多样化意义何在？可以说，学生对这一活动没有认知需求，会导致假探究、假发现的现象出现，从而损害学生的学习兴趣。

如何让学生兴趣高涨地在真正理解算理的基础上建构算法？第一个活动应该先让全班学生分组分别计算几个不同的算式（能力强的学生可以都计算），让学生感悟到虽然算式不同，但计算的道理和方法相同，然后再归纳概括出运算法则。例如，整十整百的数乘一位数的口算教学，第一个活动可以口算若干算式，这样既可调研学生口算的基本情况，也可让学生初步感悟口算方法;第二个活动可以聚焦前述口算速度慢或易于出错的算式探究其算理，例如40×5、70×6等，让学生带着问题和需求探究算理;第三个活动基于前述口算基础，归纳概括整十整百的数乘一位数的运算法则;第四个活动是进一步猜想验证，即整千整万等数乘一位数的口算方法也是先转化为乘法口诀计算，然后末尾补0，体验乘法口诀的重要性。这样教学能让学生既构造算法又理解算理，并对数学学习充满探究兴趣，体验发现乐趣。

4.根据学生认知特点选择恰当的探究材料

教学算理应充分考虑学生的年龄特点，引导学生根据运算对象的特点选择是否需要直观操作，没有必要操作的，则直接借助数学符号概括法则、解释算理。

低年级应侧重借助实物图、学具（小棒、计数器等），根据运算意义、经历操作活动得到运算结果。例如，操作小棒的“合并”“分拆”“重组”理解百以内的加减计算，此过程中，理与法并存。中年级应侧重选择恰当的现实情境或半直观半抽象的点子图，充分利用学生的已有知识在理解算理的基础上建构算法。高年级应侧重画直观几何图，以运算的互逆关系为突破口解释算理、获得算法。例如，分数乘除法的教学。

从外显、可操作的个别算法到解释与评价内隐、抽象、理性的算理，进而归纳概括标准的运算法则，在这三个活动中，学生的思维投入度、卷入度越来越深，思维的抽象与概括度也越来越高。这三个活动相互影响、相互促进，在教学中应同步落实。

责任编辑  刘佳