利用GeoGebra辅助物理教学

摘   要：用常规绘制一维方向上电势分布图的教学方法来复习电势，学生难以理解还会忽略电势是在整个空间分布的。利用GeoGebra的3D绘图功能，绘图过程中使学生认识到标度的重要性、了解物理问题要联系实际，观察绘制出图象知道电势分布的立体性，观察两个点电荷产生电势叠加后在空间的分布情况，知道等量同种电荷、等量异种电荷在电荷连线及电荷连线中垂线上的电势分布情况。

关键词：GeoGebra;物理教学;电势

随着网络、电子产品的普及，学生接收信息的渠道变宽，知识面变广，学生已不再愿意完全被动接受老师所给的信息，他们更愿意自己动手实践得出结论。 这就要求教师改传统的传授型的教学方式，使用更多样的教学方式让学生参与到教学中来。课堂上借助计算机的演算功能让学生自己绘制图象、演算物理过程，能够激发学生的学习兴趣，同时培养学生各方面的能力和素养。GeoGebra是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的一款免费软件[ 1 ]，有电脑版、网页版和手机版三种版本，界面简洁、功能强大，可以很好地应用于数、理教学。在此以高三第一轮“电势”的复习为例，介绍如何利用GeoGebra进行物理教学。

1  课前分析

南京师范大学苏州实验学校陆光华老师认为，高中物理教学需要整体统筹，新课与复习课的任务不同，高三第一轮复习教师要引导学生从不同角度理解所学知识并能灵活应用[ 2 ]。高三第一轮“电势”的复习要使学生对电势为标量有深的了解，同时引导学生从数学表达式与空间具体分布两个角度总结出等量同种电荷及等量异种电荷构成的电势的特点，从而推广到更一般情况下的电势分布。电势是高中物理静电场的重要组成部分，高考试题中经常考到电势，仅2020年高考中浙江卷第8题、山东卷第10题、江苏卷第9题、北京卷第7题、全国Ⅱ卷第4题、全国Ⅲ卷第8题都考到了电势，这些题目从各个不同角度考查学生对电势的理解，这要求学生不仅要掌握知识点，更要学会用相关知识解决问题。

电场是客观存在的物质，却看不见、摸不着，对很大一部分学生来说理解都有些困难，更何况灵活应用。在以往的复习过程中，经常将电场与重力场进行类比——电场强度与重力加速度类比、电势与地势类比，对大部分高三的学生来说在概念层面是能够接受的，但是要应用就有些困难了，尤其电势的图象问题。许多老师在复习电势图象时从简单到复杂：单个点电荷电势随位置变化→单个点电荷周围的等差等势面→等量同种电荷与等量异种电荷在点电荷连线上→两个点电荷中垂线上电势随位置变化，采用都是定性分析的办法得出大致图象如图1[ 3 ]。通过这个方法进行教学，绘制出一维空间上大致的电势分布图，能使学生了解以为的电势分布情况但却忽略电势是在空间分布的，对电荷量的大小也没有概念，不知道电荷量多少比较符合实际。

如图1（3）、图1（4）为等量同种电荷在不同方向上的电势分布图，用常规的教学方法进行分析，学生的空间想象能力不足，不能理解不同位置电势分布图为何不同。通过绘制3D图象可以让学生直观观察电势在二维平面的分布，图象与平面的交线学生可以得到不同方向上的电势分布图，GeoGebra绘制的图象能够随意改变坐标的标度，学生观察不同标度时对应的图形，提高实验绘图及审题时对标度的敏感程度。

2  教学过程

2.1  基础知识回顾

回顾电势的定义，推导得出匀强电场中的A、B两点，取B点电势为零，则A电势为φA=EdAB： （dAB为AB两点沿电场线的距离），由推导过程可知电势为标量，空间各点的电势可以认为是各个场源产生电势的代数和。在学生没有学习微积分的情况下将“电荷q从A点到无穷远的过程中电场力作用为，rA为A点到场源Q的距离，r为无穷远到场源Q的距离”当做已知条件，以无穷远处电势为零，让学生根据定义求A点的电势，得φA=，Q为场源电荷量，q为试探电荷，rA为A点到场源的距离。由于电势为标量，多个点电荷产生的电势为各个点电荷产生的电势的代数和φA=++…+，经过推导过程学生对电势叠加的数学表达有一定了解。

2.2  利用GeoGebra的绘图功能进行教学

2.2.1  绘制点电荷在一维空间的电势分布

学生根据操作要求输入函数：φ（x）==，Q为电荷量，用|x|代表到点电荷的距离，很大一部分学生在输入函数后并没有出现图象，经过一番讨论后学生很快就会发现是因为标度选择不当导致图象不在视域内，选择“适应窗口”，标度从1 V变成0.5×1010 V后就可以看到图象。通过这个过程培养学生的交流沟通能力，同时强调适当标度的重要性，选择不合适的标度会导致误差增大甚至看不到图象。提醒学生在绘图时要选择合适标度，读题时注意横纵坐标的标度及单位。

观察图象，部分学生会质疑图象中这种情况真实存在的可能性，如图2（1），图中相距1 m的A、B两点的电势差接近1010 V。在此之前学生对库仑这个单位没有什么直观的感受，通过Geogebra绘制出的图象可以知道1 C很大。为了符合实际，将电荷量设为Q=5.0×10-10 C。

对于常见的单位学生有比较直观的了解如：1 kg大概多重、1 m大概多远，但是对于1 C具体多大学生没有概念，经过对这部分内容的学习，学生可以知道距带电量1 C的点电荷0.6 m到1.6 m间的最大电势差可达1010 V（远大于1000 KV的特高电压），经过这个过程培养学生将物理学与实际相联系的意识。

2.2.2  绘制点电荷在二维空间的电势分布

一维空间点电荷的电势分布，学生通过数学表达式知道正点电荷周围电势与其到点电荷距离成反比，学生可以画出定性的反比例函数图象，横坐标为一维空间，纵坐标为电势，課本及参考书所绘制的图象基本也是一维空间的电势分布图，导致很多学生对电势和电场分布的空间认识不足。如：电子以某一速度进入下列电场，在只受电场力的作用下做匀速圆周运动，则该电场可能是（   ）

A.正点电荷形成的电场

B.负点电荷形成的电场

C.两个等量正点电荷形成的电场

D.两个等量异种点电荷形成的电场

大部分学生只选择A，对于选项D，很大一部分学生不能理解，其主要原因是对电势和电场空间分布认识不足。

通过绘制二维空间电势的分布图，可以让学生很直观得出二维空间内电势分布的特点尤其需要关注两个点电荷连线上及中垂线上电势分布情况，同时也为想象三维空间电势分布提供帮助。

先在函数栏输入函数φ（x，y）=，Q为电荷量设为5.0×10-10 C，代表到点电荷的距离，打开3D绘图区可以看到当个点电荷产生的电势分布图，绘制过程如图2（2）。

2.2.3  绘制等量同种电荷、等量异种电荷在二维空间的电势分布

在对基础知识的回顾过程中已经强调电势为标量，空间的电势分布可以认为是多个场源在空间产生的电势的代数和，在这一步的操作中学生很快能意识到将两个点电荷产生电势的函数相加就可以绘制出两个等量同种电荷与等量异种电荷在二维空间的电势分布图。

本节的重、难点是分析等量同种电荷、等量异种电荷在电荷连线及电荷连线中垂线上的电势变化情况，为了更好地观察，构建x-z平面与y-z平面，电势分布图与x-z平面的交线为两个点电荷连线上的電势曲线，电势分布图与y-z平面的交线为两个点电荷中垂线上的电势曲线，图3（3）、图4（3）分别为等量同种电荷与等量异种电荷的电势分布图，经过图象分析电势分布情况并总结出规律。从而突破了本节的重点，解决了难点。

为了更好地观察电势分布特点可以设置面与电势分布图的交线，如图3（4）为等量同种电荷的电势分布图象，图4（4）等量异种电荷的电势分布图象。旋转视角，逆着z轴方向观察等差等势线可以观察到等量电荷的等差等势线在二维空间的分布情况，从而对等差等势面有更深的印象。

3  总结

学生自己利用GeoGebra绘制电势分布的3D图象，绘制图象的过程中会遇到很多问题，其中比较常见的是标度选择导致看不到图象，相比课堂上老师的强调，学生绘图过程中自己发现标度选择的重要性能够产生更好的效果。观察图象分析讨论1 C的点电荷0.6 m到1.6 m间的最大电势差可达1010 V让学生了解库仑是一个很大的单位，为学生解决费米问题提供基础知识，同时能够提醒学生物理问题要与实际相结合。通过观察3D的电势分布图，可以让学生很直观得出二维空间内电势分布的特点，输入对应的函数学生可以观察到点电荷、等量同种电荷、等量异种电荷、不等量电荷及多电荷在二维空间电势的分布情况，也可以调节点电荷点间的距离得到不同的图形，课堂让学生感受到的物理不仅是定理、公式，通过物理学习也可以绘制出美丽的图形，增加学生的学习兴趣。课堂上让学生思考是否可以画出三维空间内的电势分布情况，有学生提出可以，用颜色代表电势强弱就可以画出来，有些遗憾的是GeoGebra没办法将颜色和数值建立联系画不出三维空间内的电势分布但学生能提出这个想法说明对空间、维度已经有了更深层次了解。

GeoGebra除了强大的绘图功能还有动态演示功能如南京市中华中学唐超老师利用GeoGebra制作动画为学生演示火车拐弯[ 4 ]、南京师范大学张赛男等老师利用GeoGebra曲线拟合、仿真实验[ 5 ]等。经过开发，GeoGebra在物理教学方面将会得到更广泛的应用，将更好地辅助物理教学。

参考文献：

[1] 高竞男. GeoGebra在农村初中数学教学中的应用研究[D]. 开封：河南大学，2011.

[2] 陆光华. 例谈高中物理教学的统筹安排——“物体的平衡”教学规划[J]. 物理教师，2020， 41（3）： 18-21.

[3] 边良. 关于静电场中电势图象的复习建议[J]. 物理教师， 2012，33（11）： 69-71.

[4] 唐超. 利用GeoGebra 3D视图功能辅助物理教学——以火车转弯为例[J]. 中学物理教学参考， 2017，46（23）： 55-57.

[5] 张赛男， 周延怀， 邵新一. 基于Geogebra的辅助物理教学研究[J]. 软件导刊， 2012，11（6）： 199-201.