“螺旋上升”岂能“旋而不升”

顾秋丹 陈算荣

摘要：初中阶段“正数和负数”的教学是小学阶段负数概念教学的拓展与延伸，而非简单的重复。这是数学课程教材内容编排“螺旋上升”理念的体现。然而，很多初中教师把负数的概念当作全新的内容进行教学，无视学生在小学已经有了负数概念的学习基础。对此，结合课标要求的差异以及历史发展的过程，对小学阶段负数概念教学和初中阶段“正数和负数”的教学作出不同的认知定位。由此，针对初中阶段“正数和负数”教学的“明晰正负符号与加减符号的联系”“理解负数的出现满足了数系对加减法运算的封闭性”两个认知定位进行活动设计。

关键词：正数和负数;螺旋上升;认知定位;活动设计

基于基础教育阶段课程的学科性以及学生认知发展的阶段性，我国中小学数学课程教材的编排秉承“螺旋式上升，波浪式前进”的原则，将某些相同主题的内容安排在不同的学段中反复出现。然而，一些教师会因为不能很好地把握这一编排意图，不去深入剖析“升”在何处，而导致在高学段的教学中对内容的认知定位停留在低学段的水平，即出现“旋而不升”的现象。“正数和负数”的教学就容易出现这样的状况。

一、“旋而不升”：初中“正数和负数”教学存在的现象及其根源

“正数和负数”这一内容在初中数学教学中占据重要地位，人教版和苏科版教材都将这一内容安排为第一个正式章《有理数》的第一节。初中阶段“正数和负数”的教学是小学阶段负数概念教学的拓展与延伸，而非简单的重复。

然而，在现实观课中我们发现，很多初中教师把负数的概念当作全新的内容进行教学，无视学生在小学已经有了负数概念的学习基础。此外，在“中国知网”中以主题词“负数教学”与“正数和（与）负数” 搜索期刊文章，经过粗略统计，得到2011年以后有关“‘正数和负数教学”的期刊文章一共101篇（其中关于“初中阶段‘正数和负数教学”的文章仅有17篇）。仔细阅读这些文章，不难发现，这一主题的教学在小学与初中阶段没有明显的区分，对学生的认知要求几乎没有差异：不少初中阶段“正数和负数”的教学花费大量时间在“负数的表示与读写”上，而这本该是小学阶段完成的教学任务。另有一些初中阶段“正数和负数”的教学，为了增加内容的深度与广度，而将“有理数的分类”“数轴的表示”等后续知识前置。可见，文献研究与现实观课中存在的现象具有高度的一致性。

造成这一现象的根源在于，教师对初中“正数和负数”教学的认知定位有偏差，不能从知识本质和知识体系的角度深度解析教学内容并创造性地重构教材内容。

二、“升”在何处：初中“正数和负数”教学的认知定位

在小学阶段负数概念教学的基础上，初中“正数和负数”的教学应该如何进行合理的认知定位，从而真正体现课程内容编排的“螺旋上升”理论？

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中，第二学段与第三学段的“课程目标”与“课程内容”均涉及负数概念，但不同学段对学生学习有不同的要求。第二学段的“知识技能”目标要求为“了解负数的意义”，内容要求为“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量”;而第三学段的“知识技能”目标要求为“理解有理数”，内容要求为“理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小”。

可见，《课标》在小学阶段对负数概念的能力要求较低，主要要求学生能在日常生活中利用负数表示具有实际（相反）意义的量，并能在生活情境中正确地写和读出负数，而不需要深层次地剖析负数的实质与数学意义;在初中阶段对负数概念的能力要求明显提升，不再限定于生活情境中的负数，而更关注负数的实质与数学意义。两个学段要求的逐级递增充分体现了课程内容编排的“螺旋上升”特点。

事实上，从数系发展的历史看，人们接受负数并不容易，认识负数也有一个不断深入的过程。以“得到的钱数是正数，失去的钱数是负数”为例，拒绝接受负数的人会认为失去的钱数在实体对应原则下仍然是一个正数。而数学家们普遍承认负数主要是基于算法的合理性（加减法运算的封闭性）——算法的合理性也是其他一些“新数”获得承认的主要原因。

因此，在小学阶段，强调负数在生活情境中的意义（作用），将负数的教学置于多样化的生活情境中，这样的教学要求其实是基于小学生认知特点和学习兴趣的考虑。而在中学阶段，若仍停留在正数和负数的实际意义与符号表示的讨论上，那便成了小学阶段教学内容的回顾，教学价值将大打折扣。结合课标要求的差异以及历史发展的过程，初中阶段“正数和负数”的教学，不应该停留于描述性定义的表述形式，而应该进一步形成正数和负数的抽象化定义，并将其置于整个“有理数”知识体系中，将正负符号与加减符号进行有意义的关联，让负数对保持加减法运算封闭性的重要意义得到凸显，为后面有理数运算的教学做好铺垫。

综上，可对小学阶段负数概念教学和初中阶段“正数和负数”的教学作出如下不同的认知定位：

【小学阶段】

（1）知道负数的存在，了解正数和负数在实际生活中的意义，即能够表示具有相反意义的量;

（2）了解正数和负数的描述性定义及表示方法，会读会写，能够在生活中恰当地使用正数和负数来表示具有相反意义的量。

【初中阶段】

（1）明晰正负符号与加减符号的联系，理解正数和负数的抽象化定義;

（2）理解负数存在的丰富意义，即除了与正数一起表示具有相反意义的量之外，另一个重要的意义是满足数系对加减法运算的封闭性，使数系得以扩充。

三、怎样去“升”：初中“正数和负数”教学的活动设计

如何在初中阶段“正数和负数”的教学中达成上述认知定位？下面分别针对“明晰正负符号与加减符号的联系”以及“理解负数的出现满足了数系对加减法运算的封闭性”进行活动设计。

（一）正负符号与加减符号的联系

在小学阶段“正数和负数”的认知基础上，教师引导学生进一步认识生活中各种类型的正数和负数，接着引导思考：为什么正数和负数前面的“+”和“-”与加减运算中的“+”和“-”是同样的符号，但读法不同？它们之间有什么内在的联系？然后提出如下情境问题（活动任务）：

假设湖的水面位置为0，湖中有一直立的杆子。

（1）杆子的顶部比水面高2米，如何用算式表达杆子顶部离水面的高度？请写出算式及计算结果。

（2）杆子的底部比水面低4米，如何用算式表达杆子底部离水面的高度？请写出算式及计算结果。

学生不难得出第（1）问的算式为“0+2”，第（2）问的算式为“0-4”。对于“0+2”，学生能够根据小学知识顺利得出结果2，但是，对于“0-4”，学生难以得出结果。这时，教师可以追问：根据正数2可以写成“+2”的知识，可得0+2=+2，你能依据小学学过的0的意义解释这个算式的结果吗？学生能够解释：依据0表示“没有”，可得结果就是+2。这时，教师可以进一步说明：既然0表示“没有”，那就相当于擦除左式中的0得到右式的结果;同是“+”，在左边是运算，念“加”，在右边是数值符号，念“正”。有了这个认知基础，教师可以再次追问：类比0+2=+2中对0的处理，你可以得出0-4的结果并作出解释吗？由此，学生能够明白：加减符号与正负符号虽然读法和性质不同，但是意义是紧密关联的，而且数值前的“+”表示比0多，“-”表示比0少;上面兩个算式中，右边的结果可以看作左边的式子隐去“0”而得到的数值。借此，可以引入正数和负数的抽象化定义：大于0的数是正数，小于0的数是负数;0既不是正数，也不是负数。

这一教学活动不仅能让学生经历从具象到抽象的数学理解过程，有效地落实数学抽象和逻辑推理素养的培养，而且能让学生真正理解正数和负数前面的正号和负号的含义，为后面有理数运算中两个符号“身份”的灵活转换奠定基础。

（二）负数的出现满足了数系对加减法运算的封闭性

在上述活动的基础上，教师利用“几何画板”软件模拟圆柱形储水器水面上升或下降的过程，组织实验探究：

制作两个形状和大小一样的圆柱形储水器，加入等量的水。将两个储水器的水面位置做上记号并规定为0，将水面上升记为正，将水面下降记为负。

（1）在一个储水器中，先加水让水面升高3个单位，再取水让水面下降2个单位，问：水面的高度变化如何用算式表示？观察得到的结果是什么？

（2）在另一个储水器中，先加水让水面升高2个单位，再取水让水面下降3个单位，问：水面的高度变化如何用算式表示？观察得到的结果是什么？

组织这个实验探究的目的不是教学有理数的加法和减法法则，而是借助“几何画板”软件的形象演示，让学生通过直观感知和类比推理发现负数的出现使小数减大数成为可能。学生根据要求和操作可以分别得出算式“0+3-2”和“0+2-3”，依据之前活动的认知和经验，隐去“0”后即得算式“3-2”和“2-3”，根据观察的结果可以得出“3-2=+1”和“2-3=-1”。这有效解决了在正数体系中无法解决的小数减大数问题，自然引出了负数在数系发展中的重大作用：保持加减法运算的封闭性。由此帮助学生进一步理解负数引入的必要性，即解决数学问题的内部需要。

教师可以借机普及负数发展的历史：“中国是最早认识和使用负数的国家。早在两千多年前，中国就有了负数的概念;三国时期的学者刘徽对建立负数的概念有重大的贡献。而在很大程度上，西方数学家直到17世纪才真正接受负数的概念，并最终建立了负数理论。”

四、结束语

随着基础教育改革的不断深化，遵循学生认知规律的“螺旋上升”课程设计理念已经得到教育工作者的广泛认同。在这一理念的指导下，中小学数学教材的编排采用“分步到位，螺旋上升”方式，使相同主题的内容在不同的学段中多次出现，让学生分步完成知识学习的深化。故而，准确定位同一主题内容在不同学段的认知要求并设计相应的活动任务，是真正实现“螺旋上升”理念的关键。为此，教师需要不断丰富自己的“内容和课程知识”，立足课程标准，深度解析教材，挖掘相关数学知识发展的教育价值。

参考文献：

[1] 陆玲，黄芳.“负数的初步认识”教材解读与教学建议[J].小学数学教育，2017（7/8）.

[2] 陈金红.初中数学教材解读两例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（3）.

[3] 张奠宙，张广祥.中学代数研究[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] 曾荣.螺旋式上升背景下教学内容呈现方式的研究——基于苏教版高中数学教材必修1、必修4函数图像变换编写的比较[J].教学与管理，2012（22）.

[5] 孔凡哲.基础教育新课程中“螺旋式上升”的课程设计和教材编排问题探究[J].教育研究，2007（5）.

[6] D.L.Ball， M.H.Thames， G.Phelps.Content knowledge for teaching：What makes it special？ ＼[J＼].Journal of Teacher Education，2008（5）.

*本文系国家社科基金教育学一般项目“40年我国数学教育课堂变革的中国经验研究（1978—2018）”（编号：BHA180134）的阶段性研究成果。